2023届云南省腾冲县第一中学高一上数学期末监测试题含解析
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【详解】（1）因为 ，
所以
又因为 ，
所以
所以
（2）因为 ，
所以
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想
21、(1)详见解析(2)
【解析】（1）证明函数单调性可根据函数单调性定义取值，作差变形，定号从而写结论（2）因为函数是奇函数所以 （3）由 .故 ，∴
4、B
【解析】应用诱导公式可得 ， ，进而判断角 的终边所在象限.
【详解】由题设， ， ，
所以角 的终边在第二象限.
故选：B
5、C
【解析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又 ，即可排除B.
【详解】因为 ，定义域为R，关于原点对称，
又 ，
故函数 为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；
又 ，故排除B.
1、B
【解析】构造函数 ，通过表格判断 ，判断零点所在区间，即得结果.
【详解】设函数 ，易见函数在 上递增，
由表可知， ，
故 ，由零点存在定理可知，方程的根即函数的零点在区间 上.
故选：B.
2、D
【解析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围.
【详解】∵直线l过点 ，且与以 ， 为端点的线段相交，如图所示：
即 ，
，此时 ，即 ，
，此时 ，即 ，
【小问2详解】
，则 ，
当 时，即 时， 单调递增，
在 上的单调递增区间为 .
18、（1） ；（2） .
【解析】（1）利用坐标运算表示出 ，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得结果；（2）根据 可直接求得结果.
【详解】（1）
与 垂直 ，解得：
（2）向量 在 方向上的投影为：
试题解析：
(1)设 ，
则 .
∵函数 是增函数，又 ，∴ ，
而 ， ，∴ 式 .
∴ ，即 是 上的增函数.
(2)∵ 对 恒成立，
∴ .
(3)当 时， .
∴ ，∴ ，
继续解得 ，
∴ ，因此，函数 的值域是 .
点睛：本题考差了函数单调性，奇偶性 概念及其判断、证明，函数的值域求法，对于定义来证明单调性要注意做差后的式子的化简.
将函数向左平移2个单位得到 ， 函数为偶函数，所以 ，
令 ，由 ，可得 ，解得： .
故答案为： .
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）见解析；（2）20.
【解析】（1）设 ，可得： ， ；（2） 利用二次函数求最值即可.
试题解析：
（1）
设 米，
则
即 ,
（2）
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
（2）若 在区间 上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围
20．已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
21．设 是常数，函数 .
(1)用定义证明函数 是增函数；
(2)试确定 的值，使 是奇函数；
(3)当 是奇函数时，求 的值域.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
A. B.
C. D.
6．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）
A.甲得分的极差大于乙得分的极差B.甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C.甲得分的平均数小于乙得分的平均数D.甲得分的标准差小于乙得分的标准差
7．已知f（ x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（ ）
， 当 ，即 时， 取得最小值为 ， 的最小值为20.
答： 的最小值为20.
17、（1） ， ； ，
（2）
【解析】（1）化简得 ，根据对称轴可得 的值，进而根据正弦函数的性质可得最值；
（2）根据正弦函数的性质可得 在 上的单调递增区间
【小问1详解】
由已知
又 是函数 图象的一条对称轴，
所以 ，得 ，
，
故选：B
7、B
【解析】先用换元法求出 ，然后由函数值求自变量即可.
【详解】令 ，则 ，可得 ，即 ，由题知 ，解得 .
故选：B
8、A
【解析】构造两个函数 和 ，根据两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据题意，构造两个函数 和 ，
则两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，
又 交于点 ，但 不共面，故②错误.
如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.
如图，因为 ，故 共面于 ，
因为 ，故 ，故 即 ，
而 ，故 ，故 即 即 共面，故④正确.
故答案为：④
13、2
【解析】设扇形的弧长为 ，半径为 ，则 ，将面积最值转化为一元二次函数的最值；
【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示、向量 在 方向上的投影的求解；关键是能够由向量垂直得到数量积为零、能熟练掌握投影公式，从而利用向量坐标运算求得结果.
19、（1） ,
（2）
【解析】（1）用诱导公式将函数化为 ，然后可解；
（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.
【小问1详解】
所以 的最小正周期 ，
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．根据下表数据，可以判定方程 的根所在的区间是（）
1
2
3
4
0
0.69
1
1.10
1.39
3பைடு நூலகம்
1.5
1.10
1
0.75
A. B.
C. D.
2．直线l过点 ，且与以 为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．函数 （ 且 ） 图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最大值为
A. B.
C. D.
4．若 ， ，则角 的终边在（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
5．函数 的部分图象是（）
如图所示，结合图象可得 .
故选：A.
9、B
【解析】要使函数 有意义，则需要满足 即可.
【详解】要使函数 有意义，则需要满足
所以 的定义域为 ，
故选：B
10、A
【解析】
，∵ ，∴ ，则 的最大值为 ；∵ ，∴周期 ；当 时， 图象关于某一点对称，∴当 ，求出 ，即 图象关于 对称，故选A
考点：三角函数 的性质．
由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 .
【小问2详解】
令 ，得
因为 在区间 上存在唯一的最小值为-2，
所以， ，即
所以实数m的取值范围是 .
20、（1） ；（2） .
【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 ， 的值，进而根据 ，利用两角差的余弦函数公式即可求解
（2）利用二倍角公式可求 ， 的值，进而即可代入求解
∴所求直线l的斜率k满足 或 ，
，
则 或 ，
∴ ，
故选：D
3、D
【解析】∵由 得 ，
∴函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，
∵点 在直线 上，∴ ，∵ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ ，∴ 最大值为 ，
故选D
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】由题意，设 代入点坐标可得 ，计算即得解
【详解】由题意，设 ，过点
故 ，解得
故
则
故答案为：
12、④
【解析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误.
【详解】如图，在正方体 中， ， ，
但是 异面，故①错误.
【详解】设扇形的弧长为 ，半径为 ，则 ，
，
当 时，扇形面积最大时，
此时 ，
故答案为：
14、
【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，可得： ，则 ，
∴不等式解集为 .
故答案 ： .
15、-2
【解析】由已知可得 为偶函数，即 ，令 ，由 ，可得 ，计算即可得解.
【详解】对任意 ， ，
14．不等式 的解集为___________.
15．已知 ，若存在定义域为 的函数 满足：对任意 ， ，则 ___________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．某 形场地 ， ， 米（ 、 足够长）.现修一条水泥路 在 上， 在 上），在四边形 中种植三种花卉，为了美观起见，决定在 上取一点 ，使 且 .现将 铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为 米.
A. B.
C. D.
8．已知 ，若函数 恰有两个零点 、 （ ），那么一定有（）
A. B.
C. D.
9．函数 的定义域为（）
A.RB.
C. D.
10．已知函数 ，则
A.最大值为2，且图象关于点 对称
B.周期为 ，且图象关于点 对称
C.最大值为2，且图象关于 对称
D.周期为 ，且图象关于点 对称
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
故选：C.
6、B
【解析】根据图表数据特征进行判断即可得解.
【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A选项说法错误；
甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B选项说法正确；
甲组具体数据不易看出，不能判断C选项；
乙组数据更集中，标准差更小，所以D选项错误
（1）设 ，将l表示成 的函数关系式；
（2）求l的最小值.
17．已知函数 是函数 图象的一条对称轴.
（1）求 的最大值，并写出 取得最大值时自变量 的取值集合；
（2）求 在 上的单调递增区间.
18．已知向量 ，
（1）若 与 垂直，求实数 的值；
（2）求向量 在 方向上的投影
19．已知函数
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
11．已知函数 是幂函数，且过点 ，则 ___________.
12．给出下列说法：
①和直线 都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面
其中正确说法的序号是______
13．已知扇形的周长是2022 ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.
所以
又因为 ，
所以
所以
（2）因为 ，
所以
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想
21、(1)详见解析(2)
【解析】（1）证明函数单调性可根据函数单调性定义取值，作差变形，定号从而写结论（2）因为函数是奇函数所以 （3）由 .故 ，∴
4、B
【解析】应用诱导公式可得 ， ，进而判断角 的终边所在象限.
【详解】由题设， ， ，
所以角 的终边在第二象限.
故选：B
5、C
【解析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又 ，即可排除B.
【详解】因为 ，定义域为R，关于原点对称，
又 ，
故函数 为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；
又 ，故排除B.
1、B
【解析】构造函数 ，通过表格判断 ，判断零点所在区间，即得结果.
【详解】设函数 ，易见函数在 上递增，
由表可知， ，
故 ，由零点存在定理可知，方程的根即函数的零点在区间 上.
故选：B.
2、D
【解析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围.
【详解】∵直线l过点 ，且与以 ， 为端点的线段相交，如图所示：
即 ，
，此时 ，即 ，
，此时 ，即 ，
【小问2详解】
，则 ，
当 时，即 时， 单调递增，
在 上的单调递增区间为 .
18、（1） ；（2） .
【解析】（1）利用坐标运算表示出 ，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得结果；（2）根据 可直接求得结果.
【详解】（1）
与 垂直 ，解得：
（2）向量 在 方向上的投影为：
试题解析：
(1)设 ，
则 .
∵函数 是增函数，又 ，∴ ，
而 ， ，∴ 式 .
∴ ，即 是 上的增函数.
(2)∵ 对 恒成立，
∴ .
(3)当 时， .
∴ ，∴ ，
继续解得 ，
∴ ，因此，函数 的值域是 .
点睛：本题考差了函数单调性，奇偶性 概念及其判断、证明，函数的值域求法，对于定义来证明单调性要注意做差后的式子的化简.
将函数向左平移2个单位得到 ， 函数为偶函数，所以 ，
令 ，由 ，可得 ，解得： .
故答案为： .
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）见解析；（2）20.
【解析】（1）设 ，可得： ， ；（2） 利用二次函数求最值即可.
试题解析：
（1）
设 米，
则
即 ,
（2）
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
（2）若 在区间 上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围
20．已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
21．设 是常数，函数 .
(1)用定义证明函数 是增函数；
(2)试确定 的值，使 是奇函数；
(3)当 是奇函数时，求 的值域.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
A. B.
C. D.
6．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）
A.甲得分的极差大于乙得分的极差B.甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数
C.甲得分的平均数小于乙得分的平均数D.甲得分的标准差小于乙得分的标准差
7．已知f（ x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（ ）
， 当 ，即 时， 取得最小值为 ， 的最小值为20.
答： 的最小值为20.
17、（1） ， ； ，
（2）
【解析】（1）化简得 ，根据对称轴可得 的值，进而根据正弦函数的性质可得最值；
（2）根据正弦函数的性质可得 在 上的单调递增区间
【小问1详解】
由已知
又 是函数 图象的一条对称轴，
所以 ，得 ，
，
故选：B
7、B
【解析】先用换元法求出 ，然后由函数值求自变量即可.
【详解】令 ，则 ，可得 ，即 ，由题知 ，解得 .
故选：B
8、A
【解析】构造两个函数 和 ，根据两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据题意，构造两个函数 和 ，
则两个函数的图象恰有两个交点，在同一坐标系内作出函数的图象，
又 交于点 ，但 不共面，故②错误.
如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.
如图，因为 ，故 共面于 ，
因为 ，故 ，故 即 ，
而 ，故 ，故 即 即 共面，故④正确.
故答案为：④
13、2
【解析】设扇形的弧长为 ，半径为 ，则 ，将面积最值转化为一元二次函数的最值；
【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示、向量 在 方向上的投影的求解；关键是能够由向量垂直得到数量积为零、能熟练掌握投影公式，从而利用向量坐标运算求得结果.
19、（1） ,
（2）
【解析】（1）用诱导公式将函数化为 ，然后可解；
（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.
【小问1详解】
所以 的最小正周期 ，
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．根据下表数据，可以判定方程 的根所在的区间是（）
1
2
3
4
0
0.69
1
1.10
1.39
3பைடு நூலகம்
1.5
1.10
1
0.75
A. B.
C. D.
2．直线l过点 ，且与以 为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．函数 （ 且 ） 图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最大值为
A. B.
C. D.
4．若 ， ，则角 的终边在（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
5．函数 的部分图象是（）
如图所示，结合图象可得 .
故选：A.
9、B
【解析】要使函数 有意义，则需要满足 即可.
【详解】要使函数 有意义，则需要满足
所以 的定义域为 ，
故选：B
10、A
【解析】
，∵ ，∴ ，则 的最大值为 ；∵ ，∴周期 ；当 时， 图象关于某一点对称，∴当 ，求出 ，即 图象关于 对称，故选A
考点：三角函数 的性质．
由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 .
【小问2详解】
令 ，得
因为 在区间 上存在唯一的最小值为-2，
所以， ，即
所以实数m的取值范围是 .
20、（1） ；（2） .
【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 ， 的值，进而根据 ，利用两角差的余弦函数公式即可求解
（2）利用二倍角公式可求 ， 的值，进而即可代入求解
∴所求直线l的斜率k满足 或 ，
，
则 或 ，
∴ ，
故选：D
3、D
【解析】∵由 得 ，
∴函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，
∵点 在直线 上，∴ ，∵ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ ，∴ 最大值为 ，
故选D
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】由题意，设 代入点坐标可得 ，计算即得解
【详解】由题意，设 ，过点
故 ，解得
故
则
故答案为：
12、④
【解析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误.
【详解】如图，在正方体 中， ， ，
但是 异面，故①错误.
【详解】设扇形的弧长为 ，半径为 ，则 ，
，
当 时，扇形面积最大时，
此时 ，
故答案为：
14、
【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，可得： ，则 ，
∴不等式解集为 .
故答案 ： .
15、-2
【解析】由已知可得 为偶函数，即 ，令 ，由 ，可得 ，计算即可得解.
【详解】对任意 ， ，
14．不等式 的解集为___________.
15．已知 ，若存在定义域为 的函数 满足：对任意 ， ，则 ___________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．某 形场地 ， ， 米（ 、 足够长）.现修一条水泥路 在 上， 在 上），在四边形 中种植三种花卉，为了美观起见，决定在 上取一点 ，使 且 .现将 铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为 米.
A. B.
C. D.
8．已知 ，若函数 恰有两个零点 、 （ ），那么一定有（）
A. B.
C. D.
9．函数 的定义域为（）
A.RB.
C. D.
10．已知函数 ，则
A.最大值为2，且图象关于点 对称
B.周期为 ，且图象关于点 对称
C.最大值为2，且图象关于 对称
D.周期为 ，且图象关于点 对称
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
故选：C.
6、B
【解析】根据图表数据特征进行判断即可得解.
【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A选项说法错误；
甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B选项说法正确；
甲组具体数据不易看出，不能判断C选项；
乙组数据更集中，标准差更小，所以D选项错误
（1）设 ，将l表示成 的函数关系式；
（2）求l的最小值.
17．已知函数 是函数 图象的一条对称轴.
（1）求 的最大值，并写出 取得最大值时自变量 的取值集合；
（2）求 在 上的单调递增区间.
18．已知向量 ，
（1）若 与 垂直，求实数 的值；
（2）求向量 在 方向上的投影
19．已知函数
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
11．已知函数 是幂函数，且过点 ，则 ___________.
12．给出下列说法：
①和直线 都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面
其中正确说法的序号是______
13．已知扇形的周长是2022 ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.