第5讲 立体几何选择压轴题(原卷版)

第5讲 立体几何选择压轴题
一、单选题
1．（浙江超级全能生3月联考）如图，已知在中，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为（ ）
A
B ．1
C D
2．（浙江宁波模拟）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（湖南长沙市·长沙一中高三月考）在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为 A ． B ． C ． D ． 4．（天一大联考（理））在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（
） A ． B ． C ． D ． ABC 90,1,2,BAC AB BC D ∠=︒==BC AD ABD △AB D 'B 'ADC H
AC B DC A '-
-V ABC -P VA PB AC αPB ABC βP AC B --γ,βγαγ<<,βαβγ<<,βαγα<<,αβγβ<<A BCD -60BAC BDC ∠=∠=︒A BC D --13-
A BCD -45π6π7π8π2ABCD P ABC 433
PA PB +=PD 3332
5．（四川成都二模（理））已知四面体
，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：
①线段的长度为1；
②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线
都是异面直线； ③的余弦值的取值范围为； ④
．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
3 D ．4
6．（内蒙古呼和浩特一模（理））四面体的四个顶点都在球O 上且，O 的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（山东日照一模）已知直三棱柱的侧棱长为，，．过
、的中点、作平面与平面
垂直，则所得截面周长为（ ）
A ．
B C
． D ．
8．（山东滨州一模）
如图，斜线段与平面所成的角为
，为斜足．
平面上的动点满足，则点的轨迹为（
）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
9．（山东淄博一模）四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为矩形，，
，点是棱的中点，顶点在底面的射影为，则下列结论正确的是（ ）
A ．棱上存在点使得面
ABCD M N AD BC F AB A B MN G MN F G FG CD MFN ∠0,5⎡⎢⎣⎭
FMN 1ABCD 4AB AC BC BD CD =====AD =70π380π330π40π111ABC A B C -2AB BC ⊥2AB BC ==AB 1BB E F α11AAC C +AB απ4B αP π6
PAB ∠=P S ABCD -SBC ABCD 2BC =AB a F AD S ABCD H SC P //PD BSF
B ．当落在上时，的取值范围是
C ．当落在上时，四棱锥的体积最大值是2
D ．存在的值使得点到面
10．（湖北武汉月考）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（安徽蚌埠二模（理））已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（浙江省宁海中学高三月考）如图，在中，，，点E 为线段AB 上一点，将绕DE 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得，记为的最小值，则（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．（天津河西区·高三一模）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．（江西八校4月联考（理））已知三棱锥的外接球的表面积为，
，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A ．8
B ．
C
D ．16
H AD a (H AD S ABCD -a B SFC P ABC -O PA ⊥ABC AB AC ⊥6AB =8AC =D AB 2AD DB =D O 25πO 128π132π144π156π1111ABCD A B C D -ABCD 36π1AC BD ⊥11AB D 8π24310π8110π6πABC ∆36A ∠=AD DB BC ==ADE ∆AE CD ⊥θADE ∠(15,20]θ∈(20,25]θ∈(25,30]θ∈(30,35]θ∈43ABCD AC A BCD -A BCD -25π50π5π10πP ABC -64π2AB =AC =AB AC ⊥8PA =P ABC -3
15．（山西临汾一模（理））在棱长为2的正方体中，平面，则以平面截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以为顶点的锥体的外接球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
16．（浙江省宁海中学高三月考）如图，矩形中，，点在，上，满足，，将沿向上翻折至，使得在平面上的射影落在的重心处，设二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
17．（河南高三一模（理））如图，在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹的长度为（ ）
A ． B
C ．
D ． 18．
（江苏徐州二模）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊
1111ABCD A B C D -1B D α⊥α1B 12π253π203π6πABCD 236AB AD ==(),1,2i i E F i =CD AD 112E F =1221//E F E F 11DE F ∆11E F 11D E F ∆'D 'ABCD 22DE F ∆G D AB C '--αD A 'D C 'ABCD βγαβγ>>γαβ>>αγβ>>βαγ>>1111ABCD A B C D -M AB P 11BCC B 1AP D M ⊥P 2π162
四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面．若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1
19．（浙江名校协作体联考）在矩形中，，，E 、F 分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
20．（河南高考适应性考试（理））棱长为的正方体密闭容器内有一个半径为的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 21．（辽宁高三一模（理））球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离．已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为
，则、两点间的球面距离为（ ） 12
5:
33589910
ABCD AB =3AD =AD BC 2AE BF ==ABE △BE 1A BE 1A BCDE CDEF 1A BE C --θ1A B BCDE α1A E BC
ββαθ<<βθα<<αβθ<<αθβ<<4122323π-4812π-4283π-13203
π-ABC 2
ABC 3
A B
A ．
B ．
C ．
D ． 22．（湖北武汉月考）某圆锥母线长为2，
则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（
）
A ．2
B C
D ．1
23．（中学生标准学术能力3月测试（理））在棱长为的正四面体中，点，分别为直线
，上的动点，点为中点，为正四面体中心（满足）
，若
，则长度为（ ）
A ．B
C ．
D ．
24．（湖南长沙市·长郡中学高三月考）如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点分别在半圆弧，(均不含端点)上，且，，，在球
上，则（ ）
A
．当点在的三等分点处，球O 的表面积为
B ．当点在的中点处，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
C ．球的表面积的取值范围为
D ．当点在的中点处，三棱锥的体积为定值
25．（河南高三一模（理））在三棱锥中，，，则该三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 26．（百校联盟质检（理））已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ）
π2π23π34
πA BCD -E F AB CD P EF Q QA QB QC QD ===PQ =EF 321111ABCD A B C D -,P Q 1C C 1A A 1C P Q C O Q 1A A (11π-P 1C C 1C P Q O ()4,8ππP 1C C 1C PQC -A BCD -4AB CD ==3AC BD AD BC ====4π517π3π23π4
S ABCD -SA ⊥ABCD ABCD 6SA AB ==αSB CD SD αS ABCD -
A ．
B ．
C ．
D ．
27．（河南金太阳3月联考（理））在正四棱锥
，若四棱锥的体
积为
，则该四棱锥外接球的体积为（
） A ． B ． C ． D ． 28．（超级全能生1月联考（理））已知三棱锥中，是等腰直角三角形，，
，，三棱锥
，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
29．（贵州新高考联盟质检（理））在直三棱柱中，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、多选题 30．（山东德州一模）如图，在边长为4的正方形中，点
、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有（ ）．
A
．
B ．当时，三棱锥
C ．当时，三棱锥
4564276296126P ABCD -=P ABCD -2563
5003π100π4903π500πP ABC -ABC AB AC ⊥AB =PA =PAB PAC ∠=∠P ABC -1P ABC -36π32π24π16π111ABC A B C -16AA AB ==8BC =10AC =16π24π36π64πABCD E F AB BC BE BF =AED DCF DE DF A C 1A 1A D EF ⊥12
BE BF BC ==1A F DE -14BE BF BC ==1A F DE -
D ．当时，点到平面
31．（湖北九师联盟3月联考）如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且为棱的中点，点是线段上的动点，则（ ）
A ．无论点在线段上如何移动，都有
B ．四面体的体积为24
C ．直线与所成角的余弦值为
D ．直线与平面所成最大角的余弦值为 33．（江苏南通期末）如图，在棱长为1
的正方体中，P 为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）
A ．三棱锥的体积为定值
B ．过点P 平行于平面的平面被正方体
14BE BF BC ==1A DEF 1111ABCD A B C D -E 1DD 2,DE F =11C D G 1BC G 1BC 11A G B D ⊥A BEF -AE BF 15
1A G 1BDC 13
1111ABCD A B C D -11B D 1P A BD -13
1A BD 1111ABCD A B C D -
C ．直线与平面所成角的正弦值的范围为
D ．当点P 与重合时，三棱锥
34．（济南市·山东省实验中学高三月考）正方体中，
E 是棱的中点，
F 在侧面上运动，且满足平面．以下命题正确的有（ ）
A ．侧面上存在点
F ，使得
B ．直线与直线所成角可能为
C ．平面与平面所成锐二面角的正切值为
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A
35．（山东泰安月考）如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点
，与棱的延长线相交于点，则（ ）
A ．若平面，则
B ．存在点S 与直线MN ，使平面
1PA 1A BD 33⎣⎦
1B 1P A BD -1111ABCD A B C D -1DD 11CDD C 1//B F 1A BE 11CDD C 11B F CD ⊥1B F BC 30︒1A BE 11CDD C O P ABC -ABC O AC BC M N S PC SMN PA Q PB R //MN PAB //AB RQ PC ⊥SRQ
C ．存在点与直线，使
D ．是常数
36．（湖南岳阳一模）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，点P 为线段AD
上的一动点，下列结论正确的是（ ）
A ．异面直线AC 与BD 所成的角为60°
B ．是等边三角形
C ．
D ．四面体ABCD
的外接球的表面积为8π
37．（山东临沂模拟）如图，在正方形中，点为线段上的动点(不含端点)，将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图所示的四棱锥，点为线段上的动点(不含端点)，则在四棱锥中，下列说法正确的有（ ）
A ．四点不共面
B ．存在点，使得平面平面
C ．三棱锥的体积为定值
D ．存在点使得直线与直线垂直
38．（山东日照一模）已知正方体的棱长为4，为的中点，为所在平面上一动点，则下列命题正确的是（ ） S MN ()0PS PQ PR ⋅+=1
1
1
PQ PR PS ++A BD C --ACD △BCP 1ABCD E BC ABE AE B AE D --2B AECD -F BD B AECD -,,,B E C F F //CF BAE B ADC -E BE CD 1111ABC A B C D -M 1DD N ABCD
A ．若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
B ．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C ．若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
D ．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线 39．（广东深圳一模）在空间直角坐标系中，棱长为1的正四面体的顶点A ，B 分别为y 轴和z 轴上的动点（可与坐标原点O 重合），记正四面体在平面上的正投影图形为S ，则下列说法正确的有（ ）
A ．若平面，则S 可能为正方形
B ．若点A 与坐标原点O 重合，则S 的面积为
C ．若，则S 的面积不可能为
D ．点D 到坐标原点O 的距离不可能为 40．（山东济宁一模）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，
的动点，，则下列结论正确的是（ ）
MN ABCD 4
πN 4MN =MN P 2πN 1BB DC N 1D N AB 3
πN O xyz -ABCD ABCD xOy //CD
xOy 4
OA OB OC ==1232
AC SO O B O A C 2SO OC ==
A ．圆锥的侧面积为
B ．三棱锥体积的最大值为
C ．的取值范围是
D ．若，为线段上的动点，则的最小值为 41．（广东肇庆二模）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．平面
B ．与平面
C ．的最小值为
D ．以
为半径的球面与侧面的交线长是 42．（广东广州一模）已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ） A ．与一定不垂直 B ．二面角的正弦值是 C ．的面积是 D ．点到平面的距离是常量 43
．（江苏苏州开学考试）在长方体中，已知分别为的中点，则（
）
SO S ABC -83
SAB ∠ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
AB BC =E AB SE CE +)21+1111ABCD A B C D -1AB AD ==12AA =P 1BC 1//A P 1AD C 1A P 11BCC B 1A P PC +5
A 11DCC D 2
π1111ABCD A B C D -EF AB 1EF =Q 11A D P 11C D PQ EF P EF Q --10PEF P QEF 1111ABCD A B C D -122,,AA AB AD E F ===111,BB D C
A ．
B ．平面
C ．三棱锥外接球的表面积为
D ．平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 EF EC ⊥//BD AEF 1C CEF -5π11A BCD 1C CEF -98π。