人教版高中数学选修修订教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集
第一章导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4
)
(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r =
分析:3
43)(π
V V r =
， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1
212)
()(V V V r V r --
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )=-4.9t 2
+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?
思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度
在5.00≤≤t
这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )=-4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并
非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子
1
212)
()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率
2．若设12x x x -=∆,)()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代
替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为
=
∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x
f
1212)()(x x x f x f --表示什么?
直线AB 的斜率
f (x 1f (x 2△y =f
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
02
0)( 所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02 四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t
s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为．
2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y =f (x )=x 3
上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.
五．回顾总结 1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．教后反思：
§1.1.2导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在49
65
0≤
≤t
这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )=-4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， x 1 x 2
O
x
253t
∆+
所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情
况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2
t =附近的情况：
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，
运动员在2t
=时的瞬时速度是13.1/m s -
为了表述方便，我们用0(2)(2)
lim 13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t
=，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2导数的概念
从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数
()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即
说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率
（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000
()()
()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-
三．典例分析
例1．（1）求函数y =3x 2
在x =1处的导数.
分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2
再求
6f x x
∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆
解：法一定义法（略）
法二：222211113313(1)|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和
第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'
(2)f 和'
(6)f
根据导数定义，0(2)()f x f x f
x x +∆-∆=
∆∆ 所以00
(2)lim lim(3)3x x f
f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆
同理可得:
(6)5f '=
在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．
注：一般地，'
0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t
s ，求质点在3t =的瞬时速度为．
2．求曲线y =f (x )=x 3
在1x =时的导数．
3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．教后反思：
§1.1.3导数的几何意义
教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
我们发现,当点
n P 沿
着曲线无限接近点P →0时,割线n PP 趋即Δx 近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. 题：⑴割线n PP 的
问n k 与切线PT 的斜率
斜率
k
有
什么关系？
线PT 的斜率k 为多
⑵切少？
容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无
限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000
()()
lim
()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.
图3.1-2
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率
0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆，得到曲线在点
00(,())x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x '是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：
()f x '或y '，
即:
()()
()lim
x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就是函数f(x)的导函数 (3）函数
()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点
0x 处的导数的方法之一。

三．典例分析
例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2
+1在点P (1,2)处的切线方程. （2）求函数y =3x 2
在点(1,3)处的导数.
解：（1）222
100[(1)1](11)2|lim
lim 2x x x x x x y x x
=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为
22(1)y x -=-即20x y -=
（2）因为222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为
36(1)y x -=-即630x y --=
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比
较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于
x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几
乎没有升降．
（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即
函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，
即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时
间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬
时变化率（精确到0.1）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．
如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作0.8t
=处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：
0.480.91
1.41.00.7
k -=
≈--
所以(0.8) 1.4f '≈-
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
四．课堂练习
1．求曲线y =f (x )=x 3
在点(1,1)处的切线；
2．求曲线y =(4,2)处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．教后反思：
§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=
的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数
y c =、y x =、2y x =、1
y x =
的导数公式及应用 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1y x
=的导数公式
教学过程： 一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数
()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c =
=的导数
根据导数定义，因为
()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆ 所以00
lim lim 00x x y
y ∆→∆→∆'===
0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时
间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数()y f x x ==的导数
因为
()()1y f x x f x x x x
x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00
lim lim11x x y
y ∆→∆→∆'===
1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时
间的函数，则
1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2
()y f x x ==的导数
因为22
()()()y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-==∆∆∆ 所以
00
lim
lim(2)2x x y
y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆
2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变
化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2
y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2
y x =增加得越来越快．若2
y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它
在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1
()y f x x
=
=
的导数 因为11
()()y f x x f x x x x x x x
-
∆+∆-+∆==
∆∆∆ 所以220011
lim lim()x x y y x
∆→
∆→∆'==-=-∆
5
．函数(
)y f x ==
的导数
因为
()()y f x x f x x x x
∆+∆-==∆∆∆
所以0lim
lim x x y y
x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*
()()n
y f x x n Q ==∈，则1
()n f x nx -'=
三．课堂练习 1．课本P 13探究1 2．课本P 13探究2 四．回顾总结
五．教后反思：
§
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景
五种常见函数
y c =、y x =、2y x =、
（二）导数的
运算法则
（2）推论：
[]'
'()()cf x cf x =
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t
p t p =+，其中0p 为0t
=时的物价．假定某种商品的01p =，那
么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有'
() 1.05ln1.05t
p t = 所以'
10
(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）3
23y x x =-+ （2
）y =
；
（3）sin ln y x x x =⋅⋅；
（4）
4
x x y =
； （5）1ln 1ln x
y x
-=+．
（6）2
(251)x
y x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x x
y x x x
-=
+
解：（1）'
3
'
3'
'
'
2
(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-，
'232y x =-。

（2
）'
''y =-
=（3）'''
(sin ln )[(ln )sin ]y x x x x x x =⋅⋅=⋅⋅
（4）'''
'22
4(4)144ln 41ln 4
()4(4)(4)4x x x x x x x x
x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====， '1ln 44
x
x y -=。

（5）''''22
1
1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++
（6）'2'2'
(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅
22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅， '2(24)x y x x e =--⋅。

（7）'
'
sin cos (
)cos sin x x x y
x x x
-=+
2
2
(cos sin )x x x x =+。

【点评】
①求导数是在定义域内实行的．
②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98%
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． （1）
因为'
2
5284
(90)52.84(10090)c =
=-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
是52.84元/吨．
（2）
因为'
2
5284
(98)1321(10090)
c =
=-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数
()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，
''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%
左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 四．课堂练习 1．课本P 92练习
2．已知曲线C ：y ＝3x 4
－2x 3
－9x 2
＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；
（y ＝－12x ＋8） 五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六．教后反思：
§
教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算
法则
（2）推论：
[]'
'()()cf x cf x =
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授
复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表
示成x 的函数，那么称这个函数为函数
()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系
为x u x y y u '
''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若
()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦
三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数： （1）2
(23)y x =+；（2）0.051
x y e
-+=；
（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．
解：（1）函数2
(23)y x =+可以看作函数2
y u =和23u x =+的复合函数。

根据复合函数求导法则有
x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。

（2）函数0.051
x y e -+=可以看作函数u
y e =和0.051u x =-+的复合函数。

根据复合函数求导
法则有
x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。

（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数。

根据复合函数
求导法则有
x u x y y u '''=⋅=''(sin )()s s()u x co u co x πϕπππϕ+==+。

例2求2
sin(tan )y x =的导数．
解：'
2
'
2
2
2
[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅ 【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例3
求y =
的导数．
解：'
y =
2
==， 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例4求y ＝sin 4
x ＋cos 4
x 的导数．
【解法一】y ＝sin 4
x ＋cos 4
x ＝(sin 2
x ＋cos 2
x )2
－2sin 2
cos 2
x ＝1－2
1sin 2
2x ＝1－
41（1－cos4x ）＝43＋4
1
cos4x ．y ′＝－sin4x ． 【解法二】y ′＝(sin 4
x )′＋(cos 4
x )′＝4sin 3
x (sin x )′＋4cos 3
x (cos x )′ ＝4sin 3
x cos x ＋4cos 3
x (－sin x )＝4sin x cos x (sin 2
x －cos 2
x ) ＝－2sin2x cos2x ＝－sin4x 【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应
注意不漏步．
例5曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3
＋x 2
＋2xy ′＝－3x 2
＋2x ＋2 令y ′＝1即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝－3
1
或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－
31，－27
14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为
2
|
12714
31|++-＝22716． 四．课堂练习
1．求下列函数的导数(1)y =sin x 3
+sin 3
3x ；（2）1
22sin -=
x x y
;(3))2(log 2
-x a
2.求)132ln(2
++x x 的导数 五．回顾总结 六．教后反思：
§
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2
() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'
()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度
h 随时间t 的增加而增加，即()h t
是增
函数．相应地，'
()()0v t h t =>．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函
数．相应地，'
()()0v t h t =<．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'
0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．
在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；
在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间(,)a b 内，如果'
()0f x >，那么函数
()y f x =在这个区间内单调递增；如果
'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果'
()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．
3．求解函数
()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数
()y f x =的定义域；
（2）求导数'
'
()y f x =；
（3）解不等式'
()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析
例1．已知导函数'
()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'
()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数
()y f x =图像的大致形状．
解：当14x <<时，'
()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；
当4x >，或1x <时，'
()0f x <；可知()y f x =
在此区间内单调递减；
当4x =，或1x =时，'
()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数
()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）3
()3f x x x =+；（2）2
()23f x x x =-- （3）
()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+
解：（1）因为3
()3f x x x =+，所以，
因此，3
()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为2()23f x x x =--，所以，
()'()2221f x x x =-=-
当'
()0f x >，即1x >时，函数2
()23f x x x =--单调递增； 当'
()0f x <，即1x <时，函数2
()23f x x x =--单调递减； 函数2
()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为
()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<
因此，函数
()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为3
2
()23241f x x x x =+-+，所以． 当'
()0f x >，即时，函数2
()23f x x x =--； 当'
()0f x <，即时，函数2
()23f x x x =--；
函数3
2
()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：
()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合
图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，
在
(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．
例4．求证：函数3
2
23121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．
证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+
当()2,1x ∈
-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内
是减函数．
说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：
（1）求导函数()'f x ；
（2）判断
()'f x 在(),a b 内的符号；
（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．
例5．已知函数232
()4()3
f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值
范围．
解：'
2
()422f x ax x =+-，因为
()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对
[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤
所以实数a 的取值范围为
[]1,1-．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'
()0f x ≥；若函数单调递减，则'
()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
例6．已知函数y =x +
x
1
，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +
x
1)′ =1－1·x －2
=2
22)
1)(1(1x
x x x x -+=-
令
2
)
1)(1(x
x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.
∴y =x +x
1
的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令
2
)
1)(1(x
x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +
x
1
的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间 1.f (x )=2x 3
－6x 2
+72.f (x )=x
1
+2x3.f (x )=sin x ,x ]2,0[π∈ 4.y=xlnx 2．课本练习 五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数
()y f x =单调区间
（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性
六．教后反思：
§
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤；
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景
观察图 3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大t a =附近函数()h t 的图像，如图 3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数
()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附
近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．
对于一般的函数
()y f x =，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2
() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'
()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：
（3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函
数．相应地，'
()()0v t h t =>．
（4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函
数．相应地，'
()()0v t h t =<．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图 3.3-3，导数'
0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，
'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间(,)a b 内，如果'
()0f x >，那么函数
()y f x =在这个区间内单调递增；如果
'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果'
()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．
3．求解函数
()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数
()y f x =的定义域；
（2）求导数'
'
()y f x =；
（3）解不等式'
()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．。