浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考数学参考答案

高三年级数学试题参照答案
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项
切合题目要求的．
1． C
2． D 提示：双曲线x
2y2 1 的渐近线方程为y
x
，由题意1 3 ，所以 a 1 ．a a a9
3． A
提示：由 z 3i12i10得 z2i ，所以 z 2 i ．
4. D
提示：由函数分析式易知f x log 3 x 3x 1在 0,上为增函数，且 f x 1 10 f 3 ，所以原不等式等价于 x1 3 ，解得 x 4 ，再联合 x10 得 1 x 4 ．
5. B
提示：由 3 2m1m 0 得m 3 或 m 2，经查验 m 3 或 m 2 时，直线
3x my40 与直线m 1 x 2y20平行.
6. A
提示：由f x 的分析式知只有两个零点x 2
与 x0 ，清除B；又 f x 3 x
2
8x 2 e x，由3
f x0知函数有两个极值点，清除C， D，应选 A．7． C
提示： f x 2sin(2 x) m ，由图知 f x 在0,上单一递加，
312
在, 上单一递减，又 f 03, f 2 ，f x 在0,上有122122
y
2
3
π
2
Oπx 12
- 3
两个零点，故m3,2．8． A
提示：当 x 0 ,3a 时， f
x
3x 2
12ax 3x x
4a
0 ，∴ f x 在
0 , 3a 上单一递加．所以
f 3a
a
2
27a 1
0，解得 0
a ≤ 1
．
27
9． C
uuur r
ur uur uur
r uur 2
提示： OB b
e 1 ke 2 （ k R ）表示点 B 在与 e 2 平行的水平线 l 上运动， a
e 2 表示点 A 在
4
uur
2
为半径的圆圆上运动，过圆心
以 C （点 C 在 e 2 所在直线的反向延伸线上，且 OC 1 ）为圆心，
4
r r BD 2 2
2 r
r
2 ． C 作直线 CB l ，交圆 C 于点 D ， a b
，即 a b 的最小值为
min
2
4
4 4
10．答案： C
3 m 2
3 2
提示：设这 4 个数为
, 3 m , 3 , 3
m ，且 a b c
m
3 m 3 k ，整理
3
k ，于是
3
2
9m 27 3k 0 ，由题意上述方程有实数解且
m 3 ．如 m 3 ，则 k 3 ，而当 k 3 时， m 3
得 m
或 6 ， 当 m 6 时 ， a 3 ， b 3 ， c 3，此时，其公比 1 ， 不 满 足 条 件 ， 所 以 k 3 ， 又△ 81
4 27 3k
12k
27
0 ，综上得 k
9
且 k
3 ．
4
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共
7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11.
10
,0 ，
64
．
39
2 PB 得 x
10
2
64 提示：设 P x, y ，由 PA
y 2
3
9
12．
，
1
5 2 ．提示：该几何体为圆锥的一半，且底面向上搁置。

所以表面积由底面半圆，
3
2
侧面的一半，和轴截面的面积构成。

所以其体积为
1
2 2，表面积为
3
3
S
S 1 S 2 S 3
1 5 2，此中 S 1
1 r
2 ， S 2
1 rl 5 ，S 3 1
222．
2
2
2
2
2
2
13. 1 ， 210．
提示：令 x 1即得各项系数和．若要凑成 x 3 有以下几种可能： （ 1）： 1 个 x 2 ， 1 个
x ，8 个 1，
所 得 项 为 ： C 101 x 2 C 91
x C 8818 90x 3 ；（2）：3 个
x ， 7 个 1，所得项为：
C 103 3
C 7717
120x 3 ，所以 x 3 项的系数为
210．
x
14. 5 ．
提示：由于 2
7 x 12 x 3 x 4 ，所以，在 x 2
b
2
12 中，令 x 3 与 x 4 得
x ax x 7x 3a b 9 0 且 4a b 16 0 ，解得 a 7, b 12 ，所以 a b 5 ．
3n 1 , n
2k
2n 1
(
n
15.
； a n
6
, k
* 或 a n 1)
3n 2
N
4
．
6
, n 2k 1
12
6
提示： f
x
1 2cos2x
cos2x 1
x
k
或 x k , k Z . 明显数列
，所以
2
6
6
a n 的 a 1
6 ， a 2
5 ，于是当 n 为偶数时， a n 5 n 1
3n 1
，当 n 为奇数时，
6 6
2
6
a
1
n 1
1
3n 2 ．
n 6
2
6
16. 120 ．
提示：第一类， 每一个游戏只有 1 人参加， 有 A 53 60 种参加方法； 第二类， 有一个游戏有 2 人参加，
另一个游戏有 1 人参加，有 C 31 A 52
60 种参加方法，所以切合题意的参加方法共有
120 种．
17.
2 ．
2
提示：由题意，设直线
l 的方程为
y kx
m(km 0) ， A( x 1 , y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，
m
y kx m
则 C ( ,0) ， D (0, m) ，由方程组
x 2
得
y
2
k
1
2
(1 2k 2 ) x 2 4kmx 2m 2 2 0 ，所以
16k 2 8m 2
8 0 ，由韦达定理，得
x
x
4km , x 1x 2
2m 2
2
. 由 C , D 是线段 MN 的两个三平分点，得线段 MN 的中点与线
1
2
1
2k 2
1 2k 2
段 CD 的中点重合 . 所以 x 1 x 2
4km 0
m
k
2
1 2k 2
，解得
.
k
2
三、解答：本大共 5 小，共74 分．解答写出文字明、明程或演算步．
18．（本分14 分）
解：（Ⅰ）因 c cos A b cosC b ，由正弦定理，得
sin C cos A sin B 1 cosC ，
即 sin B sinC cos A sin B cosC ＝ sin A C sin AcosC cos Asin C ，⋯4分所以 sin B cosC sin AcosC ，故 cosC0或 sin A sin B ．⋯5分
当 cosC0，C，故△ABC 直角三角形；
2
当 sin A sin B ， A B ，故△ABC 等腰三角形．⋯7 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 c 2， A B ， a b ，⋯9分
因 C，所以由余弦定理，得 4 a2a22a2 cos ，
66
解得 a28 4 3，⋯12分
所以△ABC 的面 S1a2 sin23．⋯14分
26
19.（本分 15 分）
解：（Ⅰ）因BC//AD ，所以 BC/ /平面PAD；⋯2分
又因 BC 平面PBC 且平面 PAD I 平面 PBC l ，由面平行
的性定理知l / /BC .⋯7分
（Ⅱ） P 作PF BC交BC于F，所以 PF l .因面
PAD平面 PBC ，面 PAD I 平面 PBC l ，所以PF平面
PAD， F 作EF / /AB交 AD 于 F ，接 PE，所以 FEP即
直 AB 与平面 PAD 所成角．⋯10分
又因 DF 2DP 2DF 2DC 2PF 2CF 2，所以
PF 2 ，于是在 Rt EPF 中，sin PEF
2
．⋯15分
P
D C
A B
P
D C
E F
A B
2
解法二：以
DC 的中点 原点，成立空 坐 系 O xyz ， BC t t 0 ， B t ,1,0 ，
uuur
CB t,0,0 ， OP 与面 ABCD 所成的角
，由 意 P 点在
面 ABCD 的射影 Q 必在 x 上，且由 PCD 是 2 的正三角
形得 P
3 cos ,0, 3 sin
，所以
uuur t
3 cos ,1, 3 sin
PB
，⋯10分
平面 PBC 的一个法向量
r x, y, z ，
n 1
r uuur
r
1
PB
t 3 cos x
y
3 sin z
n
0, 3 sin ,1
r uuur ，解得 n 1
，
n 1 CB tx 0
uuur
t 3cos , 1, 3 sin
uuur t ,0,0 ，
因 PA
DA
平面 PAD 的一个法向量
r x, y, z
n 2
，
r uuur
t
3 cos
x y 3zsin
r
n 2 PA
r uuur
, 解得 n 2
0, 3 sin ,1 ，⋯ 12分
n 2
DA tx 0
r r 0,
3 sin ,1
0, 3 sin ,1
1 3sin
2
sin
3 ， n 1 n 2
3
r
uuur
0,2,0
，直AB 与平面 PAD
所 以 n 1
0,1,1 ， AB
所 成 角
， 于 是
r uuur
2
n
BC
sin
1
uuur
．⋯15 分
r 2
n 1 BC
20. （本 分
15 分）
解：（Ⅰ）由已知得
a n 1
2n 1 a n
（ n
N * ），因 a 1
2 ，所以 a 2
21 1 a 1 (n
1
)a n
2
n
(1
1
) a 1 21
2
2
8
． a 3
22 1 a 2 16 ．⋯7 分
5 (2
1
) a 2 2
2
5
2
（ Ⅱ ） 因 a n b n
2n
， 且 由 已 知 可 得
a n 1
a n
， 把
b n 2n 代入得即
2
n
1
1
n
a n
(n
2
) a
n
2
b
n 1
b
n
n
1
，⋯ 10 分，
2
所以 b 2
b 1 1 1
, b 3 b 2
2 1
,L ,b n
b
n 1
( n 1) 1 ，
2
2
2
累加得 b n b 1
1 2 3 L
(n
n 1 (n 1)n n 1 n 2 1
1)
2
2
2 ，⋯1
3 分
2
2 2 1，所以 b n
n 2 1n 2 1
又 b 1
2 2
1
．⋯15 分
a 1
2
21. （本 分 15 分）
解：（Ⅰ） A( x 1, y 1), B( x 2 , y 2 ) ，因 F
0,
1
，所以 AB 的方程 y
kx 1
，代入抛物 方
2
2
程得 x 2
2kx 1 0 ，所以 x 1, x 2 方程的解，进而 x 1x 21 ，⋯ 3 分
又因 k PA
1 x
2 x 1 ， k PB
1 x
2 x 2 ，所以 k PA k PB x 1x 2
1，即 PA
PB ，所
2
x x 1
2
x x 2
uuur uuur
以 PA PB 0 ．⋯7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 x x
1， 立 C 1 在点
， 的切 方程分
y x 1 x
1 2 ， y x 2 x 1 2 ，
1 2
A B
2 x 1 2 x 2
获得交点 P(
x 1
2
x
2
, 1)
．⋯9 分
2
由点 P 在 内得
(x 1
2
，又因
AB y 1
1 y 2
1
2
2
2)，
CD 2 8 d
2
，
x 2 ) 31
1 2 (x 1
x 2
此中 d O 到直 AB 的距离．⋯ 11 分
所以 AB CD
1
( x 12
x 2
2
2) 2 8 d 2
.
又 AB 的 方 程 AB : 1
( x 1
x 2 ) y
1 0，所以
2
2
2
1 1
1
d
2
，令
2
2
2
2
m x x
( x x ) 31
得
m 33
．又由 m x 1
2 ， x 12 x 22
2
1
2
，由
1
2
x 12 1 ( x 1 x 2 ) 2 1
4
所以 m [2,33) ，进而 AB
CD (m 2)(8m 15) ．
所以，当 m =2 ， ( AB
CD )min 2 31 ．⋯ 15 分
22.（本分15 分）
解：（Ⅰ）因f x
2
ax
2x2ax1
，令 g x 2 x
2
．x ln x ，所以 f ( x)x ax 1
a28 0，即 2 2a 2 2
g x 0
恒成立，此
f x0
，所以函数
f x
在 0,，
上减函数；⋯ 3 分
a280，即a2 2 或 a 2 2， g x 2 x2ax10 有不相等的两根，x1,x2
（ x1x2）， x1a a28
， x2a a2
8
．当 x0, x
1
或 x x2 ,， g x0 ，此
44
f x0 ，所以函数 f x在 0, x1和 x2 ,上减函数；当x x1 , x2，
g x0 ，此f x0 ，所以函数f x在 x1 , x2上增函数．⋯7 分
（Ⅱ）函数f x
2x2ax 1
x存在极，所以求得 f ( x)x. 因f
f(x)2x2ax10在0,上有解，即方程2x2ax10在0,上有解，即x
a280. 然当0 ， f x 无极，不合意，所以方程2x2ax 10必有两个不等正根. ⋯ 10 分
x1 x21
方程2x2ax10的两个不等正根分x1 , x2，2，由意知
x1 +x2 =
a
2
f x1 f x2 a x1x2x12x22ln x1ln x2
a2a2
1ln 1a2
1ln 2 ，⋯13分
2424
由 a28 得f x1f x22 1 ln13ln 2 ，即些极的和的取范
2
3 ln 2,．⋯ 15分。