最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习(3)

最新初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习(3)
一、选择题
1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x 天，则可列方程为（ ）. A ．
900900213x x ⨯=+- B ．900900213x x =⨯+- C ．900900213x x ⨯=-+ D ．900900213
x x =⨯++ 【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x 天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.
【详解】
设规定时间为x 天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍， ∴
900900213
x x ⨯=+-， 故选：A.
【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.
2．下列说法中正确的是（ ）
A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形
B ．9的平方根为3
C ．抛物线21(1)32
y x =-++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程
121
m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A
【解析】
【分析】 根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；
B 、9的平方根是±3，该选项错误；
C 、抛物线21(1)32
y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误；
D 、由方程
121
m x -=-去分母得：12m x +=， ∵关于x 的分式方程的解为非负数， ∴102m +≥且112
m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．
3．若关于x 的分式方程2x x -﹣12m x
--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()52212
6m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1
B ．0
C ．5
D ．6 【答案】A
【解析】
【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可．
【详解】
解：化简不等式组为25632y m y y -≤⎧⎨
+>+⎩， 解得：﹣2＜y ≤52
m +， ∵不等式组至多有六个整数解， ∴
52
m +≤4， ∴m ≤3， 将分式方程的两边同时乘以x ﹣2，得
x +m ﹣1=3（x ﹣2），
解得：x =52
m +， ∵分式方程的解为正整数，
∴m +5是2的倍数，
∵m ≤3，
∴m =﹣3或m =﹣1或m =1或m =3，
∵x ≠2， ∴
52
m +≠2， ∴m ≠﹣1， ∴m =﹣3或m =1或m =3，
∴符合条件的所有整数m 的取值之和为1，
故选：A ．
【点睛】
本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．
4．已知关于x 的分式方程
211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<<
B ．2k >-且1k ≠-
C ．2k >-
D ．2k <且1k ≠ 【答案】B
【解析】
【分析】
先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.
【详解】 解：211x k x x
-=--Q ， 21
x k x +∴=-， 2x k ∴=+，
Q 该分式方程有解，
21k ∴+≠，
1k ∴≠-，
0x Q >，
20k ∴+>，
2k ∴>-，
2k ∴>-且1k ≠-，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
5．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/
时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）
A．110100
2
x x
=
+
B．
110100
2
x x
=
+
C．
110100
2
x x
=
-
D．
110100
2
x x
=
-
【答案】A
【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
110
2 x+=
100
x
，
故选A．
6．若关于x的分式方程
2
33
x m
x x
-
=
--
有增根，则m的值是（）
A．1-B．1 C．2 D．3【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可．
【详解】
去分母得：x-2=m，
∴x=2+m
∵分式方程
2
33
x m
x x
-
=
--
有增根，
∴x-3=0，
∴x= 3，
∴2+m=3，
所以m=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
7．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x元，则可列方程为（）
A ．
300072004030x x -=+ B ．720030004030x x -=+ C ．720030004030x x
-=+ D ．300072004030x x -=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．
【详解】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：
720030004030x x
-=+ 故选：C
【点睛】
本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．
8．已知关于x 的分式方程
22124x mx x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0
B ．0或-8
C ．-8或-4
D ．0或-8或-4 【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2），
整理得：（4＋m ）x ＝8，
当m ＝−4时整式方程无解；
当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8；
当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个，已知购
进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为3000元和2000元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼单价多1元．求 A 、B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为x 元，根据题意，列方程正确的是( )
A ．
3000200015001x x +=+ B ．2000300015001x x +=+ C ．3000200015001x x +=- D ．2000300015001
x x +=- 【答案】C
【解析】
【分析】
设A 种月饼单价为x 元，再分别表示出A 种月饼和B 种月饼的个数，根据“购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.
【详解】
设A 种月饼单价为x 元，则B 种月饼单价为(x -1)元， 根据题意可列出方程
3000200015001
x x +=-， 故选C.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．分式方程
22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1
B ．x ＝2
C ．x ＝﹣1
D ．无解
【答案】D
【解析】
【分析】
观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得．
【详解】
方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得：
x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2，
解方程得：x ＝﹣1，
检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0，
所以x ＝﹣1不是方程的解．
故选：D ．
【点睛】
此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键
11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）
A．10001000
30
x x
-
+
=2 B．
10001000
30
x x
-
+
=2
C．10001000
30
x x
-
-
=2 D．
10001000
30
x x
-
-
=2
【答案】A
【解析】
分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：10001000
30
x x
-
+
=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
12．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（）
A．
111
103020
+=
--+
x x x
B．
111
103020
+=
++-
x x x
C．
111
103020
-=
++-
x x x
D．
111
102030
+=
-+-
x x x
【答案】B
【解析】
【分析】
设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，
列方程为
111
103020
+=
++-
x x x
.
【详解】
设规定时间为x天，则
甲队单独一天完成这项工程的
1
10 +
x
，
乙队单独一天完成这项工程的130
x +， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的
120x -. 则
111103020
+=++-x x x . 故选B.
【点睛】 此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.
13．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）.
A ．
120012002(120%)x x -=+ B ．120012002(120%)x x -=- C ．120012002(120%)x x -=+ D ．12001200
2(120%)x x -=- 【答案】A
【解析】
设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ，
由题意得,()
12001200 2120%x x -=+. 故选A.
14．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为 （ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，得： 12121(150%)
x x -=+， 解得：4x =；
经检验，4x =是原分式方程的解.
∴那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个；
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．注意解分式方程需要检验．
15．若分式方程2+
1kx x 2--＝12x -有增根，则k 的值为（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k 即可.
【详解】
解：分式方程去分母得：2（x ﹣2）+1﹣kx ＝﹣1，
由题意将x ＝2代入得：1﹣2k ＝﹣1，
解得：k ＝1．
故选：C ．
【点睛】
此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.
16．若整数a 使关于x 的分式方程111
a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩
无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．10 【答案】C
【解析】
【分析】
解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．
【详解】
解：解关于x 的分式方程
111
a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，
∴a ≠0，a≠1，
∵关于x 的分式方程
111a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12
a >， 解不等式1()02
x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥
，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩
无解， ∴a ≤4，
∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．
17．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( )
A ．
3036101.5x x -= B ．3030101.5x x -= C ．3630101.5x x -= D ．3036101.5x x
+= 【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
设原计划每亩平均产量x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克， 根据题意列方程为：
3036101.5x x -=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
18．解分式方程
21211
x x =--时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +1＝2（x ﹣1） B ．x ﹣1＝2（x +1） C ．x ﹣1＝2 D ．x +1＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案；
【详解】
解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1）
去分母得：x +1＝2，
故答案为D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.
19．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．
60048040x x =- B ．60048040x x =+ C ．60048040
x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B
【解析】
【分析】
由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可．
【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
48060040
x x =+. 故选B ．
【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为
480x 天和现在生产600台机器所需时间为60040
x +天是解答本题的关键．
20．已知关于x 的分式方程
13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且
B ．2m ≠
C ．1m =或2m =
D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A
【解析】
【分析】 分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.
【详解】
13222mx x x
-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)
整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2， ∴22
x m -=- ∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222
m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠
故选：A.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.。