2019_2020学年高中数学课时分层作业13独立事件(含解析)北师大版

课时分层作业(十三) 独立事件
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )
A ．相互独立但不互斥
B ．互斥但不相互独立
C ．相互独立且互斥
D ．既不相互独立也不互斥
A [对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与
B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．故选A.]
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A ．1425
B ．1225
C ．34
D ．35
A [P 甲＝810＝45，P 乙＝710，所以P ＝P 甲·P 乙＝14
25
.]
3．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是1
2，从两袋各摸出
一个球，则2
3
表示( )
A ．2个球不都是红球的概率
B ．2个球都是红球的概率
C ．至少有1个红球的概率
D ．2个球中恰有1个红球的概率
C [分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P (A )＝13，P (B )＝1
2，由于A ，B
相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝2
3
.根据互斥事件可知C 正确．]
4．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝1
3，则事件A 与B 的关系是( )
A ．事件A 与
B 互斥
B ．事件A 与B 对立
C ．事件A 与B 相互独立
D ．事件A 与B 既互斥又独立
C [因为P (A )＝23，所以P (A )＝13，又P (B )＝13，P (AB )＝1
9，所以有P (AB )＝P (A )P (B )，
所以事件A 与B 相互独立但不一定互斥．]
5．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是( )
A ．0.56
B ．0.92
C ．0.94
D ．0.96
C [设事件A 表示：“甲击中”，事件B 表示：“乙击中”．由题意知A ，B 互相独立．故目标被击中的概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－P (A )P (B )＝1－0.2×0.3＝0.94.]
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．
3
5
[“从200个螺杆中，任取一个是A 型”记为事件B .“从240个螺母中任取一个是A 型”记为事件C ，则P (B )＝C 1
160C 1200，P (C )＝C 1
180
C 1240
.
∴P (A )＝P (BC )＝P (B )·P (C )＝C 1
160C 1200·C 1
180C 1240＝3
5.]
7．下列说法正确的有________．(填序号)
①对事件A 和B ，若P (B |A )＝P (B )，则事件A 与B 相互独立； ②若事件A ，B 相互独立，则P (A B )＝P (A )×P (B )； ③如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )； ④若事件A 与B 相互独立，则B 与B 相互独立．
①②③ [若P (B |A )＝P (B )，则P (AB )＝P (A )·P (B )，故A ，B 相互独立，所以①正确；若事件A ，B 相互独立，则A 、B 也相互独立，故②正确；若事件A ，B 相互独立，则A 发生与否不影响B 的发生，故③正确；④B 与B 相互对立，不是相互独立，故④错误．]
8．设两个相互独立的事件A ，B 都不发生的概率为1
9
，A 发生B 不发生的概率等于B 发生
A 不发生的概率，则事件A 发生的概率P (A )＝________.
23
[由已知可得⎩⎪⎨
⎪⎧
(1－P (A ))(1－P (B ))＝19，P (A )(1－P (B ))＝P (B )(1－P (A ))，
解得P (A )＝P (B )＝2
3.]
三、解答题
9. 在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，2
3，且三个项目是否成功相互独
立．
(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．
[解] (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝2
9，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×⎝
⎛⎭⎪⎫1－56×23＝4
45，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝1
9
，
∴恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝19
45
.
(2)三个项目全部失败的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝1
90
，∴至少有一个项目成功的
概率为1－190＝89
90
.
10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. [解] 记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；
D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ，
P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.
(2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，
P (E )＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
[能力提升练]
1．如图所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A ．49
B ．29
C ．23
D ．13
A [“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝2
3，“右边圆盘指针落在
奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝2
3，事件A ，B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域
的概率为23×23＝4
9
，故选A.]
2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A ．34
B ．23
C ．35
D ．12
A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝1
2；第二类，需比赛2局，第一
局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝3
4
.]
3．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是1
2，且是互相独立的，则灯亮的概率为
________．
13
16
[记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C )P (D )[1－P (AB )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝3
16
.
∴灯亮的概率为1－316＝13
16
.]
4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题
的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
0.128[此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.]
5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
[解]记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A i(i＝1,2,3,4)，
则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.
(1)法一：该选手被淘汰的概率：
P＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)
＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)法一：P＝P(A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
法二：P＝1－P(A1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.。