四种命题

四种命题
1．命题及其概念
(1)判断一个语句是不是命题，首先应明确它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”两个条件，只有能判断真假的陈述句才是命题．一个命题要么是真的，要么是假的，不能既是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断其真假．
(2)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．
2．命题的结构形式
(1)数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．
(2)“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．
(3)并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“1
3是有理数”，“5>3”．
3．命题真假的判断
(1)一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．
(2)关于“若p，则q”型的命题
许多命题都可写成“若p，则q”的形式．其中p为条件，q为结论，p和q 本身也可为一个简单命题，这种命题形式明确、简洁，是我们研究命题的主要形式之一．很多命题表面上不是“若p，则q”型的，但是，可以改写成“若p，则q”型，当一个命题改写成“若p则q”的形式之后，判断这种命题的真假的
办法：
①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明即可．
②从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．
1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假________的陈述句叫做命题．
2．判断为真的语句叫真命题_______，判断为假的语句叫假命题______．
3．命题常写成“若p，则q__________”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件______，q叫做命题的结论________．
考点一命题概念的理解
例1判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)求证：3是无理数；
(2)x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果．
[分析]由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．
[解读](1)祈使句，不是命题．
(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x ∈R，可以判断真假，它是命题．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．
[点评] 判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：
(1)必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．
(2)其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．
跟踪练习：判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若x <2，则x <1；
(2)x 2＋2x －1＝0；
(3)存在实数x ，使得不等式x 2－3x ＋1<0成立．
[解读](1)是命题．因为由x <2不能推出x <1，可以作出判断．
(2)不是命题．因为字母的性质不明确，所以不是命题．
(3)是命题．因为根据不等式的解法我们可以求得不等式x 2－3x ＋1<0的解，所以是命题．
考点二命题真假的判断
例2 判断下列命题的真假：
①AB →＋BC →＝AC →
；
②log 2x 2＝2log 2x ；
③若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实根；
④直线x ＋y ＝0的倾斜角是π4；
⑤若α＝3π4，则sin α＝22；
⑥若x ∈A ，则x ∈(A ∩B )．
[分析] 运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．
[解读]①是真命题；②是假命题．如x ＝－1时，log 2x 2＝0，而2log 2x ＝2log 2(－
1)无意义；③是真命题．若m >1，则Δ＝4－4m <0；④是假命题．直线x ＋y ＝0的倾斜角是3π4；⑤是真命题；⑥是假命题．如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}时，1∈A ，
但1∉A ∩B .
[点评] (1)真命题的判定方法
真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．
跟踪练习：给出下列几个命题：
(1)若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0；
(2)若a >b ，则a 2>b 2；
(3)若x >－3，则x 2＋x －6≤0；
(4)若a，b是无理数，则a b也是无理数．
其中的真命题有________个．
[答案]1
[解读](1)是真命题．(2)设a＝1>b＝－2，a>b，但a2<b2，假命题．(3)设x ＝4，显然x>－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．(4)设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题.
考点三命题结构分析
例3指出下列命题的条件与结论．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等．
[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．
解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．
[解读](1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．
(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．
条件为：“一个四边形是正方形”；
结论为：“这个四边形的四条边相等”．
[点评]一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．
跟踪练习：写出下列命题的条件与结论．
(1)质数是奇数；
(2)矩形是两条对角线相等的四边形．
[解读](1)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．
条件为：“一个自然数是质数”；
结论为：“这个自然数是奇数”．
(2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它的两条对角线相等．”
条件为：“若一个四边形是矩形”；
结论为：“这个四边形的两条对角线相等”.
例4将下面的命题写成“若p，则q”的形式．
当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．
[错解]“若p，则q”的形式为：如果a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．
[辨析]原命题有两个条件：a>0和x增加，其中a>0是大前提，x增加是条件．
[正解]“若p，则q”的形式为：当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax ＋b的值也增加．
第2课时四种命题及其相互关系
1．四种命题的概念
关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：
首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．
其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；
(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到
“若非p，则非q”即为否命题；
(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题．
注意：①非p常记作⌝p.②只有“若p，则q”形式的命题才研究它的逆命题、否命题、逆否命题．
2．要注意否命题与命题的否定是不同的，“命题的否定”只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．“若p，则q”形式的命题其否命题为“若⌝p，则⌝q”．在写一个命题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定，后面学习逻辑联结词时还要详加讨论．
3．命题的四种形式间的关系
(1)命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；
(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化．
要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确．
4．间接证明有关问题
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．
1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题__________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆命题________．
2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题_________，其中一个命题叫做原命题_______，另一个叫做原命题的否命题_________．
3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题_____________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆否命题_________．
4．原命题为真，它的逆命题不一定________为真．
5．原命题为真，它的否命题不一定_______为真．
6．原命题为真，它的逆否命题一定______为真．
即互为逆否的命题是等价命题，它们同真____同假____，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否______的命题，它们同真____同假_____．
考点一命题的四种形式之间的转换
例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等．
[分析]此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
[解读](1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．
[点评]写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的
条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．
跟踪练习：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.
(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．
[解读](1)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.
(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数；
逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数.
考点二四种命题的关系及真假判断
例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
[解读](1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形．是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直．是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形．是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．是假命题．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的孤．是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的孤，则这条直线不是弦的垂直平分线．是真命题．
[点评]①四种命题具有两对互为逆否的关系，所以，判断四种命题的真假时，只需判断出原命题与其逆命题的真假，即可得其他命题的真假．
②当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．
跟踪练习：已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中()
A．真命题个数一定是奇数
B．真命题个数一定是偶数
C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数
D．以上判断都不对
[答案]B
[解读]因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B.
考点三互为逆否命题同真同假的应用
例3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的
真假．
[分析]解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．
[解读]解法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
解法二：原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．
方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－1
3≤0.
∴“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．
[点评]本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真同假的方法解决；解法二是先写出原命题的逆否命题，再判断其真假．
跟踪练习：有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“对顶角相等”的逆命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．
其中真命题的个数是()
A．0B．1C．2D．
[答案]B
[解读](1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．
(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．
(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．
(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．
[点评]本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法.
例4写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并证明它们的真假．
[错解]逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．
否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．
[辨析]上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．
[正解]逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．
否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．。