2018-2019学年江苏省连云港市东海中学分校高一数学理上学期期末试题含解析

2018-2019学年江苏省连云港市东海中学分校高一数学
理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果，那么的值
是
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
2. 若，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
利用平方差公式以及二倍角的余弦公式化简原式，再将代入即可.
【详解】
，
因为，
，故选B.
【点睛】二倍角的余弦公式具有多种形式，是高考考查的重点内容之一,此类问题往往是先化简，再求值.
3. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是
( )
A. 1,2,3,4,5
B. 5,16,27,38,49
C. 2,4,6,8,10
D. 4,13,22,31,40
参考答案：
D
略
4. （5分）已知函数f（x）是 R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x）|＜1的解集是（）
A．（﹣3，0）B．（0，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）
参考答案：
B
考点：函数单调性的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：|f（x）|＜1等价于﹣1＜f（x）＜1，根据A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，可得f（0）＜f（x）＜f（3），利用函数f（x）是R上的增函数，可得结论．
解答：|f（x）|＜1等价于﹣1＜f（x）＜1，
∵A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，
∴f（0）＜f（x）＜f（3）
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴0＜x＜3
∴|f（x）|＜1的解集是（0，3）
故选：B．
点评：本题考查不等式的解法，考查函数的单调性，属于中档题．
5. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
6. 如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是()
A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合
B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交
D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行
参考答案：
B
7. 已知tanα= -a，则tan（π-α）的值等
于
A. a
B. -a
C.
D.-
参考答案：
A
略
8. 若函数是函数的反函数，且，则=（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
9. 形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生
动地称为“囧函数”.若函数且有最小值，则当时的
“囧函数”与函数的图象交点个数为
A．1 B．2 C．4 D．6
参考答案：
C
10. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集为 .
参考答案：
或
12. 给出下列四个命题：
①函数在上单调递增；
②若函数在上单调递减，则;
③若，则；
④若是定义在上的奇函数，则.
其中正确的序号是 .
参考答案：
②④
略
13. 函数f（x）=1﹣的最大值是．
参考答案：
1
【考点】函数的值域．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由观察法可直接得到函数的最大值．
【解答】解：∵≥0，
∴1﹣≤1，
即函数f（x）=1﹣的最大值是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题．
14.
参考答案：
15. 已知点在角的终边上，则，．
参考答案：
，
略
16. 在等式的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是▲
参考答案：
17. 若函数的定义域是[-2，2]，则函数y=f（x+1）的定义域
是 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设全集为R，A={x|2≤x＜5 } B={ x|x＞4 } 求：
①A∩B②A∪B③A∩（?R B）④?R A）∩（?R B ）参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：设全集为R，A={x|2≤x＜5 }=[2，5）B={ x|x＞4 }=（4，+∞），
①A∩B=（4，5），
②A∪B=[2，+∞），
③?R B=（﹣∞，4]，∴A∩（?R B）=[2，4]，
④?R A=（﹣∞，2）∪[5，+∞），
∴（?R A）∩（?R B ）=（﹣∞，2）．
19. 如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和圆锥的体积．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】求出圆柱的高，求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积和表面积．
【解答】解：圆锥的高，圆柱的底面半径r=1，
表面积：
圆锥体积： =．
20. 定义在R上的函数f（x），满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f （x+y）=f（x）?f（y），f（2）=3．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0；
（3）解不等式f（7+2x）＞9．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）令y=0得f（x）=f（x）?f（0）恒成立，从而得出f（0）=1；
（2）由题意可知f（x）=f2（）≥0，使用反证法证明f（x）≠0即可得出结论；（3）先求出f（x）的单调性，根据单调性即可列出不等式解出x．
【解答】（1）解：对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）?f（y）．
令x=y=0，得f（0）=f（0）?f（0），
令y=0，得f（x）=f（x）?f（0），对任意x∈R成立，
所以f（0）≠0，因此f（0）=1．
（2）证明：对任意x∈R，有
下证f（x）≠0：
假设存在x0∈R，使f（x0）=0，
则对任意x＞0，有f（x）=f[（x﹣x0）+x0]=f（x﹣x0）f（x0）=0．
这与已知x＞0时，f（x）＞1矛盾，故f（x）≠0．
所以，对任意x∈R，均有f（x）＞0成立．
（3）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]
又x2﹣x1＞0，由已知f（x2﹣x1）＞1，∴f（x2﹣x1）﹣1＞0．
又由（2）知，x1∈R，f（x1）＞0，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）．
故函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∵f（2）=3，∴f（4）=f（3）?f（3）=9，
由f（7+2x）＞9，得f（7+2x）＞f（4），
即7+2x＞4，解得．
21. （本小题满分12分）已知向量，＝(cos x，－1)．
(1)当向量∥时，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(＋)·，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，若的取值范围．
参考答案：
22. 在如图所示的直角坐标系xOy中，点A，B是单位圆上的点，且A（1，0），
∠AOB=．现有一动点C在单位圆的劣弧上运动，设∠AOC=α．
（1）若tanα=，求?的值；
（2）若=x+y，其中x，y∈R，求x+y的最大值．
参考答案：
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】（1）由tanα=，求出cosα、sinα的值，计算?的值即可；（2）根据=x+y，其中x，y∈R，列出方程，求出x、y的表达式，再求x+y的最大值即可．
【解答】解：（1）∵tanα=，∴3sinα=cosα，又sin2α+cos2α=1，α∈，
∴sinα=．cosα=，
cos∠BOC=cos（）=cos cosα+sinαsin==
∴?=||?||cos∠BOC=．
（2））∵A（1，0），B（，），∠AOC=α，（0≤α≤），
∴C（cosα，sinα）；
又∵=x+y，其中x，y∈R， =（cosα，sinα），
；
∴，?x+y=cosα+sinα=
∴当α=时，sin（α+）=1，x+y取得最大值．。