苏教版高二数学选修22直接证明与间接证明学案

年
级
课
程标题
高
二
选修2-
2
学
第2章
第
数学
2节直接证明与间接证明
版本苏教版（理）
一、学习目标：
认识直接证明的两种基本方法：剖析法和综合法；认识剖析法和综合法的思虑过程、特色。

认识间接证明的一种基本方法──反证法；认识反证法的思虑过程、特色。

二、要点、难点
要点：认识剖析法和综合法的思虑过程、特色。

难点：运用剖析法、综合法提升剖析问题和解决问题的能力。

三、考点剖析：
对两种直接证明方法的考察在选择题、填空题和解答题中都有出现，纯真的考察其实不常有，作为解决问题的工具，与其余知识综合运用的特色比较突出。

它能够和好多知识，如函
数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不单要用到不等式的有关知识，还要用到其余数学知识、技术和技巧，并且还考察了运算能力，剖析问题和解决问题的能力。

关于反证法极少独自命题，可是运用反证法剖析问题、进行证题思路的判断则常常用到，有独到之处。

三种证明方法的定义与步骤：
综合法是由原由推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公义、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立的证明方法。

剖析法是从要证明的结论出发，逐渐追求推证过程中，使每一步结论建立的充足条件，直到最后，把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件（已知条件、定义、公义、定理等）为止的证明方法。

假定原命题的结论不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假定错误，从
而证了然原命题建立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。

用这类方法证明一个命题的一般步骤：（1）假定数题的结论不建立；（2）依据假定进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假定不建立；（4）一定原命题的结论建立。

知识点一：综合法
例1关于定义域为0,1的函数f(x)，假如同时知足以下三个条件：①对随意的
x0,1，总有f(x)0；②f(1)1；③若x10,x20,x1x21，都有
f(x1x2)f(x1)f(x2)建立，则称函数f(x)为理想函数。

（1）若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
（2）判断函数g(x)
2x 1（x[0,1]
）能否为理想函数，并予以证明。

思路剖析：（1）取x 1 x 2
0可得f(0)
f(0) f(0) f(0) 0。

由此可求出f （0）
的值。

（2）g(x)
2x 1在[0，1]知足条件① g(x)0；也知足条件②
g(1)1。

若x 10，
x 20，x 1
x 2 1，知足条件③，收此知故 g （x ）理想函数。

解题过程：（1）取x 1 x 20可得f(0)
f(0) f(0)
f(0)
0。

又由条件① f(0) 0，故f(0) 0。

（2）明显g (x)
2x 1在[0，1]知足条件①g(x)
0 ；
也知足条件② g(1)1。

若x 1 0，x 2
0，x 1 x 2
1，则
g(x 1 x 2) [g(x 1) g(x 2)]
2x 1x 2
1
[(2x 1 1)(2x 2
1)]
2x 1
x 2 2x 1
2x 2
1 (2x 2
1)(2x 1 1) 0，即知足条件③，
故g(x)为理想函数。

解题后反省：要证明函数
g(x)
2x 1
x [0,1]
）知足三个条件，得紧扣定义，逐一
（
考证。

知识点二：剖析法
例2 △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，
求证：
1
1
3
a b b c
a b c
思路剖析：此题的要点是将
等差数列的应用。

1 1 3
等价变换，以及三个内角
A 、
B 、
C 成
ab
bc
ab c
解题过程：证明：要证
1 1 3
，
ab bc
ab
c
需证
a
b c a b c 3。

a b b c
即证
c a
1。

b b c
a
需证c(b c) a(a b) (a b)(b c)，需证c 2
a 2 ac
b 2 ∵△ABC 三个内角 A 、B 、C 成等差数列。

∴ B ＝60°。

由余弦定理，有b 2
c 2 a 2
2cacos60，即b
2
c 2 a 2
ac 。

∴c 2 a 2 ac b 2建立，命题得证。

解题后反省：注意剖析法的书写“格式”是“要证只要证”，而不是“由于所以”
知识点三：反证法
例3
已知，
a,b,c (0,1)
，求证：
(1
a)b,(1 b)c,(1
c)a 不可以同时大于
1。

4
思路剖析：求证：
(1a)b,(1b)c,(1
c)a 不可以同时大
于
1
，可用反证法假定能够同
4
时大于
1
，让三个等式左侧右侧分别相乘获取1ab1bc1ca
1
，依据
4
64
2
1aa
1aa
1
能够判断错误，故假定不建立，即得证。

2
4
解题过程：证法一：假定三式同时大于
1
，即1
ab
1
，1bc
1
，1
ca 1
4
4 4
4
a,b,c
0,1，三式同向相乘得
1ab1
bc1
ca
1
，又
2
64
1 a 1
1
1
1a
a a
1 1 c
2
bb
c
4，同理
4，
4
1 a b1
bc1
ca
1
，这与假定矛盾，故原命题得证。

64
1
证法二：假定三式同时大于
4，
0 a1,1 a
0，
1a
b
1 ab
1
1,
2
4
2
同理
1
b c 1, 1c a 1
,三式相加得
3 3
，这是矛盾的，故假定错误，
2 2 2
2
2 2
所以原命题得证。

解题后反省：“不可以同时大于 1
”包括多种情况，不易直接证明，可用反证法证明。

即正
4
难则反：
（1）当碰到否认性、独一性、无穷性、至多、起码等种类问题时，常用反证法。

（2）用反证法的步骤是：①否认结论ABC ；②而C 不合理与公义矛盾
与题设矛盾 ；③所以结论不可否认，原结论建立。

与假定自相矛盾
反证法属于“间接证明法”，是从反面角度思虑问题的证明方法，即：一定题设而否认结论，进而导出矛盾推理。

反证法就是从否认命题的结论下手，并把对命题结论的否认作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之获取与已知条件、已知公义、定理、法例或许已
经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原由是假定不建立，所以一定了命题的结论，进而使命题获取了证明。

知识点四：综合法、剖析法综合应用
例4
设a ，b ，c 为正实数，求证：
1 1 1 ab c
23。

a
3
b
3
c
3
思路剖析：由
1
1 1
b c
3
abc 。

a 3
b 3
c 3想到可应用不等式a
3
解题过程：由于a,b,c 为正实数，由均匀不等式可得
1
1
1
3
111
1 1 1
3
a 3
b 3
c 3
3
a 3
b 3
c 3
，
即
，
a 3
b 3
c 3
abc
所以
1
1
1
abc
3 abc ，
a 3
b 3
c 3
ab c
而
3
abc 2
3 abc 23，
abc
abc
所以
1
1
1 abc
2 3。

a 3
b 3
c 3
解题后反省：综合法是从已知到未知的逻辑推理方法， 即从题设中的已知条件或从已证
的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论 。

证明不等式常用的性质有
ab ab(a0,b0)，a 2
b 2
2ab 等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式
2
应用的范围和“”获得的充要条件。

例5 如图，倾斜角为
的直线经过抛物线y 28x 的焦点F ，且与抛物线交于
A 、
B 两
点。

（1）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线l 的方程；
（2）若 为锐角，作线段 AB 的垂直均分线 m 交x 轴于点P ，证明FP FPcos2
为定值，并求此定值。

思路剖析：使用惯例思路，即能够采纳综合法解决问题。

解题过程：（1）抛物线的标准方程为 y 2 8x ，则焦点的坐标为（
2，0），准线l 的方
程为x
2 。

AC lBD
l
CD
FA AC
（2）证明：如图，作 ，垂足为 ，则由抛物线的定义知 ，
，
、
FB
BD ，记A 、B 的横坐标分别为
x A ，x B ，则
FA
p
p p
|FA|cosa 4
x A
|FA|cosa
2
2
4
2
解得
|FA|
.近似地，解得 |FB|
4。

1 cosa
1 cosa
记直线m 与AB 的交点为E ，则
|FE| |FA|
|FA| |FB|
|AE||FA|
2
1
(|FA||FB|)
1
4
4
4cosa ，所以|FP||FE|
1
4 。

2
2 1cosa cos
a
sin 2a
cosa
sin 2 a
故。

解题后反省： 此题是应用综合法解决分析几何问题，掌握综合法证明的基本方法是
“由
因导果”，即由已知条件出发，顺着推证，逐渐推出求证的结论，综合法的特色是表述简单，条理清楚，它常用的是“，”，或“由于，所以”，或“”等表述方法。

a,a b1,
（天津高考）对实数a与b，定义新运算“”：ab
b 设函数
b,a 1.
f(x)x22xx2,xR.若函数y f(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）
A. C.,21,
3
B.,21,
3
24 ,
11
D.
31
4
,1,,
444
解题思路：在新定义下给出分段函数，利用数形联合求出参数C的取值范围。

解答过程：f(x)x22,x22xx21 xx2,x22xx21
x22,1x3
2
3
x x2,x1,或x
则f x的图象如图
2
∵y f(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴y f(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c 3。

4
解题后反省：新定义问题考察的是即时反响能力，数形联合能使问题形象化。

剖析法的特色是：从未知看需知，逐渐聚拢已知。

综合法的特色是：从已知看可知，逐渐推出未知。

剖析法和综合法各有优弊端：剖析法思虑起来比较自然，简单找寻到解题的思路和方法，弊端是思路逆行，表达较繁；综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便于
思虑，实质证明时常常两法兼用，先用剖析法探究证明的思路，而后再用综合法表达出来。

对质明的考察常常会联合函数、数列、分析几何、导数等知识，既要掌握基本的证明
方法——综合法和剖析法，又要联合有关的数学知识，证明时把两种方法联合起来综合应用。

下节课同学们将学习直接证明中间的一种特别重要的方法——数学概括法，
读课本，思虑：数学概括法与多米诺骨牌之间有什么联系呢？依据多米诺骨牌的原理，理解数学概括法吗？请同学们阅你能。