2018年数学理科高考题分类 真题与模拟题 选修4系列

N单元选修4系列
N1 选修4-1 几何证明选讲
21. N1 [2018·江苏卷] A.[选修4-1:几何证明选讲]
如图1-7所示,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若PC=2√3,求BC的长.
图1-7
21.A.解:连接OC.因为PC与圆O相切,所以OC⊥PC.
又因为PC=2√3,OC=2,
所以OP=√PC2+OC2=4.
又因为OB=2,从而B为Rt△OCP斜边的中点,所以BC=2.
N2 选修4-2 矩阵
21. N2 [2018·江苏卷]B.[选修4-2:矩阵与变换]
(1)求A的逆矩阵A-1;
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(3,1),求点P的坐标.
N3 选修4-4 参数与参数方程
22.N3[2018·全国卷Ⅰ]选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C 2的直角坐标方程;
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.
22.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.
由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以√k 2+1
=2,故k=-4
3或k=0.
经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;
当k=-4
3时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.
当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以√k 2+1
=2,故k=0或k=4
3
.
经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点; 当k=4
3时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-4
3|x|+2.
22.N3[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cos θ,y =4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为
{x =1+tcos α,y =2+tsin α
(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 22.解:(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 2
16=1.
当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α; 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0. 又由①得t 1+t 2=-4(2cos α+sin α)
1+3cos 2α
,故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k=tan α=-2.
22.N3[2018·全国卷Ⅲ] 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为{x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-√2)且倾斜角为α
的直线l 与☉O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.
22.解:(1)☉O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π
2时,l 与☉O 交于两点.
当α≠π
2时,记tan α=k ,则l 的方程为y=kx-√2.l 与☉O 交于两点当且仅当|√2
√1+k 2
|<1,解得k<-1或
k>1,即α∈(π4,π
2)或α∈(π2,3π
4). 综上,α的取值范围是(π4,3π
4).
(2)l 的参数方程为{x =tcos α,y =-√2+tsin α(t 为参数,π4<α<3π
4).
设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =
t A +t B 2
,且t A ,t B 满足
t 2-2√2t sin α+1=0,
于是t A +t B =2√2sin α,t P =√2sin α. 又点P 的坐标(x ,y )满足
{x =t P cos α,y =-√2+t P sin α,
所以点P 的轨迹的参数方程是
{x =√2
2sin 2α,y =-√22
-√2
2
cos 2α
(α为参数,π4<α<3π4).
10.N3[2018·北京卷] 在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a (a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a= .
10.1+√2 [解析] 方法一:将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,分别为x+y=a 与(x-1)2+y 2=1.∵直线与圆相切,∴√2=1,解得a=1±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.
方法二:将圆的极坐标方程代入直线的极坐标方程,得2cos 2θ+2cos θsin θ=a ,即√2sin 2θ+π
4=a-1,∵直线与圆相切,∴a-1=±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.
12.N3 [2018·天津卷] 已知圆x 2+y 2
-2x=0的圆心为C ,直线{x =-1+√2
2t ,
y =3-√2
2
t
(t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则△ABC 的面积为 .
12.1
2 [解析] 圆x 2+y 2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y 2=1,直线的普通方程为x+y-2=0,所以圆心(1,0)到该直线的距离d=√2
2,所以|AB|=2√1-12=√2,所以△ABC 的面积为12×√2×√22=1
2. 21. N3 [2018·江苏卷]C .[选修4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin
π
6
-θ=2,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截
得的弦长.
C .解:因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ, 所以曲线C 是圆心为(2,0),直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为ρsin π6
-θ=2,
则直线l 过A (4,0),倾斜角为π
6,
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B,则∠OAB=π
6
.
连接OB.因为OA为直径,从而∠OBA=π
2
,
所以AB=4cos π
6
=2√3.
因此,直线l被曲线C截得的弦长为2√3.
N4 选修4-5 不等式选讲23.N4[2018·全国卷Ⅰ]选修4-5:不等式选讲
已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)={-2,x≤-1,
2x,-1<x<1, 2,x≥1.
故不等式f(x)>1的解集为x x>1
2
.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为x0<x<2
a ,所以2
a
≥1,故0<a≤2.
综上,a的取值范围为(0,2].
23.N4[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-5:不等式选讲] 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
23.解:(1)当a=1时,
f(x)={2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2, -2x+6,x>2.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
23.N4[2018·全国卷Ⅲ]选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图像;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
图1-5
23.解:(1)f (x )={-3x ,x <-1
2,
x +2,-12
≤x <1,3x ,x ≥1.
y=f (x )的图像如图所示.
(2)由(1)知,y=f (x )的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5. 21. N4 [2018·江苏卷] D .[选修4-5:不等式选讲]
若x ,y ,z 为实数,且x+2y+2z=6,求x 2+y 2+z 2的最小值. D .解:由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≥(x+2y+2z )2. 因为x+2y+2z=6,所以x 2+y 2+z 2≥4,
当且仅当x 1=y 2=z
2时,不等式取等号,此时x=2
3,y=4
3,z=4
3, 所以x 2+y 2+z 2的最小值为4.
N5 选修4-5 优选法与试验设计
1.[2018·四川南充一诊] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cos α,y =sin α
(其中α为
参数),曲线C 2:(x-1)2+y 2=1,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;
(2)若射线θ=π
6(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,求|AB|.
1.解:(1)由{x =√3cosα,y =sinα
得x 2
3+y 2=1.所以曲线C 1的普通方程为x 2
3+y 2=1.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入
(x-1)2+y 2=1,得到(ρcos θ-1)2+(ρsin θ)2=1,化简得到曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ.(2)依题意
可设A (ρ1,π6
),B (ρ2,π6),曲线C 1的极坐标方程为ρ2+2ρ2sin 2θ=3.将θ=π
6
(ρ>0)代入C 1的极坐标方程得12ρ2+ρ2=3,得ρ1=√2.将θ=π
6(ρ>0)代入C 2的极坐标方程,得ρ2=√3.所以|AB|=|ρ1-ρ2|=√3-√2. 3.[2018·郑州一检] 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是ρ=8cosθ
1-cos 2θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;
(2)若α=π
4,设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△AOB 的面积.
3.解:(1)由题意可得直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,
y =tsinα
(t 为参数). ∵ρ=8cosθ1-cos 2θ=8cosθsin 2θ
, ∴ρsin 2θ=8cos θ,∴ρ2sin 2θ=8ρcos θ, 又x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得y 2=8x , ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=8x.
(2)当α=π
4时,直线l 的参数方程为
{
x =1+√2
2
t ,
y =√22
t
(t 为参数),
代入y 2=8x 可得t 2-8√2t-16=0,
设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,
则t 1+t 2=8√2,t 1·t 2=-16,∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=8√3.
又点O 到直线AB 的距离d=1×sin π4=√22,∴S △AOB =12|AB|×d=12
×8√3×√22=2√6. 1.[2018·成都二诊] 已知函数f (x )=|2x+1|+|x-1|. (1)解不等式f (x )≥3;
(2)记函数f (x )的最小值为m ,若a ,b ,c 均为正实数,且1
2a+b+2c=m ,求a 2+b 2+c 2的最小值. 1.解:(1)f (x )=|2x+1|+|x-1|={ -3x ,x ≤-1
2,
x +2,-1
2<x <1,3x ,x ≥1,
∴f (x )≥3等价于{x ≤-1
2,-3x ≥3
或{-1
2<x <1,x +2≥3
或{x ≥1,
3x ≥3,
解得x ≤-1或x ≥1.
∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)由(1)可知当x=-12时,f (x )取得最小值32,即m=32,∴12a+b+2c=32.由柯西不等式,有(a 2+b 2+c 2)(12)
2
+12+22
≥(1
2a +b +2c )2
,∴a 2+b 2+c 2≥37,当且仅当2a=b=c
2,即a=17,b=27,c=47
时,等号成立.∴a 2+b 2+c 2的最小值为37
. 6.[2018·石家庄一检] 已知函数f (x )=|ax-1|-(a-2)x.
(1)当a=3时,求不等式f (x )>0的解集;
(2)若函数f (x )的图像与x 轴没有交点,求实数a 的取值范围.
6.解:(1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x>0,即|3x-1|>x ,∴3x-1<-x 或3x-1>x ,即x<14或x>12
.∴不
等式f (x )>0的解集是{x |x <14或x >1
2
}. (2)当a>0
时,f (x )={2x -1,x ≥1
a
,
2(1-a )x +1,x <1a
,
要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需
{2a
-1>0,
2(1-a )≤0,
即1≤a<2.
当a=0时,f (x )=2x+1,函数f (x )的图像与x 轴有交点. 当a<0
时,f (x )={2x -1,x ≤1
a
,
2(1-a )x +1,x >1a
,
要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需{2
a -1<0,2(1-a )≤0,
此时无解.
综上可知,当1≤a<2时,函数f (x )的图像与x 轴无交点.
7.[2018·合肥一检] 已知函数f (x )=|2x-1|. (1)解关于x 的不等式f (x )-f (x+1)≤1;
(2)若关于x 的不等式f (x )<m-f (x+1)的解集不是空集,求实数m 的取值范围. 7.解:(1)f (x )-f (x+1)≤1⇔|2x-1|-|2x+1|≤1⇔{x ≥1
2,
2x -1-2x -1≤1
或
{-1
2<x <1
2,1-2x -2x -1≤1
或 {x ≤-12,1-2x +2x +1≤1
⇔x ≥12或-14≤x<12⇔x ≥-14, 所以原不等式的解集为[-14
,+∞). (2)由条件知,不等式|2x-1|+|2x+1|<m 有解,只需m>(|2x-1|+|2x+1|)min . 由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+(2x+1)|=2,
当且仅当(1-2x )(2x+1)≥0,即当x ∈[-12,1
2]时等号成立,故m>2. 所以实数m 的取值范围是(2,+∞).。