浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学(理)试题
2013年浙江省高考理科数学试题(一模)
绝密★考试结束前2013学年第一学期高三年级第一次摸底考试试题数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U =R ，集合()37x A x f x x ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}27100B x x x =-+<，则()A B =R ð（A ）()(),35,-∞+∞ （B ）()[),35,-∞+∞（C ）(][),35,-∞+∞（D ）(](),35,-∞+∞（2）已知i 为虚数单位，m ∈R ，21m iz i-⋅=+，z 是z 的共轭复数，若0z z +=，则m = （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（3）函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭向左平移6π个单位后得到一个奇函数，则函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）32（4）已知,,a b c ∈R ，则“()4,5a bc+∈”是“236a b c ==”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，下列说法错误．．的是 （A ）若m n ，是两条异面直线，则直线m n ，夹角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦（B ）若面α//面β，面α 面m γ=，面β 面n γ=，则m //n（C ）若m 不垂直于面α，则m 不可能垂直于面α内的无数条直线（D ）若面α 面m β=，m //n ，且n ⊄面α，n ⊄面β，则n //面α，且n //面β（6）在约束条件0,024x y x y s x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的取值范围是（A ）[]6,15（B ）[]7,15（C ）[]6,8（D ）[]7,8（7）已知在ABC ∆中，1AB =，3AC =．若O 是该三角形内的一点，满足()0OA OB AB +⋅=，OB OC = ，则AO BC ⋅=（A ）52（B ）3（C ）4（D ）92（8）定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是它的导函数，且恒有()()'tan f x f x x <⋅成立，则 （A ）3243f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（B ）()12sin16f f π⎛⎫<⎪⎝⎭（C ）264f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）363f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（9）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点A 是椭圆的一个短轴端点，如果以A 为直角顶点的椭圆内接等要直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（A ）20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（B ）26,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（C ）2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（D ）6,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（10）在平面直角坐标系中，如果不同两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y h x =的图象上，那么称[],A B 为函数()h x 的一组“友好点”（[],A B 与[],B A 看成一组）．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]0,2x ∈时，()sin2f x x π=．则函数()(),08,80f x xg x x x <≤⎧⎪=⎨---≤<⎪⎩的“友好点”的组数为（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考
浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考历史试题命题：余姚中学金珍汪霞审题：元济高级中学胡湘洋德清高级中学徐黎长兴中学许卫卫校稿：朱瑜考生须知：1. 全卷分试题卷和答题卷两部分，共10页（其中试题卷8页，答题卷2页）。
本卷共两大题，29小题，满分为100分，考试时间90分钟。
2. 试卷的答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效。
一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。
请选出各题中一个符合题意的正确选项，并将该选项对应的字母填写在答题卷上相应位置内。
）1. 春秋时期，赵简子说：“……克敌者，上大夫受县，下大夫受郡，士田十万，庶人工商遂”。
这表明春秋时A．世卿世禄的分封关系受到冲击 B．以郡统县的体制普遍建立C．春秋时期已实行察举制 D．血缘政治隶属关系得到空前加强2. 史学家唐德刚在《晚清七十年》中写道：“从秦国开始的我国历史上的第一次社会政治大转型，发自商鞅，极盛于始皇，而完成于汉武。
”这种“社会政治大转型”主要是指A．从土地国有到土地私有 B．从分封制到郡县制C．从百家争鸣到思想统一 D．从奴隶制到封建制3. 汉武帝为了加强朝廷对地方的控制，采取的措施有：①设置刺史②设置司隶校尉③设置卫尉④设置中朝A. ①②B. ①②③④C. ①②③D. ①4．据《南台备要》记载：“江浙省……调兵剿捕之际，行省官凡有轻重事物，若是一一咨禀，诚恐缓不及事。
……（如今）凡有调遣军情重视及创动管钱，不须咨禀，……交他每（们）从便区处。
”这段材料可以反映出元代的江浙行省A．与中央权利之争难以调和 B．获得了紧急事务处置权C．行政长官不再由朝廷任命 D．权利不再受到中央节制5. 史学家孟森在《清代史》中指出：“至于鸦片一案，则为清运告终之萌芽。
盖是役也，为中国科学之实验，为中国无世界知识之实验，为满洲勋贵无一成才之实验。
”从全球化的角度看，鸦片战争失败的原因是A．中国军事的落后 B．中国科学落后 C．中国无世界知识 D．满洲贵族人才的缺失6. 陕北民歌《移民歌》唱道：“山川秀，天地平，毛主席领导陕甘宁。
2013年浙江省高考理科数学试卷及答案(word解析版)
浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题（第5题图）【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 22=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB |−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB|2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
2013年高考理科数学浙江卷-答案
{|x xS=RS T=(){|x xR，再利用并集的定义求出结果．【提示】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得SR【考点】集合的基本运算．s tx y，满足上述两个a，lg(xy lg2【提示】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =，,()C a b ，P ，∴01,0()P B =，2(,0B x P =，(,a C x P =，0(a P C =-00PB PC P B P C ≥，∴(20=，即C AB 的垂直平分线上，∴BC =，故△等腰三角形，故选D ．然后由题意可写出0P B ，PB ，PC ，0PC ，然后由00PB PC P B P C ≥结合向量的数量积的()f x 在1x =取得极小值．对照选项．故选C ．角，∴平面α与平面β垂直，故选A ．155536255(1)(1)C r r r r r r r x x x ----=-．令1524.此时，120+2k =⨯，故k 不存在．综上，2k =.故答案为：2.（步骤3）32c2c 【答案】2【解析】∵1e ，2e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于∴12112e e =⨯⨯∵非零向量12+b xe ye =，（步骤22212||+2+b b x xye e y x ===222||||||+3+3+3+x x b x xy x x x xy y y y ==⎛⎫ ⎪⎝⎭故当3x =-||||x b 取得最大值为，故答案为2.（步骤【提示】由题意求得1232e e =，22212||+2+b b x xye e y x ===222|||||+3+3++x b x xy x x x x y y ==⎛⎫⎛ ⎪⎝⎭再利用二次函数的性质求得||||x b 的最大值．123(10+11++||++++2n n n a a a a a -==123111213++||++++(+++)n n a a a a a a a a =-1112311(21++)(++++)22n a a a a a --=⨯所以，综上所述：1232(21),(111)2||+||+||++||21n n n n a a a a n -⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪10，且1a ，2++||n a 的和．所以PQF BDC 面∥面，且PQ PQF ⊂面， 所以PQ BDC ∥面；（步骤2）方法二：如图所示，1PQOH ，且PQ BDC ∥面（Ⅱ）如图所示，,1][,)a+∞时，---1(2a。
浙江省五校2013届高三上学期第一次联考试卷数学(理科)
2012学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分（共50分）参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n （k ）=C kn p k （1－p ）n -k （k = 0,1,2,…, n ） 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，N ＝301xxx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M N ð等于 A ．{2}x x <- B ．{23}x x x <-≥或 C ． {3}x x ≥ D ．{23}x x -≤< 2．已知α∈（2π,π），sin α=53,则tan （4πα-）等于A ． －7B ． － 71 C ． 7 D ．713．若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围是A ．()1,2-B ．()4,2-C ．(]4,0-D ．()2,4-4．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成120 角，且12,F F 的大小分别为1和2，则有A ．13,F F 成90 角B ．13,F F 成150 角C ．23,F F 成90 角D ．23,F F 成60 角5．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为 A ．(,0)3π-B ． (,)44ππ- C ． (0,)3πD ．(,)43ππ6．若()f x 是R 上的减函数,且(0)3,(3)1f f ==-，设{}1()3P x f x t =-<+<，{}()1Q x f x =<-，若“”x P x Q ∈∈“” 是的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 A ．0t ≤ B ．0t ≥ C ．3t ≤- D ．3t ≥-7．已知函数()2xf x =的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]1,4，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为A ．8B ．6C ．4D ．2 8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2012项2012a 满足 A ．20121010a <<B ．20121110a ≤< C ．2012110a ≤≤ D ．201210a >9．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有A ．576B ．720C ．864D ．1152 10．已知321()3f x x x ax m =-++，其中0a >，如果存在实数t ,使()0f t '<， 则21(2)()3t f t f +''+⋅的值A ．必为正数B ．必为负数C ．必为非负D ．必为非正0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距非选择题部分 （共100分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考数学(理科)试卷及答案(正稿)
浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh=n次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kkkn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =+球的体积公式 343V R π=其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷(选择题 共50分)一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。
） 1．已知i 是虚数单位，且复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为 （ ）A ．6B ．6-C ．0D ．612．已知集合}0,2|{},2|{2>==--==x y y B x x y x A x ，R 是实数集，则（B C R ）∩A =A ．RB ．(]2,1C ．[]1,0D ．φ （ ）3．一次函数nx nm y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 （ ）A ．1,1m n ><且B ．0m n <C ．0,0m n ><且D ．0,0m n <<且4．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=-是 （ ）A ．奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．偶函数且图像关于点(,0)2π对称5．已知每项均大于零的数列{}n a 中，首项11a =且前n 项的和n S 满足nn S S -=*(,n N ∈且2)n ≥，则81a = （ ）A ．638B ．639C ．640D ．6416．已知P 为双曲线C ：221916xy-=上的点，点M 满足1O M =，且0OM PM ⋅= ，则当P M 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ） A ．95B ．125C ．4D ．57．在平面斜坐标系xo y 中045=∠xoy ，点P 的斜坐标定义为：“若2010e y e x OP +=（其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为),(00y x ”．若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足12M F M F =，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A．0x -=B．0x += C0y -= D0y +=8．在正方体1111A B C D A B C D -中，E 是棱1C C 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D A E ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值构成的集合是 （ ）A．t t ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭B．2t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C．{2t t ≤≤D．{2t t ≤≤ (第8题图)9．如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为 “好数”（如：6，24，2013等均为“好数”），将所有“好数”从小到大排成一列123,,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 若2013n a =，则=n （ ） A ．50B ．51C ．52D ．5310．设函数32()32t h x tx t =-，若有且仅有一个正实数0x ，使得700()()t h x h x ≥对任意的正数t 都成立，则0x = （ ） A ．5 B． C ．3 D ．A1第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省五校联盟2013届高三数学下学期第一次联考试题 理(含解析)新人教A版
浙江省五校联盟2013届高三（下）第一次联考数学卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2013•浙江模拟）若集合M={x|x=2﹣t，t∈R}，N={y|y=sinx，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1] B．[﹣1，0）C．[﹣1，1] D．∅考点：交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据指数函数和三角函数的图象和性质求值域的方程求出集合M和N，再求它们的交集即可．解答：解：根据指数函数的图象和性质可知：M={y|y＞0}，根据三角函数的图象与性质得N={y|﹣1≤y≤1}，所以它们的交集为M∩N={y|0＜y≤1}．故选A．点评：本题属于以函数的值域为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．（5分）（2013•郑州二模）复数z1=3+i，z2=1﹣i则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．分析：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，化简为a+bi的形式，即可得到结果．解答：解：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，得复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数代数形式的除法运算，是容易题．3．（5分）（2013•浙江模拟）若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A．22 B．27 C．31 D．56考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可．解答：解：第一次运行得：n=0，p=1，不满足p＞20，则继续运行第二次运行得：n=﹣1，p=2，不满足p＞20，则继续运行第三次运行得：n=﹣2，p=6，不满足p＞20，则继续运行第四次运行得：n=﹣3，p=15，不满足p＞20，则继续运行第五次运行得：n=﹣4，p=31，满足p＞20，则停止运行输出p=31．故选C．点本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环评：结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，启示我们要给予高度重视，属于基础题．4．（5分）（2013•浙江模拟）已知a∈R，则“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；绝对值不等式的解法．分析：要判断“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．解答：解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜2时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a ＜2故“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充要条件故选C点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．（5分）（2013•浙江模拟）已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β；其中可以判定α∥β的是（）A．①B．②C．①③D．③考点：平面与平面平行的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①如图1所示，平面α内的三角形ABC，边BC∥β，顶点A在β的另一侧，点M、N 分别为边AB、AC的中点，且M∈α，N∈α．满足条件，但是α与β不平行；②假设α∩β=c，l∥c，m∥c，则l∥m，满足条件，但是α与β相交不平行；③如图3所示，过直线l作一平面γ，设γ∩α=a，γ∩β=b，过直线m作一平面π，设π∩α=c，π∩β=d，利用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理即可判断出．解解：①如图1所示，平面α内的三角形ABC，边BC∥β，顶点A在β的另一侧，点答：M、N分别为边AB、AC的中点，且M∈α，N∈α．则A、B、C三点到平面β的距离相等，满足条件．但是α与β相交不平行，故不正确．②假设α∩β=c，l∥c，m∥c，则l∥m，满足条件，但是α与β相交不平行，故不正确．③如图3所示，过直线l作一平面γ，设γ∩α=a，γ∩β=b，∵l∥α，l∥β，则l∥a，l∥b，∴a∥β；过直线m作一平面π，设π∩α=c，π∩β=d，∵m∥α，m∥β，则m∥c，m∥d，∴c∥β．∵l与m是异面直线，∴a与c必定相交，∴α∥β．因此正确．综上可知：只有③正确．故选D．熟练掌握空间中线面、面面平行的判定与性质定理是解题的关键．点评：6．（5分）（2013•浙江模拟）若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω≠0）对任意实数x都有，则的值等于（）A．﹣1 B．1C．D．两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．考点：三角函数的求值．专题：分利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为sin（ωx+），根据析：，可得函数的图象关于直线x=对称，故有ω•+=kπ+，k∈z．解得ω的值，代入的解析式化简求得结果．解答：解：∵函数f（x）=sinωx+cosωx（ω≠0）=sin（ωx+），对任意实数x都有，故函数的图象关于直线x=对称，故有ω•+=kπ+，k∈z，∴ω=6k+．令ω=，则=sin[ω•（）+]=sin（﹣）=﹣1，故选A．点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的对称性，属于中档题．7．（5分）（2013•浙江模拟）对函数f（x）=2x﹣|x2﹣1|﹣1的零点的个数的判断正确的是（）A．有3个B．有2个C．有1个D．有0个考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．专题：作图题；数形结合．分析：由题意，可将函数f（x）=2x﹣|x2﹣1|﹣1的零点的个数问题转化为两个函数y=2x﹣1与y=|x2﹣1|的交点问题，作出两个函数的图象，由图象选出正确选项解答：解：由题意，函数f（x）=2x﹣|x2﹣1|﹣1的零点的个数即两个函数y=2x﹣1与y=|x2﹣1|的交点的个数，两个函数的图象如图由图知，两个函数有三个交点故函数f（x）=2x﹣|x2﹣1|﹣1的零点的个数是3故选A点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系以及方程的根与函数图象交点的关系，解答此类题，关键是做出高质量的图象，由图象辅助得出答案，数形结合是非常重要的数学思想，解题时要根据情况善用8．（5分）（2013•浙江模拟）在平面直角坐标系中，不等式（a为常数表示的平面区域的面积为8，则的最小值为（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，先根据面积为8求出a值，又z==1+，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（﹣3，1）构成的直线的斜率范围．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示，若可行域的面积为8，则a=2，又z==1+，其中的几何意义是可行域内的点与点P（﹣3，1）构成的直线PQ的斜率问题．当Q取得点A（2，﹣2）时，取最小值为=5﹣4，则的最小值为．故选B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．9．（5分）（2013•浙江模拟）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和最小值是（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的y轴距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径减去y轴与准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的y轴距离之和的最小为：|FC|﹣r﹣1=﹣1﹣1=，故选B．点评：本题主要考查了抛物线的定义的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．10．（5分）（2013•浙江模拟）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数是奇和数．那么，所有的三位数中，奇和数有（）个．A．80 B．100 C．120 D．160考点：数列的求和．专题：新定义．分析：设三位奇和数百位、十位、各位上的数字分别为a，b，c，通过分析得两数相加得100（a+c）+20b+（a+c）．由奇和数定义可知，a+c为大于10的奇数，且b＜5，由此可列举出a取各2，3，4，…，9时，对应的c值，通过计算可得所有三位奇和数的个数．解答：解：设三位奇和数百位、十位、各位上的数字分别为a，b，c，则颠倒顺序后的数与原数相加为（100a+10b+c）+（100c+10b+a）=100（a+c）+20b+（a+c）．如果此数的每一位都为奇数，那么a+c必为奇数，由于20b定为偶数，所以如果让十位数为奇数，那么a+c必须大于10．又当b≥5时，百位上进1，那么百位必为偶数，所以b＜5，则b可取0，1，2，3，4．由于a+c为奇数，且a+c＞10，所以满足条件的有：当a=2时，c=9．当a=3时，c=8．当a=4时，c=7，9．当a=5时，c=6，8．当a=6时，c=5，7，9．当a=7时，c=4，6，8．当a=8时，c=3，5，7，9．当a=9时，c=2，4，6，8．共有20种情况，由于b可取0，1，2，3，4．故20×5=100，共有100个三位奇和数．故选B．点评：本题考查学生对问题的阅读理解能力及分析解决新问题的能力，准确理解“奇和数”的定义是解决本题的关键．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）（2010•辽宁）的展开式中的常数项为﹣5 ．考点：二项式定理．分析：展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C6r（﹣1）r x6﹣2r，当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，当r=4时，T5=﹣C64=15，因此常数项为﹣20+15=﹣5故答案为﹣5点评：本题考查等价转化的能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（4分）（2013•浙江模拟）一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 2 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，根据体积公式得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故答案为：2点评：本题考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小．13．（4分）（2013•浙江模拟）公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列{a n}中，若S n是{a n}的前n项和，则有一相应的S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30等差数列，该等差数列的公差为300 ．考点：类比推理．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：等差数列与等比数列有很多地方相似，因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的性质，因此商的关第与差的关系正好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比，因此我们可以大胆猜想，数列S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30也是等差数列．再根据等差数列的定义求出公差即可．解答：解：由等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n}中，我们可以类比推断出：S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30也构成等差数列，公差为100d=300；故答案为：300．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查类比推理的应用，而类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），属于中档题．14．（4分）（2013•浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．考点：离散型随机变量的期望与方差．分析：由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．解答：解：由题意知小张摸一次得分X的可能取值是0，，50，100，当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（X=100）==，当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50）==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．15．（4分）（2013•浙江模拟）设双曲线（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点P的坐标，代入以A1A2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．解答：解：假设过焦点F（c，0）与渐近线平行的直线与渐近线相交，联立，解得，得到P，∵若P恰好在以A1A2为直径的圆上x2+y2=a2，∴+=a2，化为c2a2+b2c2=4a4，即c4=4a4，化为c2=2a2．∴=．则双曲线的离心率为．故答案为．点熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．评：16．（4分）（2013•浙江模拟）已知f（x）=x2﹣2017x+8052+|x2﹣2017x+8052|，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）= 24136 ．考点：数列的求和；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：去掉绝对值符号把f（x）化为分段函数，根据分段函数的特征可知，只需求出f（1）+f（2）+f（3）即可，代入即可求得答案．解答：解：x2﹣2017x+8052=（x﹣4）（x﹣2013），当4≤x≤2013时，（x﹣4）（x﹣2013）≤0，当x＜4或x＞2013时，（x﹣4）（x﹣2013）＞0，所以f（x）=，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=f（1）+f（2）+f（3）=2（1﹣4）（1﹣2013）+2（2﹣4）（2﹣2013）+2（3﹣4）（3﹣2013）=24136．故答案为：24136．点评：本题考查数列求和及二次函数的性质，解决本题的关键是去掉函数式中的绝对值符号．17．（4分）（2013•浙江模拟）已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且，若，则m= ．考点：平面向量的基本定理及其意义；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：取AB的中点为D，可得代入已知的等式中，结合正弦定理和向量的运算法则变形，并用三角函数表示出m，化简后可得结果．解答：解：取AB中点D，则有，代入已知式子可得，由，可得，∴两边同乘，化简得：==m，即，由正弦定理化简可得，由s inC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，∴m====sinA=sin=故答案为：点评：本题考查平面向量，正弦定理以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属中档题．三、解答题（本大题共5小题，共72分）18．（14分）（2013•浙江模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，且满足．（1）求角A的大小；（2）若，求b，c（b＜c）．考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）在锐角△ABC中，利用两角和差的正弦公式化简所给的等式求得sinA=，可得 A 的值．（2）利用两个向量的数量积的定义化简条件求得 bc=24，再由余弦定理可得b+c=10，结合b＜c 可得 b、c的值．解答：解：（1）在锐角△ABC中，∵=（ sin cosB+cos sinB）（sin cosB﹣cos sinB）+sin2B=（）（）+sin2B=cos2B﹣sin2B+sin2B=（cos2B+sin2B）=，即 sin2A=，故有sinA=，∴A=．（2）若，则有12=bc•cosA=bc，∴bc=24 ①．再由余弦定理可得=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣72，故有b+c=10 ②．再由b＜c，结合①、②可得 b=4，c=6．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，余弦定理以及两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（14分）（2013•浙江模拟）已知三个正整数2a，1，a2+3按某种顺序排列成等差数列．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若等差数列{a n}的首项和公差都为a，等比数列{b n}的首项和公比都为a，数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，求满足条件的正整数n的最大值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a＞0，知a2+3=a2+1+2≥2a+2＞2a，由此结合题设条件能求出a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，，由此利用，能求出n的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，∴a2+3=a2+1+2≥2a+2＞2a．…（2分）①若三个数1，2a，a2+3依次成等差数列，则有4a=a2+4解得a=2，符合题意；（4分）②若三个数2a，1，a2+3依次成等差数列，则有2=2a+a2+3解得a=﹣1，由a为正数不符合题意∴a=2．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2+（n﹣1）×2=2n，…（8分），…（10分）∵，∴2＞n（n+1）﹣108，即n（n+1）＜110，…（11分）故n的最大值为9．…（12分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查正整数n的最大值的求法．具体涉及到等差数列的性质、等比数列的性质、等价转化思想的应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（14分）（2013•成都模拟）在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC 所成角的正弦值为，求的值．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（Ⅱ）利用已知条件先证明BD⊥AC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（Ⅲ）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q点的位置．解答解：（Ⅰ）如图所示，过点B作BM∥PA，并且取BM=PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM∥AB，：∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM为平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD==，AC=．∵AB∥DC，∴，∴，．∴OD2+OC2==4=CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．∴，设，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴．，由（2）可知为平面PAC的法向量．∴==，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，∴=，化为12λ=7，解得．∴=．点评：熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键．21．（15分）（2013•浙江模拟）如图，椭圆E ：的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D 两点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E 上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专计算题．题：分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点坐标，从而设出椭圆E的方程，解方程组得C（1，2），D（1，﹣2），根据抛物线、椭圆都关于x轴对称，建立关于参数b的方程，解得b2=1并推得a2=2．最后写出椭圆的方程．（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值取值范围，再结合向量的坐标运算利用点P在椭圆上，建立k与t的关系式，利用函数的单调性求出实数t取值范围，从而解决问题解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（1，0）．解答：所以椭圆E的方程为：．解方程组得C（1，2），D（1，﹣2）．由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴，，∴．因此，，解得b2=1并推得a2=2．故椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）代入椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，k2＜∴x1x2=，x1+x2=，∵，∴，∴（1+k2）[﹣4×]＜，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴k2＞，∴＜k2＜，∵满足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴x=，y=，∵点P在椭圆上，∴∴16k2=t2（1+2k2）∴t2=，由于＜k2＜，∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2∴实数t取值范围为：﹣2＜t＜﹣或＜t＜2．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．22．（15分）（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=ln（ax）+x2﹣ax （a为常数，a＞0）（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）当y=f（x）在x=处取得极值时，若关于x的方程f（x）﹣b=0在[0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[，1]，使不等式f（x0）＞m（a2+2a﹣3）成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）a=1时求出f′（x），则切线斜率k=f′（1），求出切点，利用点斜式即可求得切线方程；（2）求导数f′（x），令f′（）=0可得a，利用导数可求得函数f（x）在[0，2]上的最小值、最大值，结合图象可知只需满足直线y=b与y=f（x）的图象有两个交点即可；（3）先利用导数求出f（x）在[，1]上的最大值f（1）=ln（）+1﹣a，则问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1﹣a﹣m（a2+2a﹣3）成立，然后利用导数研究不等式左边的最小值即可；解解：（1）a=1时，，答：∴，于是，又f（1）=0，即切点为（1，0），∴切线方程为；（2），，即a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2，此时，，∴上递减，上递增，又，∴；（3）f′（x）=+2x﹣a==，∵1＜a＜2，∴=＜0，即，∴f（x）在[，2]上递增，∴f（x）max=f（1）=ln（）+1﹣a，问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1﹣a＞m（a2+2a﹣3）成立，设h（a）=ln（+a）+1﹣a﹣m（a2+2a﹣3）（1＜a＜2），则h′（a）=﹣1﹣2ma﹣2m=，又h（1）=0，∴h（a）在1右侧需先增，∴h′（1）≥0，m≤﹣，设g（a）=﹣2ma2﹣（4m+1）a﹣2m，对称轴a=﹣1﹣≤1，又﹣2m＞0，g（1）=﹣8m﹣1≥0，所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，∴h（a）在（1，2）上单调递增，h（a）＞h（1）=0，即ln（）+1﹣a＞m（a2+2a ﹣3），于是，对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[，1]，使不等式f（x0）＞m（a2+2a﹣3）成立，m．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值、最值，考查函数恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，综合性强，难度大．。
【真题】2013年浙江省高考数学试卷及答案(理科)
15．设 F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点，过点 P(1, 0) 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，点 Q 为线段 AB
的中点，若| FQ | 2, 则直线 l 的斜率等于 .
16．在 ABC 中， C 90, M 是BC 的中点，若 sin BAM 1 ,则sin BAC
A,
B
分别是 C1, C2
在第二、四象限
的公共点，若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是
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A. 2
B. 3
C. 3
D. 6
2
2
10. 在空间中，过 A 点作平面 的垂线，垂足为 B ，记 B f ( A) .设
, 是两个不同的平面，对空间任一点 P ， Q1 f [ f (P)], Q2 f [ f (P)], 恒有 PQ1 PQ2 则
(Ⅰ) 当 a 3, b 2, c 1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量
为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；
(ⅠⅠ) 从 该 袋 子 中 任 取 ( 每 球 取 到 的 机 会 均 等 )1 个 球 ， 记 随 机 变 量 为 取 出 此 球 所 得 分 数 . 若
等于
cm3.
x y 2 0 13．设 z kx y, 其中实数 x, y 满足 x 2y 4 0
2x y 4 0
若 z 的最大值为 12，则实数 k
.
14．将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排，且 A, B 均在 C 的同侧，
则不同的排法共有
种(用数字作答).
其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体
浙江省考试院2013届高三测试卷数学(理)试题
大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家测试卷数学(理科)姓名_____________ 准考证号__________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2 D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ⋅a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是 ABCD8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x ＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．30(第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图C D大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家非选择题部分 (共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年浙江省高考数学(理科)试题(教师版含解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-=（ ）.A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D. 1i -+ 分析 直接利用复数的乘法法则运算求解.解析 ()()21i 2i 23i i 13i -+-=-+-=-+.故选B .2.设集合{}{}2|2,|340S x x T x x x =>-=+-，则()C S T =R （ ）.A. ]1,2(-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D. ),1[+∞ 分析 先求出集合S 的补集，同时把集合T 化简，再求它们的并集. 解析 因为{}2S x x =-，所以{}2S x x =-R ≤，而{}41T x x =-≤≤，所以(){}{}{}2411S T x x x x x x =--=R≤≤≤≤.故选C.3.已知y x ,为正实数，则（ ）.A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D.lg()lg lg 222xy x y =⋅分析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证. 解析 A 项，lg lg lg lg 222x yx y +=⋅，故错误；B 项，()()lg lg lg lg lg lg 22222x y x y x y x y ⋅++⋅==≠，故错误；C 项，()lg lg lg lg 22yx yx ⋅=，故错误；D 项，()lg lg lg lg lg 2222xy x y x y +==⋅，正确. 故选D.4.已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 先判断由()f x 是奇函数能否推出ϕπ=2，再判断由ϕπ=2能否推出()f x 是奇函数. 解析 若()f x 是奇函数，则()00f =，所以cos 0ϕ=，所以()k k ϕπ=+π∈2Z ，故ϕπ=2不成立；开始结束若ϕπ=2，则()()cos sin 2f x A x A x ωωπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()f x 是奇函数.所以()f x 是奇函数ϕπ=2必要不充分条件.故B.5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）. A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a分析 可依次求出1,2,3,k =时S 的值进行验证，也可以先求出S 的表达式，通过解方程求出k 的值.解析 （方法一）由程序框图及最后输出的值是95可知：当1k =时， 1,S ka =不成立，故131,2122S k a =+==⨯不成立，故315,32233S k a =+==⨯不成立，故517,43344S k a =+==⨯不成立，故719,4455S =+=⨯此时5k a =成立，所以4a =.（方法二）由程序框图可知：()111111111111111212231223111S k k k k k k =++++=+-+-++-=+-=-⨯⨯++++， 由95S =，得19215k -=+，解得4k =，故由程序框图可知4k a =不成立，5k a =成立，所以4a =.6.已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ）. A.34 B. 43 C. 43- D. 34- 分析 先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.解析 把条件中的式子两边平方，得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=，即233cos 4sin cos 2ααα+=，所以2223cos 4sin cos 3cos sin 2ααααα+=+，所以234tan 31tan 2αα+=+，即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，所以22tan 3tan 2tan 4ααα==--.故选C. 7.设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅.则（ ）. A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C. AC AB = D.BC AC =分析 根据向量投影的概念，对选项逐一验证排除不符合的选项.不妨设4AB =，则01P B =，03P A =.设点C 在直线AB 上的投影为点C '.解析 A 项，若90ABC ∠=︒，如图（1）所示，则2cos PB PC PB PC BPC PB ⋅=⋅∠=，2000P B P C P B ⋅=. 当点P 落在点0P 的右侧时，220PBP B ，即00PB PCP B PC ⋅⋅，不符合； B 项，若90BAC ∠=︒，如图（2）所示，则cos PB PC PB PC BPC PB PA ⋅=⋅∠=-，00003P B P A P B P A ⋅=-=-.当P 为AB 的中点时，4PB PC ⋅=-，00PB PCP B P C ⋅，不符合；C 项，若AB AC =，假设120BAC ∠=︒，如图（3）所示，则2AC '=，PB PC PB PC ⋅=⋅cos BPC PB PC ∠=-，0000000cos 5P B P C P B P C BP C P B P C ⋅=∠=-=-.当P 落在A 点时，8PB PC -=-，所以00PB PCP B PC ⋅⋅，不符合，故选D. 8.已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)xkf x x k =--=，则（ ）.A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值分析 分别求出1,2k =时函数的导数，再判断()0f x '=是否成立及1x =两侧导数的符号， 进而确定极值.解析 当1k =时，()()()e 11x f x x =--，则()()()e 1e 1e 1x x xf x x x '=-+-=-，所以()1e 10f '=-≠，所以()1f 不是极值.图（1）P 0PB (C')CA图（2）BC A (C')P P 0A P 0（P ）C'CB图（3）当2k =时，()()()2e 11x f x x =--，则()()()()2e 12e 11x xf x x x '=-+--= ()()()()2e 1211e 12x xx x x x ⎡⎤---=-+-⎣⎦，所以()10f '=，且当1x 时，()10f '；在1x =附近的左侧，()0f x '，所以()1f 是极小值.故选C.9. 如图所示，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ A.2 B. 3C. 23D.26分析 由椭圆可求出12AF AF +，由矩阵求出2212AF AF +，再求出21AF AF -即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率.解析 由椭圆可知124AF AF +=，12FF =因为四边形12AF BF 为矩形， 所以222121212AF AF F F +==，所以()()222121212216124AF AF AF AF AF AF =+-+=-=，所以()22221121221248AF AF AF AF AF AF -=+-=-=，所以21AF AF -=a =c =所以2C的离心率c e a ==.故选D. 10. 在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，[]12(),()Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎣⎦，恒有21PQ PQ =，则（ ）.A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60 分析 根据新定义及线面垂直知识进行推理.解析 设()1P f P α=，()2P f P β=，则1PP α⊥，11PQ β⊥，2PP β⊥，22P Q α⊥. 若//αβ，则1P 与2Q 重合、2P 与1Q 重合，所以12PQ PQ ≠，所以α与β相交.设al β=，由俯视图侧视图122//PP P Q ，所以122,,,P P P Q 四点共面.同理121,,,P P P Q 四点共面.所以1212,,,,P P P Q Q 五点共面.且α与β的交线l 垂直于此平面.又因为12PQ PQ =，所以12,Q Q 重合且在l 上，四边形112PPQ P 为矩形.那么112PQ P π∠=2为二面角--l αβ的平面角，所以αβ⊥.故选A . 二.填空题11.设二项式5的展开式中常数项为A ，则=A ________.分析 写出二项展开式的通项1r T +，令通项中x 的指数为零，求出r ，即可求出A . 解析()55526155C C 1rrrr rr r T x --+⎛==- ⎝，令55026r -=，得3r =，所以35C 10A =-=-. 12.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2cm .分析 根据三视图还原出几何体，再根据几何体的具体形状及尺寸求体积.解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥， 如图所示.三棱术的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积()31134530cm 2V =⨯⨯⨯=，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同， 高为3，故其体积()32113436cm 32V =⨯⨯⨯⨯=，所以所求几何体的体积为()330624cm -=.13.设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，若z 的最大值为12，则实数=k ________.分析 画出可行域，分类讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k 的值. 解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当102k-≤时， 直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =（舍去）；当12k -≥时，直线y kx z =-+经过点()0,2时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当0k-时，直线y kx z=-+x 4MBCA经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =，符合题意.综上可知，2k =.14.将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）分析 按C 的位置分类计算.解析 ①当C 在第一或第六位时，有55A 120=（种）排法；②当C 在第二或第五位时，有2343A A 72=（种）排法； ③当C 在第三或第四位时，有23232333A A A A 48+=（种）排法.所以共有()21207248480⨯++=（种）排法.15.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 答案：1±（特别说明：根据已公布答案，斜率等于1±代入题干可得抛物线C 与直线l 相切，与题干中“直线l 交抛物线C 于,A B 两点”矛盾.——编者注）16.ABC △中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 分析 画出图形，确定已知量和待求量所在的三角形，利用正弦定理求解. 解析 因为1sin 3BAM ∠=，所以cos 3BAM ∠=.如图所示，在ABM △中，利用正弦定理，得sin sin BM AM BAM B =∠，所以sin sin BM BAM AM B ∠=113sin 3cos B BAC==∠. 在Rt ACM △中，有()sin sin CMCAM BAC BAM AM=∠=∠-∠.由题意知BM CM =，所以()1sin 3cos BAC BAM BAC=∠-∠∠.化简，得2cos cos 1BAC BAC BAC ∠∠-∠=.所以211tan 1BAC BAC ∠-=∠+，解得tan BAC ∠=. 再结合22sin cos 1BAC BAC ∠+∠=，BAC ∠为锐角可解得sin 3BAC ∠=.17. 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,x y x y =+∈R b e e ，若12,e e 的夹角为π6， 则||||x b 的最大值等于________. 分析 为了便于计算可先求2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭b 的范围，再求xb 的最值.解析 根据题意，得()()()1222222212122x x x x y xy x y ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭b e e e e e e22222cos 6x x y xy =π++2114y x ==⎛+ ⎝⎭⎝⎭.因为211244y x ⎛++ ⎝⎭≥，所以204x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭≤b ，所以02x ≤b.故x b的最大值为2.18.在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且123,22,5a a a +成等比数列. （1）求,n d a ；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++分析 （1）用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出n a .（2）根据（1）及0d确定数列的通项公式，确定n a 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .设数列{}n a 的前n 项和为n S . 因为0d，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+.综上所述，123n a a a a ++++ 22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥ 19.设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分， 取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a分析（1）对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量ξ的取值，计算相应的概率，再列出分布列；（2）先用,,a b c 表示出随机事件的概率，列出随机变量η的分布列，求出数学期望和方差，再把条件代入，列方程组求出,,a b c 的关系.解析（1）由题意得2,3,4,5,6ξ=.故()33124P ξ⨯===6⨯6， ()232133P ξ⨯⨯===6⨯6，()231225418P ξ⨯⨯+⨯===6⨯6，()221159P ξ⨯⨯===6⨯6，()111636P ξ⨯===6⨯6.所以ξ的分布列为（2QPMDBA所以2353a b c E a b c a b c a b c η=++=++++++,22255551233339a b c D a b c a b c a b c η⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得240,4110.a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩解得3a c =，2b c =，故::3:2:1a b c =.20. 如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ，22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=. （1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.分析 立体几何题目一般有两种思路：传统法和向量法.传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成.（1）要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；（2）求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解.向量法则是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，利用向量的计算完成证明或求解.直线一般求其方向向量，平面一般求其法向量.（1）只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可；（2）二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角. 解析 方法一：（1）如图（1）所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接,,OP OF FQ .因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且14QF AD =. 因为,O P 分别为,BD BM 的中点，所以OP 是BDM △的中位线，所以//,OP DM 且12OP DM =.又点M 为AD 的中点，所以//OP AD ，且14OP AD =.从而//OP FQ ，且OP FQ =，所以四边形OPQF 为平行四边形，故//PQ OF .又PQ BCD ⊄平面，OF BCD ⊂平面，所以//PQ BCD 平面.（2）如图（1）所示，作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连接CH . 因为AD BCD ⊥平面，CG BCD ⊂平面，所以AD CG ⊥.又CG BD ⊥，AD BD D =，故CG ABD ⊥平面.又BM ABD ⊂平面，所以CG BM ⊥.又,GH BM CG GH G ⊥=，故BM CGH ⊥，所以,GH BM CH BM ⊥⊥.O图（1）QGMH PF DC BAx图（2）所以CHG ∠为二面角--C BM D 的平面角，即60CHG ∠=︒.设BDC θ∠=，在Rt BCD △中，cos ,sin sin CD BD CG CD θθθθθ====，2sin ,sin BC BD BG BC θθθθ====.在BGM △中，BG DM HG BM ⋅==.因为CG ABD ⊥平面，GH ABD ⊂平面，所以CG GH ⊥. 在Rt CHG △中，3cos tan sin CG CHG HG θθ∠===.所以tan θ=.从而60θ=︒.即60BDC ∠=︒.方法二：（1）如图（2）所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，,OD OP 所在的射线为,y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系-O xyz .由题意知()()(),0,,A B D . 设点C 的坐标为()00,,0x y ，因为3AQ QC =，所以0031,42Q x y ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 因为点M 为AD的中点，故()M .又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0033,,0444PQ x y ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭.又平面BCD 的一个法向量为()0,0,1=a ，故0PQ ⋅=a .又PQ BCD ⊄平面，所示//PQ BCD 平面.（2）设(),,x y z =m 为平面BMC 的一个法向量.由()()00,2,1,0,2CMx y BM =--=，知)000,0.x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩取1y =-，得00,1,y m x ⎛=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为()1,0,0=n ，于是1cos ,2⋅===m nm n m n，即2003y x ⎛+= ⎝⎭. ①又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=，故()()0000,,0,00x y x y -⋅-=，即22002x y +=. ②联立①②，解得000,x y=⎧⎪⎨=⎪⎩002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以tan BDC ∠==又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒.21. 如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D . （1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.分析（1）根据椭圆的几何性质易求出,a b 的值，从而写出椭圆的方程；（2）要求ABD △的面积，需要求出,AB PD 的长，AB 是圆的弦，考虑用圆的知识来求，PD 应当考虑用椭圆的相当知识来求.求出,AB PD 的长后，表示出ABD △的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值.解析（1）由题意得1,2.b a =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y .由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l的方程为1y kx =-.又圆222:4C x y +=，故点O 到直线1l的距离d =，所以AB ==又21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x kx k ++=. 由220,44x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩消去y ，整理得()22480k x kx ++=，故0284kx k =-+，所以24PD k =+.设ABD △的面积为S，则2124S AB PD k=⋅=+，所以3213S ==当且仅当2k =±时取等号.所以所求直线1l的方程为12y x =±-. 22. 已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f （1）求曲线)(x f y =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.分析 （1）切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可；（2）要确定()f x 的最大值，首先要确定()f x 的最值. ()f x 的最值又是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定()f x 的单调性，在确定函数单调性时，要注意考虑极值点是否在所给区间内，不确定时需要分类讨论.解析 （1）由题意()2363f x x x a '=-+，故()133f a '=-.又()11f =，所以所求的切线方程为()3334y a x a =--+.（2）由于()()()23131,02f x x a x '=-+-≤≤，故①当0a ≤时，有()0f x '≤，此时()f x 在[]0,2上单调递减，故()()(){}max max 0,233f x f f a ==-.②当1a ≥时，有()0f x '≥，此时()f x 在[]0,2上单调递增， 故()()(){}maxmax 0,231f x f f a ==-.③当01a 时，设11x =21x =则1202x x ，()()()123f x x x x x '=--.由于()(1121f x a =+-()(2121f x a =--. 故()()1220f x f x +=，()()(12410f x f x a -=-，从而()()12f x f x .所以()()()(){}1maxmax 0,2,f x f f f x =.①当23a时，()()02f f .又()()(()2134021220a a f x f a a--=--=，故()()(1max121f x f x a ==+-.②当213a ≤时，()()22f f =，且()()20f f ≥.又()()(()213422132a a f x f a a --=--=，所以ⅰ.当2334a ≤时，()()12f x f .故()()(1max 121f x f x a ==+-ⅱ.当314a ≤时，()()12f x f ≤.故()()max 231f x f a ==-.综上所述，()(max33,00,31210,4331,.4a f x a aa a ⎧⎪-⎪⎪=+-⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥。
浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学(理)试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A, B互斥, 那么棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh如果事件A, B相互独立, 那么其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高P n(k)=C错误！不能通过编辑域代码创建对象。
p k(1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR2球的体积公式其中S1, S2分别表示棱台的上.下底面积, h表示棱台V=错误！不能通过编辑域代码创建对象。
πR3的高其中R表示球的半径第I卷(选择题 共50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若集合，则（ ▲）A． B． C． D．2、复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ▲）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3、若某程序框图如图所示，则输出的的值是（ ▲）A．22 B． 27 C． 31 D． 564、已知，则“”是“恒成立”的 （ ▲）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5、已知两个不重合的平面，给定以下条件：①内不共线的三点到的距离相等；②是内的两条直线，且；③是两条异面直线，且；其中可以判定的是（ ▲）A．① B．② C．①③ D．③6、若函数对任意实数都有，则的值等于（▲）A． B．1 C． D．7、对函数的零点个数判断正确的是（ ▲）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个8、在平面直角坐标系中，不等式为常数表示的平面区域的面积为8，则的最小值为（ ▲）A． B． C． D．9、已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到轴距离之和最小值是 （ ▲）A．B．C． D．10、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数是奇和数。
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x
1 3x
5
的展开式中常数项为
12．(2013 浙江，理 12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm3.
13．(2013
数 k＝__________.
浙江，理
13)设
z＝kx＋y，其中实数
x，y
14．(2013 浙江，理 14)将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的
B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值
D．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
x2 9．(2013 浙江，理 9)如图，F1，F2 是椭圆 C1： ＋y2＝1 与双曲线 C2 的
4
公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )．
BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝ 2 2 .M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线 段 AC 上，且 AQ＝3QC． (1)证明：PQ∥平面 BCD； (2)若二面角 C－BM－D 的大小为 60°，求∠BDC 的大小．
2013 浙江理科数学 第 3 页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
浙江省一级重点中学(六校)2013届高三第一次联考数学理(附答案)
2013年浙江省六校联考数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合},10,1|{},,|{R x a a a y y Q R k k y y P x ∈≠>+==∈==且，若集合Q P 只有 一个子集，则k 的取值范围是（ ▲ ） A. )1,(-∞B. ]1,(-∞C. ),1(+∞D. ),1[+∞2．设,a b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则( ▲ ) A. 31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==3． 设,m n 是空间两条不同直线；α，β是空间两个不同平面；则下列选项中不正确．．．的是（ ▲ ）A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件C ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件4． 阅读下面程序框图，则输出结果s 的值为（ ▲ ） A ．21 B ．23C ． 3-D ．3第4题图 第5题图5．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如上图所示，则将()y f x = 的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 （ ▲ ） A ．x y 2sin = B. )62sin(π-=x y C. )322sin(π+=x y D. x y 2cos = 6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ▲ ）A ． 3项B ．4项C ． 5项D ． 6项7．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为（ ▲ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-8.已知实数,x y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为6，最小值为1，[ 其中0,cb b≠则的值为 （ ▲ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．19．在△ABC 中，（3),AB AC CB -⊥u u u r u u u r u u r则角A 的最大值为（ ▲ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π10. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ▲ ）A ．2B ． 3C ．1D 第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，则这个几何体的体积为 _ ▲ ．12．若不等式ac c b b a -+-+-λ11＞0对于满足条件a ＞b ＞c 的实数a 、b 、c 恒成立，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 13. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。
2013年浙江高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （ ） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （ ） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则 （ ）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 （ ）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则 （ ） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则 （ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 （ ）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4） 三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4） 所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4） （2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6） （3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8） 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。
2013年浙江高考理科数学试卷解析版
2013年浙江高考理科数学试卷解析版绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B互斥，那么P A B P A P B+=+()()()如果事件,A B相互独立，那么•=•P A B P A P B()()()如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S = 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径 选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tanα−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB|≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
数学理卷·2013届浙江省金丽衢十二校高三第一次联考(2013.01)
金丽衢十二校2012-2013学年第一次联合考试数学试卷(理科)命题人：永康一中 审题人：永康一中本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．复数1ii -的共轭复数为 A ．1122i -+ B ．1122i + C ．1122i - D ．1122i --2．已知全集U R =，集合{}31<<=x x A ,{}2>=x x B ，则U A C I B = A. {}21≤<x x B. {}32<<x x C. {}21<<x x D. {}2≤x x 3.设()2ln -+=x x x f ，则函数()x f 的零点所在的区间为 A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ． ()4,34．已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz =A ．4-B ．4±C ．22-D ．22±5．已知不重合的直线m 、和平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题: ①若α∥β，则l m ⊥；②若α⊥β，则l m //;③若l m ⊥，则α∥β； ④若l m //，则αβ⊥.其中正确命题的个数是A ．B ．2C ．3D ．46．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,0>>ωA ）的图象如右图所示，为了得到x A x g ωsin )(=的图象，可以将)(x f 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度7. 点集()()(){}042,2222≤-+++y x x y x y x 所表示的平面图形的面积为A ．πB ．π2C ．π3D ．π58. 在ABC ∆中，()︒︒=72cos ,18cos ,()︒︒=27cos 2,63cos 2，则ABC ∆面积为A ．42 B ．22 C ．23 D ．2 9．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，则 A ．()()()()201310,20130f ef f e f <> B ．()()()()201310,20130f ef f e f >> C ．()()()()201310,20130f ef f ef >< D ．()()()()201310,20130f ef f e f <<10．已知()1,0,∈b a ,则1≤+b a 是不等式()222by ax by ax +≥+ 对任意的R y x ∈, 恒成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11. 若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则实数m 的值为12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是13. 设y x Z +=2，其中实数y x ,满足50100,0x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，则Z 的最大值是14. 一空间几何体三视图为如图所示的直角三角形 与直角梯形，从该几何体的五个面中任意取四个面， 这四个面的面积之和为 （只选择一种情况）15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足PM AM 2=,则()+⋅的值为16. 已知点B 为双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的虚轴端点，1F 是双曲线的焦点，O 为坐标原点.若F 1在F 1上的投影恰好为b ，则此双曲线的离心率=e ______17．设()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，()xx f 2=.若对任意的[]2,+∈a a x ,不等式()()2f x a fx +≥恒成立,则实数a 的取值范围是三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5b =，ABC∆的面积为103． （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 19．(本题满分14分)已知等差数列{}n a 满足62,10253=-=a a a .（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足()()⎪⎩⎪⎨⎧=--为偶数为奇数n a n b n n n 11212 , n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .20．（本题满分14分）如图在梯形ABCD 中，DC AB //，E 、F 是线段AB 上的两点，且AB DE ⊥,AB CF ⊥，2,3===FB EF CF ,G 为FB 的中点,设t AE =，现将BCF ADE ∆∆,分别沿CF DE ,折起，使B A ,两点重合于点P ，得到多面体PEFCD .（Ⅰ）求证：//PD 平面EGC ； （Ⅱ）当⊥EG 面PFC 时,求 二面角G DC P --的余弦值.21．（本小题满分15分）已知椭圆22:12y M x +=的左右顶点分别为C D ,，,过点()0,2-P 且斜率不为0的直线与椭圆M 相交于B A ,两点，设()()2211,,,y x B y x A . （Ⅰ）求21211x x x x ++的值；（Ⅱ）若直线BD AC 与相交于点E ,证明:点E 的横坐标为定值.22．（本小题满分15分）已知函数()()xe x xf -+=22（e 为自然对数的底数）（Ⅰ） 求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ） 设函数()()()x e x f t x xf x -+'+=2121ϕ，是否存在实数[]1,0,21∈x x ，使得()()212x x ϕϕ<？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.金丽衢十二校2012-2013学年第一次联合考试数学试卷(理科)参考答案一、选择题(5×10=50分)二、填空题(4×7=28分)11. 12.30 13.815.21-16.215+ 17.23-≤a三、解答题(共72分)18.1sin 2ABC S ab C ∆I ==Q 解：（）5sin83a a π∴⨯⨯==得 ——3分 2222cos ,ca b ab C c =+-=7==——6分 sin ,sin sin sin a c a CA A C c II =∴===Q（）————9分 2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯ —————11分1113sin()sin cos cos sin 6667214A A A πππ+=+=+⨯=————14分19.111210,42()6a d a d a d I +=+-+=解：()112,4,(1)42n a d a a n d n ==∴=+-=-———————6分{}1n n b n n b II ()数列的前2项中，奇数项和偶数项各有n 项当奇数时，为首项是公比是4的等比数列——————7分1(1)1441=1143n n n a q S q ---==--奇————————10分2(1)=422n n b n n S n n n-+⨯=-偶当为偶数时，为首项是1公差是4的等差数列——————13分224123nn T S S n n -=+=-+奇偶———14分 20．（Ⅰ）证明：连接DF 交EC 于点O ，连接OGG O ,Θ为中点 OG PD //∴ 又EGC PD 面⊄Θ EGC OG 面⊂ ∴//PD 平面EGC ——5分（Ⅱ）①当⊥EG 面PFC 时, PF EG ⊥ 又ΘG 为FB 的中点2==∴EP EF ，2=∴t ————8分 方法一：分别取EP CD EF ,,中点Q N M ,,,连接GQ DQ MN PN PM ,,,,,设PM 与GQ 的交点为K ,因为PF PE =,PC PD =∴DC PN ⊥∴ 又DC MN ⊥Θ⊥∴DC 面PMN PNK ∠∴为二面角G DC P --的平面角.———11分易求得215,6,23===NK PN PK ,在PNK ∆中由余弦定理可求得10103cos =∠PNK 所以二面角G DC P --的平面角的余弦值为10103—14分 方法二：如图过E 作EH EF ⊥,分别以ED EF EH ,,为Z Y X ,,轴建立空间直角坐标系则()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,23,23,3,2,0,3,0,0,0,1,3G C D P ——————9分设面PDC 的一个法向量为()1,,y x m =,()(,1,3,0,2,0==DP DC Θ0=⋅=⋅DP m DC m 可求得()1,0,1=——————11分设面GDC 的一个法向量为()1,,y x =,=Θ0=⋅=⋅DC n 于是 <,cos G DC P --21.解：（Ⅰ）设AB 得：()024422222=-+++k x k x k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2242422212221k k x x k k x x ————4分∴21211x x x x ++4524252222-=+-+=k kk k ———6分 （Ⅱ）()()0,1,0,1C D -AC 的方程为：()1111--=x x y y BD 的方程为：()1122+-=x x y y 可联立解得E 点横坐标212112212112y y y x y x y y y x y x x E ++--++=———9分4332121221+-++=x x x x x x ————12分(方法一)将()1452121-+-=x x x x 代入上式可得2143423212121-=++---=x x x x x E所以E 的横坐标为定值21-.————15分 (方法二) 4332121221+-++=x x x x x x 44)(32211211221+-++++=x x x x x x x x44243224224212212222+-+-++-++-=x k k x k k k k 2142882244122122-=-+-++-=x k k x k k .————15分 22. 解：（Ⅰ）Θ()x exx f 2-=' ∴()x f '在()0,∞-上单调递增，在()+∞,0上单调递减. ————4分 （Ⅱ）假设存在实数[]1,0,21∈x x ，使得()()212x x ϕϕ<，则()()max min ][][2x x ϕϕ< ————————6分Θ()()()xe xf t x xf x -+'+=2121ϕ()xe x t x 112+-+= ∴()='x ϕ()()()xx ex t x e t x t x 112---=-++- ① 当1≥t 时，()0≤'x g ，)(x g 在]1,0[上单调递减∴()()012ϕϕ< 即132<-e t ，得123>->et ② 当0≤t 时，()0>'x g ，)(x g 在]1,0[上单调递增∴()()102ϕϕ<即et-<32，得023<-<e t ————10分 ③ 当10<<t 时，在[)t x ,0∈，()0<'x g ，)(x g 在[]t ,0上单调递减 在(]1,t x ∈，()0>'x g ， )(x g 在[]1,t 上单调递增 ∴()()(){}1,0max 2ϕϕϕ<t 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<+e t e t t 3,1max 12（★）由（Ⅰ）知()t et t f 12+=在]1,0[上单调递减 故2224≤+≤te t e 而e e t e 332≤-≤∴不等式（★）无解综上所述，存在()⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃-∞-∈,2323,e e t ，使得命题成立．————15分。
浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考化学试题.pdf
浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考 化学试题卷 命题 说明： 1、本卷考试时间为90分钟，总分为100分。
2、本卷用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Mg－24 K－39 卷I（共40分） 一、选择题(每小题只有一个正确选项，共20小题，每小题2分，总计40分) 1、化学与生产生活、社会发展密切联系，下列有关说法不正确的是 ( ) A．我国城市生活垃圾处理问题日益严峻，建议在大中城市兴建现代化的垃圾焚烧处理厂 B．随着工业发展，大气中的二氧化碳浓度不断增，温室效应日益严重，回收利用二氧化碳合成可降解塑料，将成为解决这一问题的可能途径 C．在工业生产中，研制出在较低温度和压强下能使反应迅速进行的催化剂，可起到很好的节能效果十八大提出的绿色发展理念 D．对苯二甲酸和乙二醇加聚得到的聚对苯二甲酸乙二酯目前产量大的合成纤维2、下列有关物质归类正确的是( ) ①强电解质：化氢、氢氧化钡、摩尔盐②弱电解质：草酸、纯碱、醋酸铵 ③非电解质：液氨、二氧化硫、苯④同系物：CH2O2、C2H4O2、C3H6O2 A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③、NA代表阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是 ( ) A．常温常压下，甲基(14C1H3)所含的中子数和电子数分别为8NA、9NA B．标准状况下，11.2L氯仿中含有CCl键的数目为1.5NA C．标准状况下，2.24L Cl2全部被NaOH溶液吸收，转移的电子数目为0.2NA D．在高温、高压、催化剂的条件下，28gN2和6gH2充分反应，生成NH3的分子数为2NA 4、下列化学用语表述正确的是 ( ) A．电离方程式：＝＋H＋B．的化学方程式：＋＝＋2↑＋C．和乙醛反应的离子方程式：CH3CHO＋2＋OH－CH3COO－＋↓＋3H2O D．表示H－水解的离子方程式为：H－＋H2O2－＋H3O＋ 5、在下列给定条件的溶液中，一定能大量共存的离子组是 ( ) A．澄清透明溶液：H＋、、SO42、－ B．常温下KW/c(H＋)＝0.1mol/L的溶液：K＋、Na＋、SiO32、NO3－ C．铁片加入产生气泡的溶液：Na＋、NH4＋、I－、NO2－ D．NaHCO3溶液：K＋、Na＋、SO42－、Al3＋ 6、根据下列物质的性质，判断其应用错误的是 ( ) A．碳酸钾溶液呈碱性，可用于清洗油污 B．水与乙醇以任意比例互溶，可用水洗、分液的方法除去溴乙烷中的乙醇 C．镧镍合金能大量吸收H2形成金属氢化物，可作储氢材料 D．游泳池中常加入硫酸铜，其主要作用是铜离子水解生成Cu(OH)2胶体，吸咐池中的悬浮物 、下列物质结构性质错误的是 ( ) A．苯酚结构中羟基对苯环的影响，所以苯酚能和碳酸钠溶液发生反应 B．石墨晶体中，层内存在共价键，层间存在分子间作用力，所以石墨熔点高但质软 C．甲酸结构中存在醛基所以能使酸性KMnO4溶液褪色 D．水分子内存在强烈的共价键，所以水的分解温度很高 、元素周期律揭示元素间的递变规律既相似性又递变性下列递变规律正确的是( ) A．第二周期元素氢化物稳定性顺序是：HF＞H2O，所以第三周期元素氢化物稳定性顺序也是：HCl＞H2SB．IVA族元素氢化物熔点顺序是：SiH4＞CH4，所以VA族元素氢化物熔点顺序也是：PH3＞NH3 C．ⅦA族元素的非金属性是：F＞Cl，所以ⅦA族元素氢化物的酸性也是：HF＞HClD．镁比铝活泼，工业上用电解熔融氧化铝制备铝，所以工业上也用电解熔融氧化镁制备镁 、某反应的反应物与生成物有：K2Cr2O7、KCl、CrCl3、Cl2、HCl、H2O，已知氧化性K2Cr2O7＞Cl2，则下列说法不正确的是 ( ) A．Cl2是该反应的氧化产物 B．氧化剂和还原剂的物质的量之比为1:14 C．当转移0.2mol电子时被氧化的还原剂的物质的量为0.2mol D．由此反应可知还原性HCl＞CrCl3 1、下列说法正确的是 ( ) A．已知X在一定条件下转化 X与Y互为同分异构体，可用FeBr3溶液鉴别 B． 能发生的反应类型有：加成反应、取代反应、消去反应、水解反应 C．3－甲基－3－乙基戊烷的氯取代产物种 D．相同条件下乙酸乙酯在水中的溶解度比在乙醇中的溶解度要大 、其他条件不变升高温度下列数据不一定增大的是 ( ) A．水的离子积常数KWB．0.1mol/LCH3COONa溶液的pH C．可逆反应的化学平衡常数KD．弱电解质的电离度α 下列情况不能用勒夏特列原理解释的是 ( ) A．利用饱和NaCl溶液除去Cl2中的HCl B．乙酸乙酯在碱性条件下水解更充分 C．工业合成氨反应N2(g)＋3H22NH3 (g) △H＝－92.4J/mol，采用较高的温度下进行 D．CO中毒的病人高压氧舱13、现有常温下的四份溶液：①0.01 mol/L HCl；②0.01 mol/L CH3COOH；③pH＝12的氨水；④pH＝12的NaOH溶液。
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浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考
数学（理科）试题卷
命 题：慈溪中学 施炎平 胡 平
审 题：元济高级中学甘建飞德清县高级中学江战明永嘉中学汪志强校稿：金勤宏
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式
如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示球的半径 表示棱台的高
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位
置上。
）
1．已知是虚数单位，且复数是实数，则实数的值为（）A． B． C．0 D．
2．已知集合，是实数集，则（）∩=
A．R B． C． D．（）
3．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 （）
A． B． C． D．
4．当时，函数取得最小值，则函数是（）
A．奇函数且图像关于点对称 B．偶函数且图像关于点对称
C．奇函数且图像关于直线对称 D．偶函数且图像关于点对称
5．已知每项均大于零的数列中，首项且前项的和满足
且，则（）
A．638 B．639 C．640 D．641
6．已知为双曲线：上的点，点满足，且，则当取得最小值时的点到双曲线的渐近线的距离为（）
A． B． C． D．
7．在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”．若且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为
（）
A． B． C． D．
8．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）
.
A． B．
C． D． (第8题图)
9．如果正整数的各位数字之和等于6，那么称为“好数”（如：6，24，2013等均为“好数”），将所有“好数”从小到大排成一列若，则
（）
A．50 B．51 C．52 D．53
10．设函数，若有且仅有一个正实数，使得对任意的正数t都
（）
A．5 B． C．3 D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。
）
11．在各项均为正数的等比数列中，若公比为，且满足=16，则 ▲ . 12．二项式（）展开式中的常数项是 ▲ .
13．执行如下图的程序框图，输出和,则的值为 ▲ .
14．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是 ▲ .
正视图
侧视图
俯视图
图图图
（第13题图）（第14题图）
15．设圆，过圆心作直线交圆于、两点，与轴交于点，若恰好为线段的中点，则直线的方程为 ▲ .
16．设函数
为坐标原点，为函数
图象上横坐标为
的点，向量,向量，设为向量与向量的夹角，则满足的最大整数是 ▲17．已知函数. 若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ▲ .
三、解答题：（本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤。
）
18．在中，内角的对边分别为．已知．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.
19．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比
赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛
可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万
元．
（Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
（Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为，求的均值．
20．如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）当的长为何值时，平面与平面所成的
锐二面角的大小为？
21．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别
是A,B.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
22. 已知函数
（I） 若为的极值点，求实数的值；
（II） 若在上为增函数，求实数的取值范围；
（III） 当时，方程有实根，求实数的最大值.
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数学(理科)参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
12345678910
A C
B
C C B
D D B D
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. 5 12. 15 13.
13
14. 15. 或 16. 10
17. 4
三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程
或解题步骤)
18. （本小题满分14分）
解：（I）由正弦定理，设
则
所以………………4分
即，
化简可得………………6分
又，
所以
因此………………8分
（II）由得………………9分
由题意，………………12分
………………14分
19. （本小题满分14分）
解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．
设此数列为，则易知，
解得（舍去）或，所以此决赛共比赛了5场． …………3分
则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率
为；
…………6分
（II）随机变量可取的值为，即220，300，390，490 (7)
分
又 …………8分
…………12分
所以，的分布列为
220300390490
所以的均值为377.5万元 …………14分
20. （本小题满分14分）
（I）证明：平面平面,,
平面平面=，
平面．
平面，，…………2分
又为圆的直径，，
平面． …………3分
平面，平面平面．
…………4分
（II）根据（Ⅰ）的证明，有平面，
为在平面内的射影,
因此，为直线与平面所成的角 ……………6分
，四边形为等腰梯形，
过点作，交于．
,，则．
在中，根据射影定理，得． …………8分
，．
直线与平面所成角的大小为． …………9分（Ⅲ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为则 ,又
…………10分
设平面的法向量为，则,．
即令，解得
………………12分
由（I）可知平面，取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为，即，解得
因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为.
14分
21. （本小题满分15分）
解：（I）设椭圆方程为。
抛物线的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为 …………………………4分
（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标。
则切线方程分别为，。
又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点
（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。
(9)
分
（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即
所以
不妨设
，同理………12分
所以
即。
故存在实数，使得。
……………………………15分
22. （本小题满分15分）
解：（I）
因为为的极值点，所以，即，解得。
……4分
（II）因为函数在上为增函数，所以
在上恒成立。
………6 分
当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意。
… ……7分
当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒
成立。
………8分
令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以。
因为，所以。
综上所述，a的取值范围为。
………10分
（Ⅲ）当时，方程可化为。
问题转化为在上有解，即求函数的值域。
因为函数，令函数，………12分
则，
所以当时，，从而函数在上为增函数，
当时，，从而函数在上为减函数，
因此。
而，所以，因此当时，b取得最大值0. ………15分。