固体物理学：第一章 第二节 晶列和晶面

互质的证明：
取第一个晶面，即μ=1，根据公式1.2.2有：
同样考虑该晶面上某结点，其矢量为R。对 其做法线上投影，得到长度就是晶面距离d
把前面的公式得到的方向余弦带入上式：
如果h1,h2,h3不互质，有公因子m，m为大于1 的整数。令：
上式化作：
由于上面式子中m大于1，括号内整数求和为非零 整数，所以上式不能成立。所以h1,h2,h3必然为互 质的整数。
以晶体学单胞的基矢a,b,c为坐标来表示的 晶面指数，也是互质的整数，称为密勒指 数，记作（hkl）。 密勒指数的确定方法同前面的晶面指数， 只是基矢和元胞不同。 同一点阵的晶面指数和密勒指数可能不同 。由密勒指数确定的晶面族可能会遗漏部 分结点。
密勒指数简单的晶面族中，面间距大，这种 晶面容易解理。
取a1,a2, a3为三个基矢的长度，晶面的面间距为d， 法线为矢量en 即过原点的晶面为第0个晶面，其余晶面均与切割 坐标轴。考虑第μ个晶面，到原点距离为μd，设它 在坐标轴上的截距为：
分别求三个截距在法线方向的投影长度即为μ d.
因此很容易得到： 即晶面法线方向余弦之比，等于三个截距倒 数之比。两者标志晶面是等价的。
[100] [110] [111]
a3 a2
a1
例：如图在立方体中，D是BC的中点
，求BE,AD的晶列指数。
解： OB i , OE i j k,
A
a3
a2
BE OE OB j k
晶列BE的晶列指数为：[011]
O
a1
E
C D B
求AD的晶列指数。 OA k , OD i 1 j,
2
AD OD OA i 1 j k 2
AD的晶列指数为: [212]
注意:
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。 晶列(111)
晶列[111]
<100>代表了以下6个晶向。分别代表了立方 体的三个棱边，每个边有正负两个方向。
红色三角形代表的晶面指数： 很显然，红色三角形在三个轴上的截距之比为 2:2:3 取倒数之比为1/2:1/2:1/3 化为互质整数： 3:3:2 即该晶面的指数为(332)
立方点阵
在晶体中，晶面指数整体相差一个负号，代表 同一族晶面，没任何区别。只在晶体的外表面 才有意义。
密勒Miller指数
正方形点阵中的某一族晶列 其晶向就是沿着直线的方向
同一个点阵中可以有很多族晶列
通常用元胞的基矢来定义晶向。如果取任一格点O, 到最近邻结点A的平移矢量是：
OA l1a1 l2a2 l3a3
l1, l2 , l3为整数
那么l1,l2,l3就用来标记OA方向，即晶向。我们
用[l1,l2,l3]来表示晶向指数。注意方括号！
OA为最近邻，所以l1,l2,l3一定为互质整数。
如果遇到l为负数，则负号放l上面： l 记作 l
由于晶体对称性，我们用< l1,l2,l3 >表示点阵
中的一组对称的晶向。
二维点阵的某一个晶向OA: [23] OA=2a1+3a2
简单立方的几个晶向
OA=a1+0+0 OB=a1+a2+0 OC=a1+a2+a3
EH
例: 在立方晶系中画出(210)、 (121) 晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a (210) 1
2
bc 1
(121) 1
1
1
2
C EB
cD
b aF GA
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；
密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
晶面间距
晶面组中最邻近的两个晶面间的距离叫晶面 间距 dhkl 对于简单立方：
第一章 晶体的结 构及其对称性
§1.2 晶列和晶面
一、晶列及其晶向标志
晶列和晶向
点阵中的结点是周期排列，这些结点可以看 做分布在一系列相互平行的直线上，这些直 线称为一族晶列。 每一族的晶列定义了一个方向，称为晶向。 一族晶列应该包含点阵中所有结点。 一个点阵中应有无穷多族晶列。 一族晶列不同平行线之间间距一样。
晶面指标化程序：
在一族晶面中，找到任一晶面在基矢坐标轴上的 以天然长度单位度量（分数坐标）的截距。(如果 平面平行于某一坐标轴，那么它在该坐标轴上的 截距是无穷大∞) 取截距的倒数，把它们化作三个互质的整数 h1,h2,h3。 用圆括号标记(h1 h2 h3)。 负号用上面横线表示，用花括号表示一组等效的 对称晶面。
二、晶面及有理指数定律
晶面
点阵的结点也可以看作分布在一系列平行且 等间距的平面上，这些平面称作一族晶面。 用垂直于晶面的方向来表示晶面的方向。 一族晶面内应包含所有结点。 同一点阵可以有无数族晶面。
同一点阵的两种不同的晶面族
晶面指数
为了描述晶面，就需要在选定的坐标系内， 写出该平面法线的方向余弦，或者表示出该 平面在三个坐标轴上的截距。
两个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的晶 面有理数指数定律。
晶面有理数定律：晶体中任一晶面，在基矢 天然坐标系中的截距为有理数。它是点阵周 期性的必然结果。
对于一族晶面，通常取晶面族中的从原点算 起的第一个界面截距的倒数来标记晶面族， 称为该晶面的晶面指数，记作：
必为互质。 同样，负号放在数字上方用横线表示 对于方位不同的等效晶面族，用花括号表示
小结
晶列 ： [l1 l2 l3]; 等效晶列< l1 l2 l3 > 晶面指数： (h1 h2 h3); 等效晶面 {h1 h2 h3} 密勒指数： (h k l) 晶面指数以初基元胞基矢a1,a2,a3为坐标系；密勒 指数以单胞基矢a,b,c为坐标系。 如何来定出这三个指数。
谢谢
<110>代表了立方体的6条面对角线，每条对角线2 个方向，所以共12个晶向。 <111>代表了立方体的4条体对角线，每条对角线2 个方向，所以共8个晶向。
由于立方体的对称性，所有的棱边是等效的，所 有的面对角线也是等效的，所有的体对角线也是 等效的。所以才可以用<100>，<110>, <111>来统 一表示。
t
h:k:l 1:1:1 rst
AEG 1 1 1
1:1:1
ABCD 1
1 : 1 :1 1
DIHG 2
1 1:1: 1 21
(hkl) (111)
(001)
(120)
AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。
D
C
A
BI
c bG
Oa
F
晶面有理数指数定律
可以证明，
必定为有理数
我们考虑三个基矢顶点处的结点，由于晶面包含所有 结点，所以基矢端点也必然有一个晶面通过，假设分 别是第h1,h2,h3个晶面通过三个基矢端点。也就是在基 矢长度范围内有h1,h2,h3个晶面切过基矢，把基矢分成 h1,h2,h3段，每段长度为
那么第μ个晶面的截距为每段长度的μ倍。考虑到前面 的我们定义的截距，则有下面等式：
面间距大的晶面上，结点的面密度大。这样 的晶面由于单位表面的能量小，容易在晶体 生长过程中显露出来。
例：如图所示 abc，I和H
分别为BC，EF之中点，试求晶面
AEG，ABCD，DIHG的密勒指数
。
在三个坐标 r 轴上的截距 s
AEG ABCD
1
1
t1
1Dຫໍສະໝຸດ CABIc
G
b
Oa
F
EH
DIHG
2
1
在三个坐标 r 轴上的截距 s