安徽省六校教育研究会2020届高三第二次素质测试数学(文)试题 Word版含解析

安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试
数学（文科）
一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
21A x x =-≤<或}23x <≤，集合{}2,1,1,2,3B =--，则集合A B 中的元
素个数为（ ） A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出A
B ，再求出元素个数即可.
【详解】因为{2,1,3}A B --=，所以A B 中元素的个数为3.
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的运算，属于简单题.
2.已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 43i + B. 43i -
C. 43i -+
D. 43i --
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 详解】由34zi i =+，则3434
431
i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A
【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.
3.已知命题2 :
1,2log 1x p x x ∀≥-≥，则p ⌝为（ ） A. 21,2log 1x
x x ∀<-< B. 21,2log 1x
x x ∀≥-< C. 21,2log 1x
x x ∃<-<
D. 21,2log 1x
x x ∃≥-<
【答案】D
【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题:p 1x ∀≥，22log 1x
x -≥，
:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.
故选：D
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.
4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A.
7
5
B.
4835
C.
4735
D.
3728
【答案】C 【解析】 【分析】
首先算出2019年的年脱贫率，再与2015年以前的年均脱贫率相比即可. 【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为
()0.40.950.40.950.10.90.10.90.94E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
所以2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的0.9447
0.735
=. 故选：C
【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题. 5.已知首项为正数的等比数列{}n a 中，247941499,22
a a a a ==，则13a =（ ） A.
9
3
2 B.
1232 C. 9
32±
D. 12
32±
【答案】 B 【解析】 【分析】
首先根据2
243a a a =求出3232a =，再根据107924a a q a a =得到101012
q =，再由10
133a a q =计算即可.
【详解】因为2
243492a a a ==，10a >，所以2
310a a q =>，即32
32
a =. 因为
1079102412a a q a a ==，1013321012
313222a a q ==⨯=.
故选：B
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题. 6.已知函数sin 3y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的定义域为[],a b ，值域为1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，则b a -的值可能为（ ） A.
3
π B. π
C.
32
π D. 2π
【答案】B 【解析】 【分析】 首先设3
x t π
+
=，根据sin y t =的图象和值域得到t 的范围，即可得到x 的范围，从而得到
b a -的最大值和最小值，再结合选项即可得到答案.
【详解】令3
x t π
+
=，sin y t =的图象如下所示：
因为值域为1
[,1]2
-
， 所以t 的最大范围为7[2,2]6
6
k k π
π
ππ-++， 最小范围为[2,
2]6
2
k k π
π
ππ-++.
所以7226
3
6k x k π
π
πππ-
+≤+
≤
+，52226
k x k ππππ-+≤≤+， 226
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤+，222
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+.
即b a -的最大值为54=6
23π
ππ+，最小值为2=623
πππ+. 所以b a -可能为π. 故选：B
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象，同时开心了正弦函数的值域和定义域，属于中档题.
7.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆
与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）
A. 2
2
13
y x -=
B. 22126x y -=
C. 2213
x y -=
D.
22
162
x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点33,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
代入可得3b a =，连接FA ，根据圆的性质可得233
3
c -=
，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>，
则渐近线方程：b
y x a
=±
， 3
3
b a ∴=
，
连接FA ，则23333
FA
c b AO a -===，解得2c =， 所以2224c a b =+=，解得2
2
3,1a b ==.
故双曲线方程为2
213
x y -=.
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 8.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）
A. 2114m
B. 257m
C. 254m
D. 248m
【答案】C 【解析】 【分析】
首先设OA OB a ==，284
AOB ππ
∠==，根据余弦定理得到250(22)a =+，再根据图形计算八卦田的面积即可.
【详解】如图所示：
设OA OB a ==，284
AOB ππ∠=
=. 222
10022
a a a a =+-⨯⨯⨯
，解得：250(22)a =. 因为21sin 21)24
AOB
S
a π
=
=. 所以每块八卦田的面积2
1
21)425(21)2548
S ππ=-⨯=-≈. 故选：C
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理计算三角形面积，属于中档题.
9.锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 204A B C π⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭，
6,31b c ==+，则角C 的大小为（ ）
A .
12
π
B.
6
π C.
3
π D.
512
π 【答案】D 【解析】 【分析】
首先化简sin()2cos()04
A B C π
+
++=得到4
A π
=
，根据余弦定理得到2a =，再利用正
弦定理
sin sin a c A C =得到62
sin C +=，即512C π=. 【详解】因为sin()2cos()04
A B C π
+
++=，
所以
2222sin cos 2cos sin cos sin()022224
A A A A A A π+-=-=-=. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以04
A π
-
=，即4
A π
=
.
2222
(31)(6)2(31)642
a =++-⨯+⨯⨯
=，即2a =. 因为sin sin a c A C =，即31
sin 2C +=，解得：62
sin 4
C +=. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以512
C π=. 故选：D
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.
10.函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断. 【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥， 所以函数在[]0,2π上单调递增， 令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-， 根据三角函数的性质，
当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小， 当[],2x ππ∈
时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；
当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥， 所以函数
[]2,0π-上单调递增，
令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，
当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大， 当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ， 故选：D
【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.
11.若定义在R 上的增函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称 ，且()22f =， 令
()()1g x f x =-，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. ()10g =
B. ()01g =-
C. ()()110g g -+<
D. ()()122g g -+>-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据题意得到函数()y f x =为定义在R 上奇函数，B 选项，计算(0)g 即可判定B 正确，C 选项，计算(1)(1)20g g -+=-<，即C 正确，D 选项，计算(1)(2)(2)(1)2g g f f -+=--，根据()f x 的单调性即可判断D 正确.
【详解】因为函数(1)=-y f x 向左平移一个单位得到()y f x =， 函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，
所以()y f x =的图象关于点(0,0)，即函数()y f x =为定义在R 上奇函数. B 选项，(0)(0)1011g f =-=-=-，故B 正确.
C 选项，(1)(1)(1)1(1)1(1)1(1)120g g f f f f -+=--+-=--+-=-<， 故C 正确.
D 选项，(1)(2)(1)1(2)1(2)(1)2g g f f f f -+=--+-=--， 因为()f x 在R 上为增函数，所以(2)(1)f f >，即(2)(1)0f f ->. 所以(1)(2)(2)(1)22g g f f -+=-->-，故D 正确. 故选：A
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，同时考查了函数图象的平移变换，属于中档题. 12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段
1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2
PM MN +
的最小值为（ ）
A.
2
B.
2
C. 1
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接1
C D，过M作
1
MH C D
⊥，连接HN，过H作
111
HH C D
⊥.根据面面垂直的性质得到AD⊥平面11
CC D D，即//
MH AD.再根据相似三角形得到1
1
C H
MH
AD C D
=，
11
11
HH C H
DD C D
=，即
1
MH HH
=.再将2
2
PM MN
+转化为PM MH
+，求其最小值即可. 【详解】连接1
C D，过M作
1
MH C D
⊥，连接HN，过H作
111
HH C D
⊥.
因为平面1
AC D⊥平面
111
CC D D C D
=，
1
MH C D
⊥
所以MH⊥平面11
CC D D.
因为AD⊥平面11
CC D D，所以//
MH AD.
所以11C H
MH AD C D
=. 又因为11//HH DD ，所以
1111HH C H
DD C D
=. 即1
1
HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN 中，222MN MH HN =+.
因为1HN HH ≥，所以22222
12MH HN MH HH MH +≥+=.
即222MN MH ≥
，MN ≥.
所以1PM PM MH ≥+≥.
即PM 的最小值为1 故选：C
【点睛】本题主要考查立体几何中的最短距离问题，同时考查了面面垂直的性质，属于难题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知平面向量,a b ，满足2
1,2,2()a b b a a b ===
-，则向量,a b 的夹角为__________. 【答案】120 【解析】 【分析】
首先化简2
2()b a a b =-得到1a b =-，再计算·cos a b
a b
θ=即可得到120θ=.
【详解】2
2()b a a b =-，22
22b a a b =-，解得1a b =-. 因为1
cos 2a b
a b
θ=
=-，所以120θ=.
故答案为：120θ=
【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，同时考查了向量数量积的运算，属于简单题. 14.已知函数()2sin 21,0,62f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，则使得()0f x ≥的x 的取值范围为_________. 【答案】,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
首先根据题意得到：1
sin(2)62
x π
-
≥
，再根据x 的范围解不等式即可.
【详解】由题知：()0f x ≥，即1
sin(2)62
x π-≥.
因为02
x π
≤≤
，所以526
6
6
x π
π
π-
≤-
≤
. 因为1sin(2)62
x π
-
≥
，
所以52666
x πππ≤-≤，解得62x ππ≤≤.
故答案为：,62ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【点睛】本题主要考查三角不等式的解法，同时考查了正弦函数的图象，属于中档题. 15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___________
【答案】32π 【解析】 【分析】
首先将三视图还原得到直观图为直三棱柱，从而得到直三棱柱的外接球球心为上下底面外心连线的中点O处，再计算外接球半径及表面积即可.
【详解】由题知：三视图的直观图为直三棱柱，
由图知：几何体外接球球心为上下底面外心连线的中点O处.
在ABC中，如图所示：
D为AB中点，
3
tan
3
3
A==，所以
6
A
π
=.
132
BC=+=，
2
24
1
sin
2
BC
r
A
===
，2
r.
22
222
R=+=2
432
S R
ππ
==.
故答案为：32π
【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球表面积，同时考查三视图的还原，属于中档题. 16.已知点P为直线40
ax y
+-=上一点，,
PA PB是椭圆()
2
2
2
:10
x
C y a
a
+=>的两条切线，若恰好存在一点P使得PA PB
⊥，则椭圆C的离心率为__________.
6
【解析】 【分析】
首先设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，根据直线与椭圆相切，联立0∆=得到
2222()210a m k mnk n -++-=，因为PA PB ⊥，得到121k k =-，即2221m n a +=+.从
而得到(0,0)到直线40ax y +-=
，
利用点到距离的公式即可求出a =再求离心率即可.
【详解】设(,)P m n ，过点P 切线为()y n k x m -=-，由题知：
联立222222
2
22
()(1)2()[()1]01y n k x m k a x ka n km x a n km x y a
-=-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 因为直线与椭圆相切，
所以2
4
2
2
2
2
2
=4()4(1)[()1]0k a n km a k a n km ∆--+--=， 整理得：2
2
2
2
()210a m k mnk n -++-=. 设切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，
因为PA PB ⊥，所以2
1222
1=1n k k a m
-=--，即2221m
n a +=+. 所以点P 在以(0,0) 即
(0,0)到直线40ax y +-=
d =
=
a =
又因为1b =
，所以c
=
，3e =
=. 【点睛】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.
17.已知数列{}n a 的
前n 项和为 n S ，且()
1
*233
3n n n S a n N +=-+∈
（1）设3
n
n n a b =
，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设123,?··3
n n
n n n n
a a c T c c c c n =-=++++，求n T 【答案】（1）证明见解析，23n
n a n =；（2）1233n n T n n +=---
【解析】 【分析】
（1）由题知：12333n n n S a +=-+①，当2n ≥时，112333n
n n S a --=-+②，①-②化简得：
1
1233
n n n
n a a ---=，即12n n b b --=，又因为当1n =时，16a =，12b =，所以{}n b 是以首项为2，公差为2的等差数列.即2n b n =，23n
n a n =.
（2）由（1）知232n
n c n =-，再利用分组求和的方法即可得到n T . 【详解】（1）由题知：1
2333n n n S a +=-+①， 当2n ≥时，112333n
n n S a --=-+②，
①-②得：1123323323n n
n n n n n a a a a a --=--⇒=+.
所以
11233n n n n a a --=+，1
1
233n n n n a a ---= 即：12n n b b --=(2)n ≥.
当1n =时，112393a a =-+，解得16a =，则1
123
a b ==. 所以{}n b 是以首项为2，公差为2的等差数列.
22(1)2n b n n =+-=，即23n n a n =.
（2）2323
n n n
n n a a c n n =
-=-. 22(333)2(12)n n T n =+++-+++…………
123(13)(1)2233132
n n n n n n +-+=-=----.
【点睛】本题第一问考查等差数列的证明，第二问考查数列求分组求和，属于中档题. 18.受“非洲猪瘟”的影响，10月份起，某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨， 具
体情形统计如下表所示：
（1）求猪肉单价y 关于x 的线性回归方程y bx a =+
（2）当地有关部门已于11月初购入进口猪肉，如果猪肉单价超过30元/斤，则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格，试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉？
参考数据：
5
1
340.6i i
i x y
==∑，参考公式：1
2
2
1
ˆˆˆ·
,n
i i
i n
i
i x y nx y b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑ 【答案】（1） 2.5613.32y x =+；（2）应从第7周开始 【解析】 【分析】
（1）根据图表中数据，利用最小二乘法公式计算ˆb
，ˆa ，即可得到回归直线方程. （2）分别计算当6x =和7x =时对应的y 值，比较即可得到结论. 【详解】（1）1234535
x ++++=
=，1618.520.623.726.2
215y ++++==.
5
2
222
2
2
1
1234555i
i x
==++++=∑，
5
1
340.6i i
i x y
==∑.
所以340.65321
2.565559
ˆb
-⨯⨯==-⨯，21 2.5631.ˆ332a =-⨯=.
故 2.5613.32y x =+.
（2）当6x =时，28.68y =，当7x =时，31.24y =， 所以应从第7周开始释放进口猪肉.
【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解和应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档
题.
19.如图，四棱锥P ABCD
-中，侧面PAB为等腰直角三角形，BC⊥平面PAB，,2,5
PA PB AB BC AD BD
=====.
（1）求证：PA⊥平面PBC；
（2）求顶点C到平面PAD的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
2
3
【解析】
【分析】
（1）首先由已知得到PA PB
⊥，根据BC⊥平面PAB得到BC PA
⊥，再利用线面垂直的判定即可证明PA⊥平面PBC.
（2）首先取AB的中点O，连接PO，DO，根据PO AB
⊥，PO BC
⊥得到PO⊥平面ABCD，设点C到平面PAD的距离为d，再利用等体积转化C PAD P ADC
V V
--
=即可求出d. 【详解】（1）因为PAB
△为等腰直角三角形，所以PA PB
⊥.
BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC PA
⊥.
PA PB
PA BC PA
BC PB B
⊥
⎧
⎪
⊥⇒⊥
⎨
⎪⋂=
⎩
平面PBC.
（2）
取AB 的中点O ，连接PO ，DO .
因为PAB △和DAB 均为等腰三角形，所以PO AB ⊥，⊥DO AB . 因
BC ⊥平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，所以PO BC ⊥.
PO AB PO BC
PO AB BC B ⊥⎧⎪
⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面ABCD . 在RT PAO 中，1PO AO ==，所以112PA =+=在RT DAO 中，1AO =，5AD =
512DO =-=.
又因为⊥DO AB ，CB AB ⊥，2DO BC ==， 所以四边形BCDO 为矩形，即1CD =，1
12
ADC
S
CD DO =⨯⨯=. 在RT PDO 中，1PO =，2DO =，所以2125PD =+=. 因为在PAD △中，2PA =5PD AD ==
所以221232(5)()222
PAD
S
=-=. 设点C 到平面PAD 的距离为d ， 因为C PAD P ADC V V --=，即131
11323d ⨯
⨯=⨯⨯，23
d =. 【点睛】本题第一问考查线面垂直的证明，第二问考查点到面的距离，等体积法为解题的关键，属于中档题.
20.已知函数()1)cos (x
x
f x e e x λ=--，直线l 是曲线()y f x =在0x =处的切线经过点
(1,6).
（1）求实数λ的值； （2）若函数()()
x f x g x e
=
，试判断函数()g x 的零点个数并证明. 【答案】（1）2λ=-；（2）一个，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）首先求导()f x '
，计算(0)f 得到切点为(0,)λ-，计算(0)f '得到切线斜率，再利用点斜
式即可写出切线方程，代入(1,6)解λ即可.
（2）求导()g x '得到()2sin 2sin 22sin 0x x g x e e x x x -'=+-≥=-≥，函数()g x 在R 上单调递增，根据计算()02
g π
-<，(0)0g >，即可得到函数()g x 在区间(,0)2
π
-
上存
在唯一零点.
【详解】（1）2()(cos )(sin )2sin cos ()x
x
x
x
x
x f x e e x e e x e e x x λλλ'=-++=+-.
因为(0)f λ=-，所以切点为(0,)λ-.
(0)2k f λ'==-.
所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(2)y x λλ=--. 将(1,6)代入，解得：2λ=-.
（2）()
()2cos x x x f x g x e e x e
-=
=-+
()2sin 2sin 22sin 0x x g x e e x x x -'=+-≥=-≥
所以函数()g x 在R 上单调递增，
又2
2()02
g e
e ππ
π
-
-
=-<，(0)20g =>.
所以函数()g x 在区间(,0)2
π
-
上存在唯一零点，
即函数()g x 存在唯一零点.
【点睛】本题第一问考查导数中的切线问题，第二问考查利用导数求函数零点个数问题，属于中档题.
21.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点O 为坐标原
点.
（1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；
（2）若梯形OPMN 内接于抛物线C ，//OP MN ，
,OM PN 的交点恰为A ，且513MN =，求直线MN 的方程.
【答案】（1）4a =或3a =-；（2）2380x y --= 【解析】 【分析】 （1）分别讨论9
4
a >
和94a ≤时PA PF +的最小值，根据图形即可求出a 的值.
（2）首先设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，根据MN OP k k =得到点A 在OP 与MN 中点连线上，从而得到P 点的坐标及23MN OP k k ==
.再设出直线MN 的方程为2
3
y x t =+，与抛物线方程联立，利用根系关系即可得到2222
1()9(3)95133
MN t t =+--=，解出t 的
值即可得到直线MN 的方程.
【详解】（1）①当线段AF 与抛物线C 没有公共点，即9
4
a >
时,
设抛物线C 的准线为l ，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ， 过点A 作l 的垂线，垂足为B ，
则1PA PF PA PQ AB a +=+≥=+，
故154a a +=⇒=.
②当线段AF 与抛物线C 有公共点，
即94a ≤
时，()2213PA PF AF a +≥=-+. 故()221353a a -+=⇒=-或5a =（舍去）.
综上43a a ==-或.
（2）
设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则0020000044
OP y y k y x y ===--，12122212
1212444MN y y y y k y y x x y y --===-+-. 因为MN OP k k =，所以012y y y =+，即
01222y y y +=. 即线段OP 与MN 的中点纵坐标相同，故OP 中点与MN 中点连线平行于x 轴.
由平面几何知识知：点A 在OP 与MN 中点连线上，
故00362y y =⇒=.于是20094
y x ==，0023MN OP y k k x ===. 设直线MN 的方程为23
y x t =+，
()222241239034y x t x t x t y x ⎧=+⎪⇒+-+=⎨
⎪=⎩
. 123(3)x x t +=-，2129·4
t x x =. 所以
MN =
229(3)91396513t t t =--=-=. 解得：83
t =-， 故直线MN 的方程为2833y x =
-，即2380x y --=. 【点睛】本题第一问考查根据抛物线的定义求最值问题，第二问考查根据直线与抛物线的弦长求直线方程，属于难题.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，α为实数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=，曲线1C 与曲线2C 交于,A B
，两点，线段AB 的中点为M ．
（1）求线段AB 长的最小值；
（2）求点M 的轨迹方程．
【答案】（1）2）()()22
13 2.x y -+-=
【解析】
【分析】
（1）将曲线2C 的方程化成直角坐标方程为228x y y +=，当2PC AB ⊥时，线段AB 取得最小值，利用几何法求弦长即可.
（2）当点M 与点P 不重合时，设(),M x y ，由2 C M PM ⊥，利用向量的数量积等于0可求解，最后验证当点M 与点P 重合时也满足.
【详解】解()1曲线2C 的方程化成直角坐标方程为22
8x y y += 即()2
2416,x y +-=
圆心()20,4C ，半径4r =，曲线1C 为过定点()2,2P 的直线，
易知()2,2P 在圆2C 内，
当2PC AB ⊥时，
线段AB 长最小为==()2当点M 与点P 不重合时，
设()2,, M x y C M PM ⊥，
()()()22420C M PM x x y y ∴=-+--=，
化简得()()223:12x y -+-=，
当点M 与点P 重合时，也满足上式，
故点M 的轨迹方程为()()2213 2.x y -+-=
【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.
23.已知非零实数,a b 满足a b <．
（1）求证：332222a b a b ab -<-； （2）是否存在实数λ，使得
2211b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围； 若不存在，请说明理由
【答案】（1）见解析（2）存在，[]1,3λ∈-
【解析】
【分析】 （1）利用作差法即可证出. （2）将不等式通分化简可得2222b ab a a b ab
λ++≥，讨论0ab >或0ab >，分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】()()()()()3322221222a b a b ab a b a
ab b ab a b ---=-++--
()()()222
2324b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫=--+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ,0a b a b <∴-< 又2
23024b a b ⎛⎫-+> ⎪⎝
⎭ 332222a b a b ab ∴-<- ()22211
b a a b a b λ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭
即3322b a b a a b ab
λ--≥ 即()2222*b ab a a b ab
λ++≥ ①当0ab >时，()*即22221b ab a b a a b a b
λ++≤=++恒成立 22b a b a a b a b
+≥= （当且仅当a b =时取等号），故3λ≤ ②当时()0,*ab <22221b ab a b a a b a b
λ++≥=++恒成立 22b a b a b a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-≤---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（当且仅当=-a b 时取等号），故1λ≥-
综上，[]1,3λ∈-
【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.。