(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习题型练5大题专项(三)统计与概率问题

题型练5 大题专项(三) 统计与概率问题
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1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手两名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A 为事件“选出的4人中恰有两名种子选手,且这两名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;
(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解:(1)由已知,有P (A )=
C 22C 32+C 32C 3
2C 84=6
35
.
所以,事件A 发生的概率为6
35.
(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
P (X=k )=
C 5k C 3
4-k
C 8
4(k=1,2,3,4).
所以,随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望E (X )=1×1
14+2×3
7+3×3
7+4×1
14=5
2. 2.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差
D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.
解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).
P(A)=50
140+50+300+200+800+510=50
2000
=0.025.
(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.
(3)由题意可知,定义随机变量如下:
ξk={0,第k类电影没有得到人们喜欢, 1,第k类电影得到人们喜欢,
则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影:
ξ1 1 0 P0.4 0.6 D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;
第二类电影:
ξ2 1 0 P0.2 0.8 D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;
第三类电影:
ξ3 1 0
P0.15 0.85 D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275;
第四类电影:
ξ4 1 0
P0.25 0.75
D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875;
第五类电影:
ξ5 1 0
P0.2 0.8
D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;
第六类电影:
ξ6 1 0
P0.1 0.9
D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.
综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).
3.2018年在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在[25,85]之间,根据统计结果,作出频率分布直方图如下:
(1)求这100位作者年龄的样本平均数k和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图可以认为,作者年龄X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数k,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(60<X<73.4);
②央视媒体平台从年龄在[45,55]和[65,75]的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望.
附:√180≈13.4,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5.解:(1)这100位作者年龄的样本平均数k和样本方差s2分别为
k =30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,
s 2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180.
(2)①由(1)知,X~N (60,180),
从而P (60<X<73.4)=1
2P (60-13.4<X<60+13.4)≈0.34135.
②根据分层抽样的原理,可知这7人中年龄在[45,55]内有3人,在[65,75]内有4人.
故Y 可能的取值为0,1,2,3.
P (Y=0)=C 30C 4
3C 7
3=4
35,P (Y=1)=
C 31C 4
2
C 7
3=18
35,
P (Y=2)=
C 32C 4
1
C
3
7
=1235
,P (Y=3)=
C 33C 4
C 7
3=1
35
.
所以Y 的分布列为
所以Y 的数学期望为E (Y )=0×4
35+1×18
35+2×12
35+3×1
35=9
7.
4.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望;
②设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.
解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
P (X=k )=
C 4k ·C 3
3-k
C 7
3(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望E (X )=0×1
35+1×12
35+2×18
35+3×4
35=12
7.
②设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C 为“抽取
的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B+C ,且B 与C 互斥.由①知,P (B )=P (X=2),P (C )=P (X=1),故P (A )=P (B+C )=P (X=2)+P (X=1)=6
7.所以,事件A 发生的概率为6
7. 5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1
2,且各次击鼓出现
音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X ,求X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解:(1)X 可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,得
P (X=10)=C 3
1×(12)1×(1-12)2
=3
8
,
P (X=20)=C 32×(12)2
×(1-12)1
=3
8, P (X=100)=C 3
3×(12)3
×(1-12)0
=1
8,
P (X=-200)=C 30×(12)0
×(1-12)3
=1
8.
所以X 的分布列为
(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i=1,2,3),
则P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=P (X=-200)=1
8.
所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P (A 1A 2A 3)=1-(18)3
=1-1
512=511
512.
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511
512. (3)X 的数学期望为E (X )=10×3
8+20×3
8+100×1
8-200×1
8=-5
4. 这表明,获得分数X 的均值为负,
因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
6.在某个春晚分会场,演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服,在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜,再把石墨烯发热膜铺到衣服内.
(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择,研究人员对附着在A 材料上再结晶做了30次试验,成功28次;对附着在B 材料上再结晶做了30次试验,成功20次.用2×2列联表判断:能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关?
(2)研究人员得到石墨烯后,再制作石墨烯发热膜有四个环节:①透明基底及UV 胶层;②石墨烯层;
③银浆线路;④表面封装层.前三个环节每个环节生产合格的概率均为1
2,每个环节不合格需要修复的
费用均为200元;第四环节生产合格的概率为2
3,此环节不合格需要修复的费用为100元,问:一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用? 附:K
2
=k (kk -kk )
2
(k +k )(k +k )(k +k )(k +k ),其中
n=a+b+c+d.
解:(1)列表
K 2
的观测值k=
60×(28×10-2×20)2
30×30×48×12
≈6.7<7.879,
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下,不能认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关. (2)设X 为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用,则X 的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700.
∵P (X=0)=(12)3
×23=1
12, P (X=100)=(12)3
×1
3=1
24,
P (X=200)=C 31
(1-12)×(12)
2×23=1
4,
P (X=300)=C 31(1-1
2)×(12)2
×1
3=1
8,
P (X=400)=C 32
(1-12)
2×12×23=1
4,
P (X=500)=C 32(1-12)2
×1
2×1
3=1
8, P (X=600)=(1-12)3
×2
3=1
12, P (X=700)=(1-12)3
×1
3=1
24,
∴E (X )=0×1
12+100×1
24+200×1
4+300×1
8+400×1
4+500×1
8+600×1
12+700×1
24=3331
3.。