安徽省毫州市涡阳四中高二数学上学期第二次质量检测试题 理 新人教A版

2013年 11月
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分；满分50分；每小题给出四个选项中只有一项是正确的）。

1．已知01,0<<-<b a ，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．2
ab ab a >> B ．a ab ab >>2
C ．2
ab a ab >> D ．a ab ab >>2
2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，若36,963==s s ，则987a a a ++等于( ) A ．144 B ．63 C ．81 D ．45 3．当x ＞1时，不等式a≤x＋1x －1
恒成立，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，3]
C ．[3，＋∞)
D ．[2，＋∞)
4．在△ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若B A C sin cos 2sin =，则此三角形一定是（ ） A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
5．设变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥-141y y x y x ，则目标函数y x z 42+=的最大值是（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 6. 在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A ．10=b ， 45=A ， 70=C
B ．60=a ，48=c ， 60=B
C ．14=a ，16=b ， 45=A
D ． 7=a ，5=b ， 80=A 7.“m=-1”是“mx+(2m-1)y+2=0”与直线“3x+my+3=0”垂直的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8．若不等式f （x ）＝2
ax x c --＞0的解集{}|21x x -<<，则函数)(x f y -=的图象为
9．下列关于数列单调性说法正确的是（ ）
A ．等差数列一定是单调数列.
B ．等比数列单调递增的充要条件是公比1>q 。

C ．如果函数)(x f y =在[)+∞,1上单调递增，则数列)(n f a n =为单调递增数列。

D ．如果数列)(n f a n =为单调递增数列，则函数)(x f y =在[)+∞,1上单调递增。

10．已知)(2009
20083
*N n n n a n ∈--=
，则数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A ．501,a a
B ．441,a a
C ．5045,a a
D ．4544,a a 第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡相应位置上。

11.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 .
12、实数,x y 满足0
0220
y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≥⎩
，则11y t x -=+的取值范围是
.
13、在n 行n 列矩阵⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅12321215431143212321n n n n n n n n n n
中，记位于第i 行第j 列的数为
),,2,1,(n j i a ij ⋅⋅⋅=，当9=n 时，_________992211=+⋅⋅⋅++a a a
14．已知y ＝f(x)是偶函数，y ＝g(x)是奇函数，x ∈[0，π]上的图象如图，则在[－π，π]上不等式f(x)
g(x)
≥0的解集是__________．
15．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） ⑴常数列既是等差数列，又是等比数列；
⑵若直角三角形的三边a 、b 、c 成等差数列，则a 、b 、c 之比为5:4:3； ⑶若三角形ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，则︒=60B ；
⑷若数列{}n a 的前n 项和为12
++=n n S n ，则{}n a 的通项公式12+=n a n ； ⑸若数列{}n a 的前n 项和为13-=n
n S ，则{}n a 为等比数列。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝
b sin B .
(1)求B ；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
17．(本小题满分12分)围建一个面积为360m 2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用．
18、(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S
满足1
11n n n a S S +-+=+(2,)n n N *≥∈．
（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）设n T 为数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，求n T
（3）若1n n T a λ+≤对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的最小值.
19. (本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时302船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西l05°方向的1B 处，
此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里?
20、（本小题满分13分）已知2
(),f x ax x a a R =+-∈。

（1）若不等式13)12()1()(2
--++->a x a x a x f 对任意实数]1,1[-∈x 恒成立，求实数a
的取值范围；
（2）若0a <，解不等式()1f x >。

21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项的和为n n S n +=2
，{}n b 是等比数列，且
11b a =，11226)(b a a b =-。

⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ⑵设n
n
n b a c =，求数列{}n c 的前n 项的和n T 。

⑶设n n b n n d )1(+=
，数列{}n d 的前n 项的和为n D ，求证：n n n D 3⋅<．
数学参考答案（理科）
(2)sin A ＝sin(30°＋45°)
＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋6
4
. 故a ＝
b sin A sin B ＝2＋6
2
＝1＋3， c ＝b sin C sin B ＝2×sin60°sin45°
＝ 6.
17．(本小题满分12分)
[解析] (1)设矩形的另一边长为a m ，
则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x
，
∴y ＝225x ＋360
2
x
－360(x >0)．
(2)∵x >0，∴225x ＋3602
x
≥2225×3602＝10800.
∴y ＝225x ＋3602
x
－360≥10440.
当且仅当225x ＝3602
x
时，等号成立．
即当x ＝24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 18、(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）由已知， 11
n n a a +-=（2n ≥，*
n ∈N ），且
211
a a -=．
∴数列
{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+
（Ⅱ）
11111
(1)(2)12
n n a a n n n n +=
=-
++++ 11111111233412222(2)
n n T n n n n =
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-=++++ （Ⅲ）1n n T a λ+≤，∴2(2)
n
n +≤(2)n λ+
∴λ≥2
2(2)n
n +
又2
1
42(2)2(4)n n n n =+++≤112(44)16=+ ，（也可以利用函数的单调性解答） ∴λ的最小值为1
16
20、（本小题满分13分）
解：（1）原不等式等价于01222
>++-a ax x 对任意的实数]1,1[-∈x 恒成立， 设12)(122)(2
2
2
++--=++-=a a a x a ax x x g
○
1当1-<a 时，01221)1()(min >+++=-=a a g x g ，得Φ∈a ； ○
2当11≤≤-a 时，012)()(2
min >++-==a a a g x g ，得121≤<-a ； ○
3当1>a 时，01221)1()(min >++-==a a g x g ，得1>a ； 综上21->a
（2）2
10ax x a +-->，即(1)(1)0x ax a -++>
因为0a <，所以1(1)()0a x x a +-+<，因为 121
1()a a a a
++--=
所以当102a -<<时，11a a +<-， 解集为｛x|1
1a x a +<<-｝；
当12a =-时，2
(1)0x -<，解集为φ；
当12a <-时，11a a +>-， 解集为｛x|1
1a x a
+-<<｝
21．（本小题满分14分）
解：⑴依题意有：当1=n 时， 12211⨯===S a ；
当2≥n 时，)]1()1[22
1-+--+=-=-n n n n S S a n n n （
n 2= 所以n a n 2=
又11b a =，所以21=b ，11226)(b a a b =-62=⇒b 即3=q
所以1
32-⨯=n n b 。

分5
⑶由n n b n n d )1(+=1321-⨯⨯+=⇒n n n n d ）（
1213213232221-⨯⋅+++⨯⋅⨯+⋅⨯=+++=n n n n n d d d D ）（
121
3)12(373533
)1(3)32()21(--⋅+++⋅+⋅+=⋅++++⨯+++<n n n n n
令1
23)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n M ①
n n n n n M 3)12(3)12(3533312⋅++⋅-++⋅+⋅=- ②
①-②得：
n n n n M 3)12(3232323212⋅+-⋅++⋅+⋅+=--
n
n
n n
n n n n 323)12()13(333)12(31)31(6311⋅-=⋅+--+=⋅+---+=--
所以n n n M 3⋅=即n
n n D 3⋅<． 分14。