(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(有答案解析)(1)

一、选择题
1．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩
，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的
654
倍，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则
25a b +的最小值为（ ） A
B ．
C
D ．2
3．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D
4．若实数,x y 满足121
x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，则22x y +的取值范围是（ ） A
．1
[2 B ．1
[,13)4 C
． D ．1
[,13)5
5．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩
，则目标函数=21z x y =+-的最大值为
（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C
D ．
7．已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．3m ≥
B ．3m ≤
C ．72m ≤
D ．73m ≤ 8．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ）
A
．B
．C ．6 D ．8
9．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩
，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最大值为（ ）
A ．3-
B ．23-
C ．1
D ．2
11．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最大值为（ ）
A ．2
B ．8
C ．11
D ．13
二、填空题
13．若实数x ，y 满足约束条件23023030x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y x x y +的取值范围是______. 14．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．
15．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则z =__________．
16．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3y x +的最大值为_______．
17．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则z x 2y =-的最大值为______．
18．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322
+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．
19．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最大值是__________．
20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩
时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
三、解答题
21．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求11x y
+的最小值； （2）当k 取何值时，不等式23208
kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 22．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米.
求：（1）写出x 与y 的关系式；
（2）求出仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
23．随着信息技术的发展，网络学习成为一种重要的学习方式，现某学校利用有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程.A 套选修课每次播放视频40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课每次播放视频30分钟，课后研讨40分钟，可获得学分4分.全学期20周，网络对每套选修课每周开播两次（A 、B 两套校本选修课程同时播放），每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课视频时间不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟.A 、B 两套选修课各选择多少次才能使获得学分最高，获得的最高学分是多少？
24．已知函数2()3f x x x m =++.
（1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤；
（2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求
14a b +的最大値. 25．设1x >，且4149(1)
x x +--的最小值为m ．
（1）求m ；
（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．
26．已知定义在R 上的函数2()f x x x k =-+，其中k 为常数．
（1）求解关于x 的不等式()f x kx <的解集；
（2）若()2f 是()f a 与f b 的等差中项，求+a b 的取值范围．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
作出不等式组表示的图象，22
z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案.
【详解】
根据不等式组作出图象，
则阴影部分即为可行域，
由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩
，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，
因为22
z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，
由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大， 22max 2313z =+=，
z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，
2
min2
4
4
z
a
⎛⎫
==
+
，
根据题意可得
max
min
2
1365
44
4
z
z
a
==
+
，整理得2
45
a
+=，解得1
a=或1
a=-（舍去）.
故选：A.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.
2．D
解析：D
【分析】
应用对数运算得到10
ab=
，由目标式结合基本不等式有
25
a b
+≥.【详解】
∵lg lg1
a b
+=，即lg1
ab=，
∴10
ab=，而0,0
a b
>>，
∴252
a b
+≥=当且仅当2,5
a b
==时等号成立.
∴25
a b
+的最小值为2.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
3．C
解析：C
【分析】
由不等式组作出可行域，如图,目标函数22
x y+可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2
x y
+=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项.【详解】
由不等式组做出可行域如图，目标函数22
x y+可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2
x y
+=的距离的平方，
由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为
222d
=
=，所以所求最小值为2.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
4．D
解析：D
【详解】
根据实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩
，画出可行域如图所示
22x y +表示可行域内的点与坐标原点O 距离的平方，
O 与直线AB ：210x y +-=22001
521⨯+-=+，
O 与(2,3)C 的距离最大为222313+=，
∵可行域不包含(2,3)C
∴
21135r ≤<，即22x y +的取值范围是1[,13)5
故选：D
【点睛】 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
5．C
解析：C
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩
作出可行域如图，
联立150x x y =⎧⎨+-=⎩
，解得A （1，4）， 化目标函数z ＝x +2y ﹣1为y 1222
x z =-++， 由图可知，当直线y 1222
x z =-++过A 时，z 有最大值为8． 故选C ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．D
解析：D
【解析】
分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．
详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2，
∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，
∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2
()()a b a c ++=22，
当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．
故选D.
点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．
7．D
解析：D
【详解】
作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
的可行域如图所示：
平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时，2x y +有最小值为73
∵2x y m +≥恒成立
∴min (2)m x y ≤+，即73
m ≤
故选D
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 8．D
解析：D
【分析】
运用基本不等式22422422x y x
y x y ++≥= 【详解】
因为20,40x y >>，所以242422422228x y x
y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）．
故答案为D.
【点睛】
利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件．
9．B
解析：B
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.
【详解】
不等式组所表示的可行域如下图所示：
易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，
令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线
32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即
max 3226210z a a =⨯+=+=，
解得2a =.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 10．B
解析：B
【分析】
画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-，表示斜率为12截距为2z -平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】
解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：
故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =
-， 表示斜率为12截距为2
z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，
由图可知，使得直线22x z y =
-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时242333
max z =
-=-. 故选：B
【点睛】
本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值. 11．D
解析：D
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩
的可行域，如图，
画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，
平移直线2z x y =+，
由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时
目标函数2z x y =+有最大值，
2z x y =+的最大值为9.
故选D.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
12．C
解析：C
【分析】
根据条件作出可行域，根据图形可得出答案.
【详解】
由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
，作出可行域，如图.
设2z x y =+，则化为2y x z =-+
所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.
2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401
x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，
时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11.
故选：C
【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;
二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;
三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
二、填空题
13．【分析】作出可行域利用表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围再根据函数的单调性可得的范围【详解】作出可行域如图内部（含边界）表示出可行域内点与原点连线斜率由已知得所以记由勾形函数性质知在上递 解析：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】 作出可行域，利用
y x 表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围，再根据函数的单调性可得
y x x y +的范围． 【详解】
作出可行域，如图ABC 内部（含边界），
y x 表示出可行域内点与原点连线斜率，由已知得(1,2),(2,1)A B ，2OA k =，12OB k =
， 所以1,22y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，
1y x t x y t +=+，记1()f t t t =+，由勾形函数性质知()f t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上递减，在[1,2]上递增，
1522
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)2f =，5(2)2f =，∴5()2,2f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
14．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线
解析：53
【分析】
作出可行域，令y t x =，OA OB y k k x ≤≤，所以7,313t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，22111222x y x y t xy y
x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用函数的单调性即可求最值. 【详解】
由43040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得：1357
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以137,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由140x x y =⎧⎨+-=⎩
解得：13x y =⎧⎨=⎩，所以()1,3B ， y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以OA OB y k k x
≤≤, 70751313
05
OA k -==-，30310OB k -==-，令7,313y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 所以22111222x y x y t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 1y t t =+在7,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减，在[]1,3单调递增， 当3t =时，1713109213791y ⎛⎫=
+= ⎪⎝⎭， 当7
5t =时，1153233y ⎛⎫=
+= ⎪⎝⎭， 所以222x y xy +的最大值为53
， 故答案为：
53
. 【点睛】
思路点睛：
非线性目标函数的常见类型及解题思路： 1.斜率型：()0b
y ay b a a z ac d cx d c x c
+
+==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的a c 倍； 2.距离型：（1）()()22
z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；
（2
）z Ax By C =++=(),x y 到直线
0Ax By C ++=
倍.
15．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是 解析：
455
【分析】 画出满足条件的平面区域，结合22(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可．
【详解】
画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：
而22(4)z x y =++()40-，
的距离， 显然()40-，
到直线240x y -+=的距离是最小值， 由84
45541d -+==+，得最小值是55
， 45． 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
16．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线
解析：78
【分析】
根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.
【详解】
根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
可以画出可行域，
如下图阴影部分所示， 目标函数3y x +可以看成是可行域内的点(
),x y 和()3,0-的连线的斜率， 因此可得，当在点A 时，斜率最大 联立2801x y x +-=⎧⎨=⎩，得172x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
即71,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
所以此时斜率为 ()7072138
-=--，
故答案为78
.
【点睛】
本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.
17．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内
解析：-2
【详解】
根据题意得到如图可行域
是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22
)（0，2）
目标函数2z x y =-，1,22
z y x =
-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2. 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a ++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 18．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题
解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析】 利用“1”的替换求出2x y +的最小值
92，再解不等式23922m m -≤即可. 【详解】
因为121122192()(2)(5)(54)2222
y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y x x y
=，
即
3
2 x y
==时等号成立，所以2
39
22
m m
-≤，解得
3
3
2
m
-≤≤.
故答案为：
3
,3
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.
19．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然
解析：16
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，由2
z x y
=+可得2
y x z
=-+，则z表示直线2
y x z
=-+在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象即可求解z的最大值．
【详解】
作出x、y满足约束条件
220
10
240
x y
x y
x y
+-
⎧
⎪
-+
⎨
⎪--
⎩
表示的平面区域，如图所示：
由2
z x y
=+可得2
y x z
=-+，则z表示直线2
y x z
=-+在y轴上的截距，截距越大，z越大
作直线20
x y
+=，然后把该直线向可行域平移，
当直线经过A时，z最大
由
10
240
x y
x y
-+=
⎧
⎨
--=
⎩
可得(5,6)
A，此时16
z=．
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.
20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点
解析：)4，
⎡+∞⎣ 【分析】
先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.
【详解】
由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩
，作出可行域，如图.
设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数. 则()()1,0,1,3A C ,由27010
x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B . 当直线2y x z =-过点()3,2B
时，z 有最大值4，
当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1. 所以|2|4x y -≤，所以4a ≤
故答案为：[)4+∞，
. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.
三、解答题
21．（1）
33
+；（2）30k -<≤. 【分析】 （1）将代数式()123
x y +与11x y +相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围.
【详解】
（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，
所以，()1111112132333333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，
当且仅当x =
时，等号成立，
因此，11x y +； （2）由于不等式23208kx kx +-
<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308-
<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得2030k k k <⎧⎨∆=+<⎩
，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤.
【点睛】
结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：
设()()2
0f x ax bx c a =++≠ ①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩
； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩
； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩
； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩
. 22．（1）()320408029
x y x x -=<<+；（2）面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.
【分析】
（1）由已知条件得出4090203200x y xy ++=，即可得出x 与y 的关系式；
（2）化简得出()16991782929S x x ⨯⎡⎤=-++
⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件可求得x 的值.
【详解】
（1）由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40245203200x y xy +⨯+=， 即492320x y xy ++=，解得320429
x y x -=+， 由于0x >且0y >，可得080x <<，
所以，x 与y 的关系式为()320408029
x y x x -=
<<+； （2）()33822932043383382229292929
x x x S xy x x x x x x x x -+-⎛⎫==⋅=⋅=⋅-=- ⎪++++⎝⎭()()169291699169916992169217829292929
x x x x x x x +-⨯⨯⨯=-=--=-+-+++()
16991782917810029x x ⨯⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣
⎦， 当且仅当16992929x x ⨯+=+时，即当15203x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
时，等号成立， 因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，建立函数解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 23．选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得最高学分为180分
【分析】
设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，根据题意列出线性约束条件404030140020401000,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩，目标函数54z x y =+，作出可行域，即可求解. 【详解】
设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，则404030140020401000,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩
目标函数54z x y =+，二元一次不等式组等价于4043140250,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.
作直线:540l x y +=，
直线l 沿可行域方向平移，当直线过M 点时，目标函数取得最大值.
联立4314040x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2020x y =⎧⎨=⎩
. 所以点M 的坐标为()20,20，
此时max 520420180Z =⨯+⨯=.
所以选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得的学分最高，最高学分为180分.
【点睛】
本题主要考查了利用线性规划解决实际问题，属于中档题.
24．（1）[-4，1]；（2）-3.
【分析】
(1)当m ＝﹣4时，利用十字相乘法解出不等式的解集；
(2)()0f x ＜的解集为(b ，a )，等价于()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理判断出a ，b 的符号，利用＂1＂的代换以及基本不等式求出最大值，并验证取等条件．
【详解】
（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0，可得：（x +4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4，1].
(2)由题()0f x =的根即为a ，b ，故a +b =-3，ab =m >0，故a ，b 同负， 则14a b
+
=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,2a b =-=- 等号成立.
【点睛】
本题考查一元二次不等式，基本不等式在求最值中的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于中档题．
25．（1）47=
m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 【分析】
（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)
x x +--的最小值； （2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497
x x x x +-=-+=--， 当且仅当4149(1)x x -=
-，即217x -=，也即97x =时等号成立， 故47
=m ． （2）由（1）知4,7m =
， 若不等式2407
ax ax -+ 的解集为R ，则 当0a = 时，407
恒成立，满足题意； 当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩
， 解得1607a
<， 综上，1607
a ， 所以a 的取值范围为160,
7⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计
算能力，属于中档题．
26．（1）详见解析；（2）[]2,4-
【分析】
（1）不等式转化为()()10x x k --<，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为224a b a b +--=，再转化为关于+a b 的一元二次不等式.
【详解】
（1）()22
10x x k kx x k x k -+<⇔-++<， 整理为()()10x x k --<，
当1k <时，不等式的解集是{}1x k x <<，
当1k =时，不等式的解集是∅，
当1k >时，不等式的解集是{}
1x x k <<;
（2）由条件可知()()()22f a f b f +=，
即2242a a k b b k k -++-+=+，
即()()222424a b a b a b ab a b +--=⇔+--+=， ()222a b ab +≤，()()()2242a b a b a b +∴+--+≤，
()()2280a b a b +-+-≤ ，即()()240a b a b +++-≤，
解得：24a b -≤+≤，
所以+a b 的范围是[]2,4-.
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，基本不等式，重点考查转化与化归的思想，讨论的思想，计算能力，属于基础题型.。