高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数第2课时学案北师大版必修4

3.3 二倍角三角函数
第2课时 半角公式
半角公式 预习交流1
如何确定公式中正、负号？
巧记“半角公式〞
无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号〞即y ＝1＋cos α
(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋〞号，而y ＝1－cos
α为增函数，角大值大，因此用“－〞号．
预习交流2
怎样用sin α，cos α表示tan α
2
？
预习交流3
假设cos 22°＝a ，那么sin 11°＝________，cos 11°＝________.(用a 表示)
答案：α
预习交流1：提示：根号前“±〞是由角“α
2〞所在范围来确定，
如果不能确定角“α
2
〞范围，“±〞应保存．
预习交流2：提示：tan α
2＝sin α1＋cos α＝1－cos α
sin α
此公式特点是用角α正、余弦表示半角α
2正切，与半角公式相比，
防止了开方与讨论符号麻烦，用起来简单明了，在三角恒等变形中经常使用．
1．用半角公式求值
sin α＝－817且π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α
2
值．
思路分析：半角公式是用单角余弦值求半角三角函数值，因此要先根据条件求出cos α，再代入半角公式求值．
|cos θ|＝35，且5π2＜θ＜3π，求sin θ2，cos θ2，tan θ
2
值．
角α某三角函数值，用半角公式可求α
2
正弦、余弦、
正切值，思路是先由利用同角公式求出该角余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要注意根据α
2
范围确定正负号．
2．利用公式化简证明 化简：错误!(0＜θ＜π)．
思路分析：式子中含有根式，先化单角为半角去根号，再利用有关公式进展化简．
sin x tan x ＜0，化简1＋cos 2x 结果是( )． A.2cos x B ．－2cos x C.2sin x
D ．－2sin x
1.三角函数式化简方法与技巧：
(1)应用公式：根据式子构造，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑变形用．
(2)统一函数名称与角：常采用异名化同名，异角化同角等方式减少三角函数名称与角种类．
(3)特殖值与特殊角三角函数互化：如3＝tan 60°. (4)注意“1”代换，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan 45°＝1. 2．证明三角恒等式常用方法：
(1)直接法：直接从等式一边开场转化到等式另一边，一般是按照由繁到简原那么进展，依据是相等关系传递性．
(2)综合法：由一个等式(或已有公式等)恒等变形到所要证明等式．
(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式证明．
3．利用公式解决三角函数综合问题
函数f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2
x ＋3
2
a ＋
b (a >0)．
(1)化简函数解析式将其写成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式； (2)求函数递减区间及函数图像对称中心．
思路分析：先用二倍角公式化成“2x 〞三角函数，再用辅助角公式化简，最后研究其性质．
在题设条件不变根底上，假设x ∈⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤0，π2时，f (x )最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 值．
运用公式解决三角函数综合问题思路：
(1)运用与、差、倍角公式化简．
(2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 形式．
(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，研究其性质． 答案：活动与探究1：解：∵sin α＝－817，π＜α＜3π2，
∴cos α＝－1－sin 2α＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－8172
＝－1517.
又π2＜α2＜3π4
， ∴sin α
2
＝
1－cos α
2＝1＋
15172＝41717， cos α
2
＝－
1＋cos α
2
＝－1－
15172
＝－1717
，
tan α
2＝sin α
2
cos
α
2
＝－4.
迁移与应用：解：∵|cos θ|＝35，5π
2＜θ＜3π，
∴cos θ＝－3
5.
又∵5π4＜θ2＜3π2
，
∴sin θ
2＝－
1－cos θ
2＝－1＋
3
5
2＝－255
， cos θ
2
＝－
1＋cos θ2＝－5
5
，
tan θ
2＝sin
θ
2
cos
θ
2＝2.
活动与探究2：解：原式
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin θ2·co s θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫sin θ2－cos θ22×2cos
2
θ
2
＝
2cos θ2⎝
⎛⎭⎪⎪⎫sin θ
2
＋cos θ2⎝
⎛⎭⎪
⎪
⎫sin θ
2－cos θ22cos θ
2
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
0<θ2<π2 ＝sin 2
θ2－cos 2
θ
2
＝－cos θ.
迁移与应用：B 解析：∵sin x ·tan x ＜0，
∴cos x ＜0.
∴1＋cos 2x ＝2cos 2x ＝－2cos x .
活动与探究3：解：(1)f (x )＝12a sin 2x －3a ·1＋cos 2x 2＋
3
2
a ＋b
＝12a sin 2x －3
2
a cos 2x ＋
b ＝a sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)． (2)令π2＋2k π≤2x －π3≤3π
2＋2k π(k ∈Z )，
得k π＋5π12≤x ≤k π＋1112
π.
∴f (x )递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z )．
∴函数图像对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
k π2＋π6，b . 迁移与应用：解：∵f (x )＝a sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)， 当x ∈⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤－π3，2π3.
当2x －π3＝π
2时，f (x )max ＝a ＋b ，
当2x －π3＝－π3时，f (x )min ＝－3a
2
＋b .
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝3，－3a
2＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝3－2.
∴a ＝2，b ＝3－2.
1．在tan x
2定义域内，以下各式中恒成立一个是( )．
A ．tan x
2
＝
1－cos x
1＋cos x
B ．tan x
2
＝－
1－cos x
1＋cos x
C ．tan x 2＝1－cos x
sin x
D ．tan x
2＝sin x
1－cos x
2．假设cos α＝23，且α∈(0,2π)，那么sin α
2等于( )．
A.66 B ．－66 C.306 D ．－30
6
3．sin α2＝45，cos α
2＝－3
5，那么α所在象限是( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．函数f (x )＝2cos 2
x
2＋sin x 最小正周期是________．
5．α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos
α－β
2值．
答案：1．C
2．A 解析：∵α∈(0,2π)，∴α
2
∈(0，π)．
∴sin α
2
＝
1－cos α
2
＝1－
232
＝
16＝66
. 3．C 解析：sin α＝2sin α2cos α
2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－35＝－2425＜0，
cos α＝2cos 2
α2－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－352
－1＝－725＜0，
∴α在第三象限．
4．2π 解析：f (x )＝2×1＋cos x
2＋sin x ＝cos x ＋sin x ＋1
＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋1. ∴T ＝2π.
5．解：由题意得cos α＝－35，cos β＝513.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－35×513＋45×1213＝3365. 又π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴0＜α－β2＜π2
.。