现代控制理论-第六章补充解耦控制

第六章
线性定常系统的综合6.5 6.5 解耦控制解耦控制
在(0)0x =的条件下的条件下，
，输出与输入之间的关系输出与输入之间的关系，，可用传递函数()G s 描述描述：：
1
()()()()()
y s G s u s C sI A Bu s −==−MIMO MIMO系统系统系统（（p 入q 出）：
11111221221122221122()()()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()
p p p p q q q qp p y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s =+++=+++=+++⋯⋯⋯⋯⋮
⋮
⋯⋯
即第六章线性定常系统的综合
6.5.1 6.5.1 问题的提出问题的提出
考虑考虑MIMO MIMO MIMO系统系统
x Ax Bu y Cx
∑=+=ɺ：引入状态反馈u Lv Kx
=−解耦问题解耦问题：：就是寻求适当的反馈阵K 和输入变
换矩阵L ，使得状态反馈传递函数矩阵为对角阵为对角阵。

)(s KF G 1122G ()diag ()()()KF pp s g s g s g s =
⋯p q =其中，即系统的输出个数等于输入个数即系统的输出个数等于输入个数。

第六章线性定常系统的综合11()
g s 22()
g s ()
pp g s 1
u 2
u p
u 1
y 2
y p
y 能找出一些控制律能找出一些控制律，，每个输出受且只受一个输入的控制一个输入的控制，，称为解耦控制称为解耦控制。

第六章线性定常系统的综合
引入状态反馈u Lv Kx
=−状态反馈系统的传递函数矩阵为
1()[()]KF G s C sI A BK BL
−=−−()()x
Ax B Lv Kx A BK x BLv =+−=−+ɺCx y =状态反馈系统的状态空间表达式为
第六章线性定常系统的综合6.5.2 6.5.2 实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论
1) 1) 已知传递函数阵已知传递函数阵
111212122212() ()()() ()()() () ()()p p p p pp g s g s g s g s g s g s G s g s g s g s
=
⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯⋯是的分母的次数与分子的次数之差的分母的次数与分子的次数之差。

()ij g s 其中都是严格真的有理分式都是严格真的有理分式((或者为零或者为零))。

令
ij d ()ij g s 第六章线性定常系统的综合
2) 2) 若若A,B,C A,B,C已知已知已知，，则
00,1 210 1 00,1 2 1 k
i i i k
i c A B k c A B d n c A B k n µµµ ==−≠ −==− ⋯⋯当，，，，而=当，，，
时di i i E c A B
=状态反馈不改变i
d 的第i 行。

由表示唯一确定唯一确定。

()i g s ()G s i E ()G s 121min{,,......,}1lim () , 1,2,......i i i ip d i i i d d d d E s g s i p
+→∞
=−==
第六章
线性定常系统的综合例6.5.1 6.5.1 给定系统给定系统其中其中::
∑
x
Ax Bu y Cx
=+
= ɺ00010110101 00 00112301A B C
===
−−−
第六章线性定常系统的综合
其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为::
得到:
2131
1
(1)(2)
(1)(2)()()1(1)(2)
(1)(2)s s s s s s s G s C sI A B s
s s s s − ++
++++
=−= −
++++
1111222122min{ }1min{1 2}10min{ }1min{2 1}10
d d d d d d =−=−==−=−=，，第六章
线性定常系统的综合2221lim ()lim [0 1](1)(2)(1)(2) [0 0 1][0 1]
i i d s
E sg s s s s s s c A B A B →∞→∞
−=== ++++
=== 2111311
lim ()lim [1 0](1)(2)(1)(2) [1 1 0][1 0]
i i d s s E sg s s s s s s s c A B A B →∞→∞
++=== ++++
=== 同样同样，，由两种方法求得的也相同的也相同。

因也可求得1[1 0]0,c B =≠2[0 1]0,c B =≠1200d d ==，i E 第六章线性定常系统的综合
现解耦控制的充要条件是为非奇异为非奇异。

其中其中，，
定理 6.5.1 6.5.1 前面系统在状态反馈前面系统在状态反馈下实u Lv Kx =−E 11
,K E F L E −−==121
11112221
1
p d d d p p p c A
E F c A E F E F L E E F c A ++−+
====
⋮⋮⋮第六章线性定常系统的综合两边分别求导两边分别求导，，根据和的定义可知
()
(1)1 1,,i i
i i i i d d i
d d d i y cAx y
cA x
y cA x cA Bu i q
++===+=ɺ⋮⋯ 1,,i i y c x i q
==⋯i d 证：对等式
i E 第六章线性定常系统的综合
当且仅当矩阵E 为非奇异时为非奇异时，，由方程组
可唯一确定出和在状态反馈下,有:
1 1,,i i i d d i i i i d i i c A BKx E Kx c A x F x c A Lv E Lv v i q
+==−=−===⋯1K E F −=1L E −=u Lv Kx =−()(1) 1,,i i i i d d i d i i y cAx y cA x
y v i q
+====ɺ⋮⋯
第六章
线性定常系统的综合输出y i 仅与输入v i 有关有关,,且v i 仅能控制y i 。

定理得证定理得证。

在状态反馈u = Lv –Kx 下，系统的状态空间表达式为间表达式为::
K ∑11: () K x A BE F x BE v y Cx
−−∑=−+=i
第六章线性定常系统的综合
其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为::
1111
10(;,)()0 1d d d
s s
G s K L C sI A BE F BE s −−−
=−+=
⋱⋱
第六章线性定常系统的综合6.5.3 6.5.3 算法和推论算法和推论
反馈解耦反馈解耦；；否则否则，，不能状态反馈解耦不能状态反馈解耦。

2) 2) 构成矩阵构成矩阵E ，若E 非奇异非奇异，，则可实现状态
3) 3) 求取矩阵求取矩阵K 和L ,则u = Lv –Kx 就是所需的
状态反馈控制律状态反馈控制律。

1) 1) 求出求出系统的1 2 i i d E i p =⋯⋯、，，，
∑算法算法：：
第六章线性定常系统的综合
例6.5.2 6.5.2 给定系统给定系统
试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解
耦后的传递函数矩阵耦后的传递函数矩阵。

0001011000100 00112301x x u y x
=+=
−−−
i
第六章
线性定常系统的综合解：1) 1) 在例在例在例6.5.16.5.16.5.1中已求得中已求得
2) 2) 因为因为为非奇异的为非奇异的,
,所以可状态反馈解耦反馈解耦..3) 3) 因为因为
所以有
[][]
1211111222001123d d F c A c A F c A c A ++======−−−12E E I E
==
11001 123K E F L E I −−
====
−−−
12120 [1 0] [0 1]
d d E E ====第六章线性定常系统的综合
于是
4) 4) 反馈后反馈后反馈后，，对于闭环系统有
K ∑100110()001000000111000110()()10x A BK x BV x u y x s
G s K L C sI A BK BL s −−
=−+=+
=
=−+=
i
；，001123u v x
=+
第六章线性定常系统的综合
推论
推论：4) 4) 要求系统能控要求系统能控要求系统能控，，或者至少能镇定否则不能或者至少能镇定否则不能。

保证闭环系统的稳定性保证闭环系统的稳定性。

3) 3) 系统解耦后系统解耦后系统解耦后，，每个每个SISO SISO SISO系统的传递函数均为系统的传递函数均为
重积分形式重积分形式。

须对它进一步施以极点配
置。

1i d +1) 1) 能否态反馈实现解耦控制取决于能否态反馈实现解耦控制取决于和。

i d i
E 2) 2) 求得求得，，则解耦系统的传递函数
矩阵即可确定矩阵即可确定。

i d 1,2,,i p =⋯。