精品解析：北京第一七一中学2020-2021学年九年级上学期八月月考数学试题(原卷版)
精品解析：北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(原卷版)
2020-2021学年度第一学期期中高三年级数学学科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集U =R ，集合{}21x A x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =（ ） A. {|2}x x > B. {}02x x ≤< C. {|02}x x <≤D. {|2}x x ≤ 2. 下列命题中的假命题．．．是（ ）A. ,sin x R x ∃∈=B. ,ln x R x ∃∈=C. 2,0∈≥∀x R xD. ,20x x R ∀∈> 3. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若a b -与b 共线，则实数m =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 5-4. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）A. ()1,0-B. ()0,1C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,00,1- 5. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A. sin 26x B. 2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x - 6. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立是A. 222a b ab +>B. a b +≥C. 11a b +> D. 2b a a b+≥ 7. 已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg 110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dm，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍9. 函数ππ2sin,,22y x x x⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为A. B.C.D.10. 已知函数 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数2y x =-_________. 12. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________. 13. 已知非零向量a ，b 满足||||a a b =-，则12a b -与b 的夹角等于_________. 14. 圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________. 15. 关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记为()f t .若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．17. 已知函数()3f x x x =-，()23g x x =-. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在[]0,2上最大值；(3)求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.18. 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I)求f (0)值；(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.19. 已知：函数()sin cos =-f x x x x .（1）求()f π'；（2）求证：当(0,)2x π∈时，31()3f x x <； （3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的最大值.20. 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．21. 对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}． (Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？。
北京市第八中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
北京市第八中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线2(1)2y x =++的对称轴是（）A ．直线1x =B ．直线=1x -C ．直线2x =D ．直线2x =-2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A ．B ．C ．D ．3．将抛物线22y x =-先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．22(1)3y x =-++B ．22(1)3y x =---C ．22(1)3y x =-+-D ．22(1)3y x =--+4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n °后能与原来的图案互相重合，则n 的最小值为（）A ．45B ．60C ．72D ．1445．已知函数2y x bx c =-++，其中00b c ＞，＜，此函数的图象可以是（）A ．．B ．．．．bx c+的部分图象如图所示，则使得函数值2-C．．某电视机厂计划用两年的时间把某型号的电视机成本降低数相同，则这个百分数是（）18%C．1-与x轴交于A B，两点，AD的中点，连接OE15．若关于x 的一元二次方程22(1)x m x +++是．三、解答题22．如图，△ABC为等边三角形，将(3)根据函数图象，回答下列问题：①当11x -≤<时，则y 的取值范围为②直线y kx b =+经过点()1,2，若关于根，则b 的取值范围是______．26．在平面直角坐标系xOy 中，点A (1)求点A 的坐标（用含m 的代数式表示）(2)若射线OA 与x 轴所成的锐角为45︒，求(3)将点P (01)，向左平移4个单位得到点m 的取值范围．27．如图，已知：过O 上一点A 作两条弦不经过)O 过A 作AC 的垂线AF 交O 于点F ．(1)证明：BE BF =；(2)探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并证明你的结论．28．对于平面直角坐标系xOy 中第一象限内的点,Px y （）和图形W ，给出如下定义：过点P 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，若图形W 中的任意一点,Q a b （）满足a x ≤且b y ≤，则称四边形PMON 是图形W 的一个覆盖，点P 为这个覆盖的一个特征点．例：已知1,2A （），3,1B （），则点5,4P （）为线段AB 的一个覆盖的特征点．（1）已知：1,2A （），3,1B （），点2,3C （），①在11,3P （），23,3P （），34,4P （）中，是ABC 的覆盖特征点的为___________；②若在一次函数6(0)y mx m =+≠的图像上存在ABC 的覆盖的特征点，求m 的取值范围．（2）以点D （3，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线254(0)y ax ax a =-+≠上存在⊙D 的覆盖的特征点，直接写出a 的取值范围__________________．。
2020-2021学年北京171中九年级(上)月考数学试卷(8月份)(含解析)
2020-2021学年北京171中九年级（上）月考数学试卷（8月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.一元二次方程2x2−x−3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，1，3B.2，1，−3C.2，−1，3D.2，−1，−32.平行四边形所具有的性质是（）A.对角线相等B.邻边互相垂直C.每条对角线平分一组对角D.两组对边分别相等3.图中，不是函数图象的是（）A. B.C. D.4.下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A.y＝6x−1B.y=1x C.y＝x2 D.y=−12x5.用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（）A.(x−2)2＝1B.(x−2)2＝7C.(x+2)2＝7D.(x+2)2＝16.一次函数y＝kx+b中，若kb<0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（）A. B.C. D.7.将抛物线y＝x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A.y＝x2+2B.y＝x2−2C.y＝(x+2)2D.y＝(x−2)28.点P(x, y)在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为(4, 0)．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（）A. B.C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.方程x2−4=0的解是________．10.请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式________．11.若二次函数y＝2x2−5的图象上有两个点A(2, a)、B(3, b)，则a<b（填“<”或“＝”或“>”）．12.二次函数y＝−(x+1)2−2的最大值是________．13.如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P(3, 5)，则关于x的不等式kx+6>x+b的解集是________．14.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为________度．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知A(0, 1)，B(1, 0)，C(3, 1)，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是________．三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18-23题，每小题6分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程：（1）x2−2x−3＝0；（2）2x2+3x−1＝0．18.下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90∘，O为AC的中点，求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO＝BO②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO又∵DO＝BO，∴四边形ABCD为平行四边形(________)∵∠ABC＝90∘，∴▱ABCD为矩形(________)19.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A(1, 6)．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．20.关于x的一元二次方程x2+2x+k−3＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是该方程的一个根，求2k2+6k−5的值．21.若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．22.已知点(2, 0)在抛物线y＝−3x2+(k+3)x−k上，求此抛物线的对称轴．23.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60∘，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE＝3.5cm时，四边形CEDF是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）24.抛物线y1=x2+bx+c与直线y2＝−x+m相交于A(−2, n)、B(2, −3)两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若−4≤x≤1，则y2−y1的最小值为________．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x−1交于点A(3, m)．（1）求k，m的值；（2）已知点P(n, n)，过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x−1交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．+x的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y= 26.有这样一个问题：探究函数y=1x−21x−2+x的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x−2+x中自变量x的取值范围是________；（2）下表是y与x的几组对应值．x…−2−101327494523456…y…−94−43−12−12−9425492m92163254…则m的值是________；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与过点(2, 0)且平行于________的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线________越来越靠近而永不相交．27.在△ABC中，∠C＝90∘，AC>BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段AC的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，点A(t, 0)，B(t+2, 0)，C(n, 1)，若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是________；②若n<0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=√3，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是________．2020-2021学年北京171中九年级（上）月考数学试卷（8月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.一元二次方程2x2−x−3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，1，3B.2，1，−3C.2，−1，3D.2，−1，−3【解答】解：一元二次方程2x2−x−3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，−1，−3.故选D.2.平行四边形所具有的性质是（）A.对角线相等B.邻边互相垂直C.每条对角线平分一组对角D.两组对边分别相等【解答】平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等．3.图中，不是函数图象的是（）A. B.C. D.【解答】由函数的定义可知，对于每一个自变量的x的取值，都有唯一的y值与其对应，选项A中当x＝1时，有两个y值与其对应，故选项A中的图象不是函数图象，故选：A．4.下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A.y＝6x−1B.y=1x C.y＝x2 D.y=−12x【解答】A、y＝6x−1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；B、y=1x是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；C、y＝x2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；D、y=−12x是正比例函数，故此选项符合题意；5.用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（）A.(x−2)2＝1B.(x−2)2＝7C.(x+2)2＝7D.(x+2)2＝1【解答】x2+4x+4＝7，(x+2)2＝7．6.一次函数y＝kx+b中，若kb<0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（）A. B.C. D.【解答】∵y随着x的增大而增大，∴k>0，又∵kb<0，∴b<0，∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限．7.将抛物线y＝x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A.y＝x2+2B.y＝x2−2C.y＝(x+2)2D.y＝(x−2)2【解答】抛物线y＝x2沿y轴向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝x2−2．8.点P(x, y)在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为(4, 0)．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（）A. B.C. D.【解答】∵点P(x, y)在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为(4, 0)，=2y＝2(6−x)＝−2x+12，0<x<6，∴S=4y2∴0<S<12，二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.方程x2−4=0的解是________．【解答】解：x2−4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2，故答案为：±2．10.请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式________．【解答】依题意，满足题意的抛物线解析式为y＝x2+x+1等，答案不唯一．故11.若二次函数y＝2x2−5的图象上有两个点A(2, a)、B(3, b)，则a<b（填“<”或“＝”或“>”）．【解答】y＝2x2−5的对称轴为x＝0，开口方向向上，顶点为(0, −5)．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a<b．12.二次函数y＝−(x+1)2−2的最大值是________．【解答】∵y＝−(x+1)2−2中−1<0，∴函数的图象开口向下，函数有最大值，当x＝−1时，函数的最大值是−2，13.如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P(3, 5)，则关于x的不等式kx+6>x+b的解集是________．【解答】当x<3时，kx+6>x+b，即不等式kx+6>x+b的解集为x<3．14.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为________度．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60∘，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90∘+60∘＝150∘，∴∠ABE＝(180∘−150∘)÷2＝15∘，又∵∠BAC＝45∘，∴∠BFC＝45∘+15∘＝60∘．15.在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +4与x ，y 轴分别交于点A ，B ，若将该直线向右平移5单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则k 的值为________．【解答】令y ＝0，则x =−4k ，即A(−4k , 0)．令x ＝0，则y ＝3，即B(0, 3)．∵将该直线向右平移5单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，∴AB ＝5，则AB 2＝25．∴(−4k )2+32＝25．解得k ＝±43． 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0, 1)，B(1, 0)，C(3, 1)，若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是________．【解答】分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为(4, 0)；②AB 为对角线时，点D 的坐标为(−2, 0)③AC 为对角线时，点D 的坐标为(2, 2)综上所述，点D 的坐标是(−2, 0)或(4, 0)或(2, 2)；三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18-23题，每小题6分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程：（1）x 2−2x −3＝0；（2）2x 2+3x −1＝0．【解答】x 2−2x −3＝0，(x −3)(x +1)＝0，∴x −3＝0或x +1＝0，∴x 1＝3，x 2＝−1；2x 2+3x −1＝0，∵a ＝2，b ＝3，c ＝−1，b 2−4ac ＝32−4×2×(−1)＝17，∴x =−3±√172×2， ∴x 1=−3+√174，x 2=−3−√174．18.下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90∘，O为AC的中点，求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO＝BO②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO又∵DO＝BO，∴四边形ABCD为平行四边形(________)∵∠ABC＝90∘，∴▱ABCD为矩形(________)【解答】如图，矩形ABCD即为所求．理由：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO又∵DO＝BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC＝90∘，∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形19.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A(1, 6)．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解答】∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，∴k＝3，又∵函数y＝3x+b的图象经过点A(1, 6)，∴6＝3+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝3x+3；在y＝3x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝−1；∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴交于(0, 3)和(−1, 0)，∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×3=32．20.关于x的一元二次方程x2+2x+k−3＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是该方程的一个根，求2k2+6k−5的值．【解答】△＝22−4(k−3)≥0，解得k≤4；把x＝k代入方程得k2+2k+k−3＝0，即k2+3k＝3，所以2k2+6k−5＝2(k2+3k)−5＝2×3−5＝1．21.若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．【解答】由题意得：△＝b2−4ac＝32−4×2a＝0，解得：a=98．22.已知点(2, 0)在抛物线y＝−3x2+(k+3)x−k上，求此抛物线的对称轴．【解答】∵点(2, 0)在抛物线y＝−3x2+(k+3)x−k上，∴0＝−3×22+(k+3)×2−k，解得，k＝6，∴抛物线y＝−3x2+(6+3)x−6＝−3x2+9x−6，∴该抛物线的对称轴是直线x=−92×(−3)=32，即此抛物线的对称轴是直线x=32．23.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60∘，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE＝3.5cm时，四边形CEDF是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF // ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，{∠FCG=∠EDGCG=DG∠CGF=∠DGE，∴△FCG≅△EDG(ASA)∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60∘，AB＝3，∴BM＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60∘，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵AE＝3.5，∴DE＝1.5＝BM，在△MBA和△EDC中，{BM=DE∠B=∠CDA AB=CD，∴△MBA≅△EDC(SAS)，∴∠CED＝∠AMB＝90∘，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；24.抛物线y1=x2+bx+c与直线y2＝−x+m相交于A(−2, n)、B(2, −3)两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若−4≤x≤1，则y2−y1的最小值为________．【解答】∵直线y2＝−2x+m经过点B(2, −3)，∴−3＝−2×2+m．∴m＝1．∵直线y2＝−2x+m经过点A(−2, n)，∴n＝4+1＝5；∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，则{5=4−2b+c−3=4+2b+c ，解得{b=−2c=−3，∴y1＝x2−2x−3；y2−y1＝−2x+1−(x2−2x−3)＝−x2+4，∴y2−y1的最大值是4，代入x＝−4得y2−y1＝−12，代入x＝1得y2−y1＝3，∴若−4≤x≤1，y2−y1的最小值为−12．故答案为−12．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x−1交于点A(3, m)．（1）求k，m的值；（2）已知点P(n, n)，过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x−1交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．【解答】把A(3, m)代入y＝x−1中，得m＝3−1＝2，∴A(3，，把A(3,（1）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，解得，k＝−2；+x的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y= 26.有这样一个问题：探究函数y=1x−21+x的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：x−2+x中自变量x的取值范围是________；（1）函数y=1x−2（2）下表是y与x的几组对应值．则m的值是________；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与过点(2, 0)且平行于________的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线________越来越靠近而永不相交．【解答】由题意得：x−2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；+3＝1+3＝4，当x＝3时，m=13−2即m的值为4，故答案为4；图象如图所示：观察函数图象发现：该函数的图象与过点(2, 0)且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝x越来越靠近而永不相交．故答案为：y轴，y＝x．27.在△ABC中，∠C＝90∘，AC>BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段AC的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【解答】∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，BC，∴DE // BC，DE=12∵∠ACB＝90∘，∴∠DEC＝90∘，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90∘，∴四边形CEDF是矩形，BC，∴DE＝CF=12∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF=√CF2+CE2=√12+22=√5；AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM // AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90∘，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE 和△BDM 中，{∠AED =∠BMD∠ADE =∠BDM AD =BD，∴△ADE ≅△BDM(AAS)，∴AE ＝BM ，DE ＝DM ，∵DF ⊥DE ，∴EF ＝MF ，∵BM 2+BF 2＝MF 2，∴AE 2+BF 2＝EF 2．28.在平面直角坐标系xOy 中，点A(t, 0)，B(t +2, 0)，C(n, 1)，若射线OC 上存在点P ，使得△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，就称点P 为线段AB 关于射线OC 的等腰点．（1）如图，t ＝0，①若n ＝0，则线段AB 关于射线OC 的等腰点的坐标是________；②若n <0，且线段AB 关于射线OC 的等腰点的纵坐标小于1，求n 的取值范围；（2）若n =√3，且射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，则t 的取值范围是________．【解答】①如图1中，由题意A(0, 0)，B(2, 0)，C(0, 1)，∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P(0, 2)．故答案为：(0, 2)．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=√OP2−PH2=√22−12=√3，观察图象可知：若n<0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n<−√3．如图3−1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C(√3, 1)，∴CH=√3，OH＝1，=√3，∴tan∠COH=CHOH∴∠COH＝60∘，当⊙B经过原点时，B(−2, 0)，此时t＝−4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当−4<t≤−2时，满足条件，如图3−2中，当点A在原点时，∵∠POB＝30∘，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3−3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90∘，∵BP＝2，∠POB＝30∘，∴OB=PBcos60=212=4，此时t＝4−2＝2，如图3−4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA＝4，此时t＝4，此时符合题意．如图3−5中，当⊙A经过原点时，A(2, 0)，此时t＝2，观察图形可知，满足条件的t的值为：2<t≤4，综上所述，满足条件t的值为−4<t≤−2或t＝0或2<t≤4．故答案为：−4<t≤−2或t＝0或2<t≤4．。
2020—2021学年高一年级9月份月考数学试卷及参考答案(精品)
2020—2021学年高一年级9月份月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题的4个选项中，只有项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（4分）设集合U＝{x∈N|0＜x≤8}，S＝{1，2，4，5}，T＝{3，5，7}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3，4，5，7}C．{1，2} D．{1，2，4，5，6，8}2．（4分）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤03．（4分）若﹣2x2+5x﹣2＞0，则等于（）A．4x﹣5 B．﹣3 C．3 D．5﹣4x4．（4分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．646．（4分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b7．（4分）如果存在x∈R，使得不等式＜1成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，+∞）C．（∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，3）8．（4分）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2B．4C．8 D．16二、填空题；本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题纸上.9．（4分）已知集合A＝{1，2，m3}，B＝{1，m}，A∩B＝B，则m＝．10．（4分）若集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是．11．（4分）不等式≥3的解集是．12．（4分）若＜0，给出下列不等式：①；②|a|+b＞0；③a﹣；④﹣ab＞﹣a2．其中错误的不等式是（只填序号）．13．（4分）已知正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为．14．（4分）不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），则不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集为．15．（4分）已知xy＞0，x+y＝3，则+的最小值为．三、解答题：本大题共4小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题纸上.16．（10分）已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝2时，求A∪B及（∁U A）∩（∁U B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．17．（10分）设集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．（1）求集合B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知关于的x不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为{x|﹣1}，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式；（3）∀1≤x≤3，（ax﹣1）（x+1）＞2ax﹣a﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（8分）正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0当最大值时，求最大值．2020—2021学年高一年级9月份月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题的4个选项中，只有项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（4分）设集合U＝{x∈N|0＜x≤8}，S＝{1，2，4，5}，T＝{3，5，7}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3，4，5，7}C．{1，2} D．{1，2，4，5，6，8}【分析】根据集合补集和交集的运算规则直接求解．【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，∁U T＝{1，2，4，6，8}，所以S∩（∁U T）＝{1，2，4}，故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，属简单题．2．（4分）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤0【分析】根据特称命题的否定的全称命题进行求解即可．【解答】解：∵“∃x∈R，x2+2x+2≤0”是特称命题，∴根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（4分）若﹣2x2+5x﹣2＞0，则等于（）A．4x﹣5 B．﹣3 C．3 D．5﹣4x【分析】先由﹣2x2+5x﹣2＞0得出x的取值范围，再将化简成：|2x﹣1|+2|x﹣2|的形式，最后利用绝对值的定义化简即得．【解答】解：由﹣2x2+5x﹣2＞0得：＜x＜2．∴则＝|2x﹣1|+2|x﹣2|＝2x﹣1+2（2﹣x）＝3．故选：C．【点评】本小题主要考查函数的值、根式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4．（4分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意条件p：x≤1，写出其﹣p中x的范围，将条件q：，由分式不等式的解法解出x的范围，然后判断﹣p是q之间能否互推，从而进行判断；【解答】解：∵条件p：x≤1，∴￢p：x＞1；∵条件q：，∴＜0，解得x＞1或x＜0，∵x＞1⇒x＞1或x＜0，反之则不能；∴﹣p⇒q，q推不出﹣p，∴﹣p是q的充分而不必要条件，故选：A．【点评】此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出﹣p和q，各自x的范围．5．（4分）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【分析】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．【解答】解：根据题意得，P*Q的元素个数为个，∴P*Q的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，分步计数原理的应用，集合真子集个数的计算公式．6．（4分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a＝此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．7．（4分）如果存在x∈R，使得不等式＜1成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，+∞）C．（∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，3）【分析】由已知结合4x2+6x+3＞0成立，可转化为二次不等式的成立，结合二次函数的性质可求．【解答】解：由＜1成立，又4x2+6x+3＞0恒成立，∴mx2+2mx+m＜4x2+6x+3，整理可得，（m﹣4）x2+（2m﹣6）x+m﹣3＜0成立，①当m＝4时，2x+1＜0可得x＜﹣成立；②m≠4时，（1）m＜4时，存在x∈R，使得（m﹣4）x2+（2m﹣6）x+m﹣3＜0成立，符合题意，（2）m＞4时，则，解可得，m＞4．综上可得，m的范围为R．故选：B．【点评】本题主要考查了二次不等式的成立问题求解参数，体现了分类讨论思想的应用．8．（4分）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2B．4C．8 D．16【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1＝b，则y＝b+1，令2x﹣1＝a，x＝（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1＝b，则y＝b+1，令2x﹣1＝a，x＝（a+1），a＞0，b＞0．那么：+＝＝2（当且仅当a＝b＝1即x＝1，y＝2时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．二、填空题；本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题纸上.9．（4分）已知集合A＝{1，2，m3}，B＝{1，m}，A∩B＝B，则m＝2或0或﹣1 ．【分析】根据A∩B＝B即可得出B⊆A，从而得出m＝2或m＝m3，解出m的值，并检验是否满足题意即可．【解答】解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴m＝2或m＝m3，∴m＝2或m＝0或m＝﹣1或m＝1，∵m＝1时，不满足集合元素的互异性，∴m＝2或0或﹣1．故答案为：2或0或﹣1．【点评】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及子集的定义，集合元素的互异性．10．（4分）若集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是{a|a ＝0或a≥1} ．【分析】由集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，得到a＝0或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}至多有一个元素，∴a＝0或，解得a＝0或a≥1，∴a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．故答案为：{a|a＝0或a≥1}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查集合、一元二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（4分）不等式≥3的解集是[，2）．【分析】由≥3可得，﹣3≥0，整理后即可求解．【解答】解：由≥3可得，﹣3≥0，整理可得，，解可得，，故答案为：[，2）．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法的应用，属于基础试题．12．（4分）若＜0，给出下列不等式：①；②|a|+b＞0；③a﹣；④﹣ab＞﹣a2．其中错误的不等式是②（只填序号）．【分析】若＜0，可得b＜a＜0，利用不等式的基本性质即可判断出下列不等式的正误．【解答】解：若＜0，∴b＜a＜0，给出下列不等式：①∵＜0＜，∴正确；②由于|a|+b＜0，因此不正确；③∵＜0，∴﹣＞﹣，又a＞b，∴a﹣，正确；④由b＜a＜0，∴﹣ab＞﹣a2，正确．其中错误的不等式是②．故答案为：②．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（4分）已知正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为9 ．【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y＝2，∴＝＝＝9，当且仅当x＝4y＝时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（4分）不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），则不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集为（﹣2，3）．【分析】根据不等式的解集求出a，c的值，从而求出不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集即可．【解答】解：∵不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣＝﹣+，＝﹣，解得：a＝﹣12，c＝2，故不等式﹣cx2+2x﹣a＞0即﹣2x2+2x+12＞0，故x2﹣x﹣6＜0，解得：﹣2＜x＜3，故不等式的解集是：（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了解二次不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．15．（4分）已知xy＞0，x+y＝3，则+的最小值为．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，由柯西不等式可得[（y+1）+（x+2）]（+）≥[•+•]2，即可得到所求最小值．【解答】解：xy＞0，x+y＝3，可得x＞0，y＞0，由柯西不等式可得[（y+1）+（x+2）]（+）≥[•+•]2＝（x+y）2＝9，可得+≥＝，当＝，即有x＝，y＝时，+的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简变形能力、以及运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分，将解题过程及答案填写在答题纸上.16．（10分）已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝2时，求A∪B及（∁U A）∩（∁U B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出a＝2时的集合A，再根据并集和补集、交集的定义计算即可；（2）根据A∩B＝A得出A⊆B，再讨论A＝∅和A≠∅时，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝2时，集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∪B＝{x|﹣2≤x＜7}；又U＝R，∴（∁U A）∩（∁U B）＝∁U（A∪B）＝{x|x＜﹣2或x≥7}；（2）若A∩B＝A，则A⊆B，当a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，A＝∅，满足题意；当a＞﹣4时，应满足，解得﹣1≤a≤；综上知，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，]．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．17．（10分）设集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．（1）求集合B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．【分析】（1）关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．利用一元二次不等式的解法即可得出．（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，进而得出结论．【解答】解：（1）关于x的不等式（x﹣2a）（x+a）＞0的解集为B（其中a＜0）．解得：x＞﹣a，或x＜2a．∴集合B＝（﹣∞，2a）∪（﹣a，+∞），（a＜0）．（2）设p：x∈A，q：x∈B，且￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴，等号不能同时成立．解得a≤﹣3．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）已知关于的x不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为{x|﹣1}，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式；（3）∀1≤x≤3，（ax﹣1）（x+1）＞2ax﹣a﹣1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）由题意可得﹣1，﹣为方程（ax﹣1）（x+1）＝0（a＜0）的两根，由代入法可得所求值；（2）讨论a＝0，a＞0，a＜0，又分a＝﹣1，a＜﹣1，﹣1＜a＜0时，由二次不等式的解法，即可得到所求解集；（3）由题意可得a（x2﹣x+1）＞x在1≤x≤3恒成立，可得a＞在1≤x≤3恒成立，由f（x）＝，1≤x≤3，结合对勾函数的单调性可得f（x）的最大值，可得a的范围．【解答】解：（1）（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为{x|﹣1}，可得﹣1，﹣为方程（ax﹣1）（x+1）＝0（a＜0）的两根，可得＝﹣，即a＝﹣2；（2）当a＝0时，原不等式即为x+1＜0，解得x＜﹣1，解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）＞0，解集为{x|x＞或x＜﹣1}；当a＜0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）＜0，①若a＝﹣1，可得（x+1）2＜0，解集为∅；②若a＜﹣1，＞﹣1，可得解集为{x|﹣1＜x＜}；③若﹣1＜a＜0，＜﹣1，可得解集为{x|＜x＜﹣1}；（3）对任意的1≤x≤3，（ax﹣1）（x+1）＞2ax﹣a﹣1恒成立，等价为a（x2﹣x+1）＞x在1≤x≤3恒成立，由于x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，可得a＞在1≤x≤3恒成立，由f（x）＝，1≤x≤3，可得f（x）＝，而y＝x+在x＝1时取得最小值2，在x＝3时取得最大值，可得f（x）的最大值为1，则a＞1．即a的取值范围是（1，+∞）．【点评】本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．19．（8分）正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0当最大值时，求最大值．【分析】由条件可得c＝a2﹣3ab+4b2，＝＝，运用基本不等式可得a＝2b时，取得最大值，求得c＝2b2，代入运用二次函数的性质求出其最大值即可得答案．【解答】解：由条件可得c＝a2﹣3ab+4b2，＝＝，∵≥2＝4，当且仅当a＝2b时，有最大值，c＝2b2，＝＝﹣（）2+1，当b＝1时，有最大值1．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值．。
北京第一七一中学2020-2021学年九年级上学期八月月考数学试题
北京第一七一中学2020-2021学年九年级上学期八月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程2x 2﹣x ﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．2，1，3B ．2，1，﹣3C ．2，﹣1，3D ．2，﹣1，﹣32．平行四边形所具有的性质是（ ） A ．对角线相等B ．邻边互相垂直C ．每条对角线平分一组对角D ．两组对边分别相等3．下图中，不是函数图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y ＝6x ﹣1B ．1y x=C ．y ＝x 2D ．12y x =5．用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是（ ） A ．2(2)1x -=B ．2(2)7x -=C ．2(2)7x +=D ．2(2)1x +=6．一次函数0y kx b kb =+，＜，且y 随x 的增大而增大，则其图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．将抛物线2y x 沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 （ ）A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()22y x =+D ．()22y x =-8．点(),P x y 在第一象限，且6x y +=，点A 的坐标为()4,0，设OPA ∆的面积为S ，则下列图像中，能反映S 与x 之间的函数关系式的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．方程x 2﹣4＝0的解是_____．10．写出一个图象开口向上，且经过点()01，的二次函数的解析式：_______．11．若二次函数y ＝2x 2﹣5的图象上有两个点A （2，a ）、B （3，b ），则a_____b （填“＜”或“＝”或“＞”）．12．二次函数y ＝﹣（x +1）2﹣2的最大值是_____．13．如图，直线y ＝x ＋b 与直线y ＝kx ＋6交于点P （3，5），则关于x 的不等式kx ＋6＞x ＋b 的解集是_____．14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为_____．15．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_____________．三、解答题16．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC 为__________°．17．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x2+3x﹣1＝0．18．下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.已知:如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.求作:四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.作法:①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.根据小丁设计的尺规作图过程.(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明:∴点O为AC的中点，∴AO=CO.又∵DO=BO ，∵四边形ABCD 为平行四边形(__________)(填推理的依据). ∵∠ABC=90°， ∴ABCD 为矩形(_________)(填推理的依据).19．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx+b 的图象与直线y ＝3x 平行，且经过点A(1，6)．（1）求一次函数y ＝kx+b 的解析式；（2）求一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 20．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ﹣3＝0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 是该方程的一个根，求2k 2+6k ﹣5的值．21．若抛物线y ＝x 2+3x+2a 与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．22．已知点(2，0)在抛物线y ＝﹣3x 2+（k+3）x ﹣k 上，求此抛物线的对称轴． 23．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，∠B ＝60°，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ． （1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）当AE ＝ cm 时，四边形CEDF 是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）24．抛物线21y x bx c =++与直线y 2＝﹣2x+m 相交于A(﹣2，n)、B(2，﹣3)两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若﹣4≤x≤1，则y 2﹣y 1的最小值为 ．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +8与直线y ＝x ﹣1交于点A (3，m )． （1）求k ，m 的值；（2）已知点P (n ，n )，过点P 作垂直于y 轴的直线与直线y ＝x ﹣1交于点M ，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线y ＝kx +8交于点N （P 与N 不重合）．若PN ≤2PM ，结合图象，求n 的取值范围．26．有这样一个问题：探究函数y＝12x-+x的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y＝12x-+x的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝12x-+x中自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．则m的值是；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与过点(2，0)且平行于的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．27．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1)，若射线OC上存在点P，使得ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．参考答案1．D 【解析】根据一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.故选D. 2．D 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案． 【详解】平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等. 故选D. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质. 3．B 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．根据函数的定义和函数图象可以判断哪个选项中的图象不是函数图象． 【详解】解：由函数的定义可知，对于每一个自变量的x 的取值，都有唯一的y 值与其对应，选项B 中当x 取一个正数时，有两个y 值与其对应，故选项B 中的图象不是函数图象，而其它选项中，对于每一个自变量的x 的取值，都有唯一的y 值与其对应，故是函数图象， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确函数的定义，利用“一一对应”进行判断． 4．D 【分析】利用正比例函数的定义进行分析即可．【详解】解：A 、y ＝6x ﹣1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意； B 、y ＝1x是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意； C 、y ＝x 2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意； D 、y ＝﹣12x 是正比例函数，故此选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 5．C 【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式. 【详解】2447x x ++=，()227x +=.故选：C . 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 6．A 【分析】先根据一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而增大，且0kb ＜，判断出k 与b 的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答． 【详解】∵一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而增大， ∴0k >， ∵0kb ＜， ∴0b ＜，∴一次函数y kx b=+的图象过一、三、四象限．故答案为：A．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质、一次函数的性质及不等式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数图像和系数的关系．7．B【解析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得y=x2-2.故本题应选B.点睛：本题考查了二次函数图象平移的相关知识. 二次函数图象向上或向下平移时，应将平移量以“上加下减”的方式作为常数项添加到原解析式中；向左或向右平移时，应先以“左加右减”的方式将自变量x和平移量组成代数式，再用该代数式替换原解析式中的自变量x.8．B【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵点P(x，y)在第一象限内，且x+y=6，∴y=6-x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为(4，0)，∴S=12×4×(6-x)=-2x+12（0＜x＜6），∴B符合．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意x，y的取值范围．9．±2【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．【详解】 解：x 2﹣4＝0， 移项得：x 2＝4，两边直接开平方得：x ＝±2， 故答案为：±2． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，掌握方法是解答此题的关键． 10．21y x =+等 【分析】设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，根据开口向上，a ＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式． 【详解】设二次函数的表达式为2y ax bx c =++(a ≠0)， ∵图象为开口向上，且经过(0，1)， ∴a ＞0，c=1，∴二次函数表达式可以为：21y x =+(答案不唯一)． 故答案为：21y x =+(答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a 的符号和c=1是解题关键． 11．＜． 【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出a 与b 的大小关系. 【详解】225y x ＝﹣的对称轴为0x =，开口方向向上，顶点坐标为（0，-5）．∵对于开口向上的函数，点距离对称轴越近，函数值越小，2比3距离对称轴更近， ∴a b < 故填：<.本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键.12．-2【分析】根据二次函数的性质和已知得出最大值即可．【详解】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2中﹣1＜0，∴函数的图象开口向下，函数有最大值，当x＝﹣1时，函数的最大值是﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质—最值问题，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．13．x＜3【分析】观察函数图象得到当x＜3时，函数y=kx+6的图象都在y=x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．【详解】由图象可知，当x＜3时，有kx＋6＞x＋b，当x＞3时，有kx＋6＜x＋b，所以，填x＜3【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．±4 3【分析】根据菱形的性质知AB＝5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答．解：令y＝0，则x＝﹣4k，即A（﹣4k，0）．令x＝0，则y＝4，即B（0，4）．∵将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，∴AB＝5，则AB2＝25．∴（﹣4k）2+42＝25．解得k＝±43．故答案是：±43．【点睛】考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到AB=5．15．（-2，0）或（4，0）或（2，2）【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【详解】解：分三种情况：①AB为对角线时，点D的坐标为（-2，0）；②BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）.综上所述，点D的坐标可能是（-2，0）或（4，0）或（2，2）．故答案为（-2，0）或（4，0）或（2，2）．【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．16．60°【解析】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE 为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°.考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质17．（1）x 1＝3，x 2＝﹣1；（2）x 1，x 2【分析】 （1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可．【详解】解：（1）x 2﹣2x ﹣3＝0，（x ﹣3）（x+1）＝0，∴x ﹣3＝0或x+1＝0，∴x 1＝3，x 2＝﹣1；（2）2x 2+3x ﹣1＝0，∵a ＝2，b ＝3，c ＝﹣1，b 2﹣4ac ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17，∴x ＝322-⨯，∴x 1＝4-，x 2＝34--． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．18．(1)作图如图所示，见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形.【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．【详解】（1）如图，矩形ABCD 即为所求．（2）理由：∵点O为AC的中点，∴AO=CO又∵DO=BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．19．（1）y＝3x+3；（2）3 2【分析】（1）根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A（1，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式；（2）先求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，∴k＝3，又∵函数y＝3x+b的图象经过点A（1，6），∴6＝3+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝3x+3；（2）在y＝3x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝﹣1；∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴交于（0，3）和（﹣1，0），∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×3＝32．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及三角形的面积的知识，关键是正确得出函数解析式及坐标与线段长度的转化．20．（1）k≤4；（2）1【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k ﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）利用方程解的定义得到k 2+3k ＝3，再变形得到2k 2+6k ﹣5＝2（k 2+3k ）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）∵2230x x k ++-=有实数根，∴Δ≥0即22﹣4（k ﹣3）≥0.∴k≤4(2)∵k 是方程2230x x k ++-=的一个根，∴2230k k k ++-=∴233k k +=2265k k +-22(3)5k k =+-=1故答案为（1）k≤4；（2）1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．98【分析】由题意得240b ac ∆=-=，即可求解．【详解】解：根据抛物线与x 轴只有一个交点，得到方程2320x x a ++=有两个相等的实数根， 则2243420b ac a ∆=-=-⨯=，解得98a =．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解求二次函数与x轴的交点就是求一元二次方程的解．22．x＝3 2【分析】根据点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，可以求得k的值，然后即可得到该抛物线的对称轴．【详解】解：∵点（2，0）在抛物线y＝﹣3x2+（k+3）x﹣k上，∴0＝﹣3×22+（k+3）×2﹣k，解得，k＝6，∴抛物线y＝﹣3x2+（6+3）x﹣6＝﹣3x2+9x﹣6，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣932(3)2=⨯-，即此抛物线的对称轴是直线x＝32．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23．（1）见解析；（2）3.5【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FCG ≌△EDG （ASA ）∴FG ＝EG ，∵CG ＝DG ，∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）当AE ＝3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B ＝60°，AB ＝3，∴BM ＝1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA ＝∠B ＝60°，DC ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝5，∵AE ＝3.5，∴DE ＝1.5＝BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDA AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC （SAS ），∴∠CED ＝∠AMB ＝90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形，故答案为：3.5．【点睛】本题主要考查平行四边形、矩形的判定及性质、三角形的全等的判定和性质，其中利用三角形的全等证明平行四边形及矩形是解题的关键．24．（1）y 1＝x 2﹣2x ﹣3；（2）﹣12【分析】（1）把B 的坐标代入直线y 2＝﹣2x+m 求得m 的值，然后代入A （﹣2，n ）求得n 的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得y2﹣y1＝﹣x2+4，然后代入x＝﹣4和x＝1，求得函数值，即可求得最小值．【详解】解：（1）∵直线y2＝﹣2x+m经过点B（2，﹣3），∴﹣3＝﹣2×2+m．∴m＝1．∵直线y2＝﹣2x+m经过点A（﹣2，n），∴n＝4+1＝5；∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，则5=42342b cb c-+⎧⎨-=++⎩，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，∴y1＝x2﹣2x﹣3；（2）y2﹣y1＝﹣2x+1﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+4，∴y2﹣y1的最大值是4，代入x＝﹣4得y2﹣y1＝﹣12，代入x＝1得y2﹣y1＝3，∴若﹣4≤x≤1，y2﹣y1的最小值为﹣12．故答案为﹣12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．（1）k，m的值为﹣2、2；（2）2≤n≤103，且n≠83【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y＝kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【详解】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣1中，得m＝3﹣1＝2，∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，解得，k＝﹣2；答：k，m的值为﹣2、2；（2）由（1）知，直线y＝kx+8为y＝﹣2x+8，根据题意，如图：∵点P（n，n），∴M（n﹣1，n），N（n，﹣2n+8），∴PM＝1，PN＝|3n﹣8|，∵PN≤2PM，∴|3n﹣8|≤2×1，∴2≤n≤10 3∵P与N不重合，∴n≠﹣2n+8，∴n≠83，综上，2≤n≤103，且n≠83；故答案为：2≤n≤103，且n≠83．【点睛】本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n的代数式表示PM与PN的长度．26．（1）x≠2；（2）4；（3）见解析；（4）y轴，y＝x【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x＝3代入函数解析式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；（2）当x＝3时，m＝132+3＝1+3＝4，即m的值为4，故答案为4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝x越来越靠近而永不相交．故答案为：y轴，y＝x．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．27．（1（2）AE2+BF2＝EF2，证明见解析【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【详解】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝12 BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝12 BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF=（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，AED BMDADE BDM AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．28．（1）①(0，2)；② n（2）﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4【分析】（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案为：（0，2）．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=，观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C1），∴CHOH ＝1，∴tan ∠COH＝CH EH=， ∴∠COH ＝60°，当⊙B 经过原点时，B （﹣2，0），此时t ＝﹣4，∵射线OC 上只存在一个线段AB 关于射线OC 的等腰点，∴射线OC 与⊙A ，⊙B 只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A 在原点时，∵∠POB ＝30°，此时两圆的交点P 在射线OC 上，满足条件，此时t ＝0，如图3﹣3中，当⊙B 与OC 相切于P 时，连接BP ．∴OC 是⊙B 的切线，∴OP ⊥BP ，∴∠OPB ＝90°，∵BP ＝2，∠POB ＝30°，∴OB ＝241cos602PB ==︒，此时t ＝4﹣2＝2，如图3﹣4中，当⊙A 与OC 相切时，同法可得OA ＝4，此时t ＝4，此时符合题意．如图3﹣5中，当⊙A经过原点时，A（2，0），此时t＝2，观察图形可知，满足条件的t的值为：2＜t≤4，综上所述，满足条件t的值为﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4．故答案为：﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB关于射线OC的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。
_2020—2021 学年度第一学期北京市第一七一中学九年级数学期中试卷 (无答案)
北京市第一七一中学2020—2021 学年度第一学期初三期中数学试卷2020.11（考试时间∶120分钟总分∶100 分）一、选择题（本题共 16 分，每小题2 分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A. 23B.12C.25D.133.点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A. y1>y2B. y1=y2C. y1＜ y2D. 不能确定K.4抛物线y=（x-4）2 －5的顶点坐标和开口方向分别是（）A. （4，-5），开口向上B.（4，-5），开口向下C. （-4，-5），开口向上D.（-4，-5），开口向下5.圆心角为60°，且半径为 12 的扇形的面积等于（）A.48πB. 2πC.4πD.2π6.如图，AB是O的直径，CD是O的弦，如果∠ ACD=34°，那么∠ BAD 等于（）A. 34°B. 46°C. 56°D.66°6题图 8题图7.如果函数y=x²＋4x-m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A. m≤4B. m<4C. m≥－4D. m>－4。
8.如图，抛物线y=ax²＋bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax²+ bx-8=0（a ≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A. -4B. -2C. 1D. 3二、填空题（本题共16 分，每小题2分）9. 方程x²=x的解为。
10.若抛物线y=x2-2x+m顶点在x轴，则m= 。
11.请写出一个图象在二，四象根的反比例函数的表达式。
12.某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800粒稻种进行实验，实验的结果如下表所示∶12题 14题图在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率是，（精确到0.01）;如果该农场搭种了此稻种2，那么能发芽的大约有万粒。
北京市第一七一中学2020—2021学年度第一学期九年级数学上册第二次月考试卷
北京市第一七一中学2020—2021学年度第一学期初三月考数学试卷（考试时间：120分钟 总分：100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1.若关于x 的方程(m-1)x 2+mx-1=0是一元二次方程,则m 的取值范围是（ ） A .m ≠1B .m=1C .m ≥1D .m ≠02.用配方法解关于x 的一元二次方程x 2-2x-5=0,配方正确的是（ ） A .(x-1) 2=4B .(x+1) 2=4C .(x+1) 2=6D .(x-1) 2=63.方程x 2-x+3=0的实数根的情况是（ ）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .只有一个实数根．4.随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图的是（ ）ABCD5.如图， AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ， 若∠A ＝20°，则∠COD 的度数为（ ）A ．40°B ． 60°C ．80°D ．100°6.已知圆锥的底面积为9π cm 2,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积是（ ） A .18π cm 2B .27π cm 2C .18 cm 2D .27 cm 27.已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数2=(2)y x k --+的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1其部分图象8.抛物线2y ax bx c=++经过点（1，0），且对称轴为直线1x=-，如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②20a b+=；③9a-3b+c=0；④若，则1x m=-时的函数值小于1x n=-时的函数值．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．②③D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC=2∠AOB，如果∠BAC=40°，那么∠ACB的度数是．10.已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数表达式_______．11.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(a,3),点B的坐标为(4,b),若点A与点B关于原点O对称,则ab=.12.关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根.则m的取值范围______13．如图，P A，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，P A＝6，则弧BC的长为__________．14.如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=23°,则∠OCB=°.15.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠A=80°,则∠BOC的度数为__________．第9题第13题第14题第15题m n>>16.如图,P为正方形ABCD内一点,且BP=2,PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP'B,连接PP',则AP=.三、解答题(本题共68分，第17、19、21、26题6分，18、20、22、23、24、25题，每小题5分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、或证明过程.17.解下列方程:（1）3x2-5x+1=0; （2）(y+1)(y-1)=2y-1.18.如图AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若EB=9,AE=1,求弦CD的长19.下表给出一个二次函数的一些取值情况:x…0 1 2 3 4 …y… 3 0 -1 0 3 …（1）求这个二次函数的解析式;（2）在直角坐标系中画出这个二次函数的图象; （3）根据图象说明:当x取何值时,y的值大于020.关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.（1）求证:方程总有两个实数根;yx–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O（2）若方程有一根大于3,求m的取值范围21.如图正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,在平面直角坐标系中,△OAB的三个顶点O(0,0)，A(4,1)，B(4,4)均在格点上.（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标;（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标.（3）在旋转过程中线段OA所扫过部分的面积22.下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线P A和直线PB，使P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于12OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线P A和直线PB.所以直线P A和PB就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明。
北京—零一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)
北京101中学2021届上学期初中九年级12月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 若点(,)A a b 在双曲线3y x=上，则代数式8ab -的值为（ ）A. －12B. －7C. －5D. 5【答案】C【解析】【分析】把A 点坐标代入反比例函数解析式即可求出ab 的值．【详解】解：把(,)A a b 代入3y x =得，ab =3，8385ab -=-=-，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．3. 方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．【详解】解：∵Δ=（-3）2-4×1×(-1)=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4. 如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC，若2,3,3===，则BC的长度是AE CE AD（）A. 2B. 3C. 4D. 92【答案】D【解析】【分析】由平行得到△BCE ∽△DAE ，然后得到对应边的比例关系，求解即可．【详解】∵AD ∥BC∴△BCE ∽△DAE ∴BC CEAD AE=∴39322CE BC AD AE =×=´=故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由相似得到比例关系是解题的关键．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝10，AC ＝CD ＝5，则∠ABD 的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】【分析】连接OC 、OD ，证出△AOC 和△COD 是等边三角形，得∠AOC ＝∠COD ＝60°，则∠AOD ＝120°，由圆周角定理得出∠ABD ＝12∠AOD ＝60°即可．【详解】解：连接OC 、OD ，如图所示：∵OC ＝OD ＝OA ＝12AB ＝5，AC ＝CD ＝5，∴OA ＝AC ＝OC ＝CD ＝OD ，∴△AOC 和△COD 是等边三角形，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝60°＋60°＝120°，∴∠ABD ＝12∠AOD ＝60°；故选：D ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角为圆心角的一半是关键．6. 已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）A. ⊙O的内部B. ⊙O的外部C. ⊙O上或⊙O的内部D. ⊙O上或⊙O的外部【答案】B【解析】【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径4的大小，若d﹥4，则点P在⊙O的外部，若d﹤4，则点P在⊙O的内部，若d=4，则点P在⊙O上，即可解答．【详解】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），∴d=5，∵d=5﹥4，∴点P在⊙O的外部，故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．7. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OB=，则线段BP的长为（）Ð=°，430PA. 4B. 43C. 8D. 12【答案】A【解析】【分析】要求BP，由BP在OP上，OB=4已知只要求出OP，需和切线结合，为此连OA，构成直角三角形，由OA为半径，30Ð=°，利用30º角所对直角边等于斜边的一半，可P求OP即可．【详解】连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90º，Q,OB=4∴OA=OB=4，在Rt△OAP中，∵30Ð=°，，P∴OP=2OA=8，BP=OP-OB=8-4=4．故选择：A．【点睛】本题考查圆外一点到圆的距离问题，关键是切点与圆心紧紧相连，构成半径，切线长，连心线组成直角三角形解决问题，掌握切线的性质，30º直角三角形的性质．8. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A. πcmB. 2πcmC. 3πcmD. 4πcm【答案】B【解析】【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为滑轮转过的弧长，利用弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意得：滑轮转过的弧长()3610=2cm 180p p ´则重物上升了2πcm ，故选：B ．【点睛】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．9. 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质可得BC ＝BP ＝BA ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，由外角的性质可求∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【详解】解：∵将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，∴BC ＝BP ＝BA ，∴∠BCP ＝∠BPC ，∠BP A ＝∠BAP ，∵∠CBP +∠BCP +∠BPC ＝180°，∠ABP +∠BAP +∠BP A ＝180°，∠ABP +∠CBP ＝90°，∴∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，∵∠CP A ＝∠AHC +∠P AH ＝135°，∴∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH 的度数是定值，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y x =-与双曲线k y x=交于A 、B 两点，P 是以点(2,2)C 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）A. 12- B. 32- C. 2- D. 14-【答案】A【解析】【分析】连接BP ，证得OQ 是△ABP 的中位线，当P 、C 、B 三点共线时PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标为（x ，-x ），根据点(2,2)C ，可利用勾股定理求出B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k 的值．【详解】解：连接BP ，∵直线y x =-与双曲线k y x=的图形均关于直线y=x 对称，∴OA=OB ，∵点Q 是AP 的中点，点O 是AB 的中点∴OQ 是△ABP 的中位线，当OQ 的长度最大时，即PB 的长度最大，∵PB≤PC+BC ，当三点共线时PB 长度最大，∴当P 、C 、B 三点共线时PB=2OQ=4，∵PC=1，∴BC=3，设B 点的坐标为（x ，-x ），则3=，解得12,22x x ==-（舍去）故B 点坐标为,22æö-ç÷ç÷èø，代入k y x =中可得：12k =-，故答案为：A ．【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）11. 若关于x 的方程230x bx a ++=有一个根为－1，则3a b -的值为______．【答案】-1【解析】【分析】把-1代入原方程即可．【详解】解：把x= -1代入230x bx a ++=得，130b a -+=，31a b -=-，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是理解方程根的意义，把未知数的值代入原方程．12. 已知反比例函数1k y x-=的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k 的值______．【答案】0（答案不唯一，满足k<1即可）．【解析】【分析】根据反比例函数的性质得到k-1＜0，然后取k <1即可得到满足条件的k 的值．【详解】解：∵反比例函数1k y x-=的图象在第二、四象限，∴k-1＜0，∴k<1故k=0故答案为：0（答案不唯一，满足k<1即可）．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=k x（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．13. 如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A 落在⊙O 上，边AB 、AC 分别与⊙O交于点D、E，则∠DOE的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】根据圆周角定理解决问题即可，同弧所对圆心角是圆周角的两倍；【详解】∵∠BAC=30°，∴∠DOE=2∠BAC=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，Q拱桥半径OC为5cm，5OA\=cm，8CD=Q m，853OD\=-=cm，224AD OA OD\=-==m2248AB AD\==´=m，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点B在y轴上,AB AO= ,反比例函数()ky xx=>的图象经过点A,若ABOV的面积为2,则k的值为.__________．【答案】2【解析】【分析】过点A作AD⊥y轴于点D,结合等腰三角形的性质得到△AD O的面积为1,所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值.【详解】如图，过点A作AD⊥y轴于点D∵AB=A O,△AB O 的面积是2，∴11||122ADOABO SS k \===V V 又反比例函数的图像位于第一象限，k ＞0，则k=2.故答案是2【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，作出辅助线构建三角形是解决本题的关键.16. 一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为________．【答案】6【解析】【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．【详解】设底面圆半径为r ，则2πr=12π，化简得r=6．故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．17. 已知抛物线22(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧）两点，且对称轴为=1x -，则（1）m 的值为________；（2）当0y >时，x 的取值范围是_______．【答案】 ①. -1 . ②3x <-或1x >【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴公式2b x a=-，代入求值即可；（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标，再根据图象确定取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴为=1x -，∴2(2)12m +-=-，解得，m=-1，∴抛物线解析式为：223y x x =+-，当y=0时，2023x x =+-，解得，121,3x x ==-，抛物线图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是3x <-或1x >，故答案为：-1，3x <-或1x >．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟知抛物线对称轴公式，树立数形结合思想，根据图象判断取值范围．18. 如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，则ABC D 的内切圆半径为________．【答案】2【解析】【分析】先由勾股定理求出AB 的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF 是正方形，然后利用切线长定理求得半径r 即可．【详解】如图，∵在Rt ABC D ，90C Ð=°，6AC =，8BC =∴由勾股定理得：2210AB AC BC =+=，∵圆O 为ABC D 的内切圆，∴OE OF =，90OEC OFC C Ð=Ð=Ð=°；\四边形OECF 是正方形；由切线长定理，得：AD AF =，BD BE =，CE CF =；1()2CE CF AC BC AB \==+-，即：1(6810)22r =+-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．19. 在平面直角坐标系xOy 中，函数1()y x x m =<的图象与函数22()y x x m =³的图象组成图形G ，对于任意实数n ，过点(0,)P n 且与x 轴平行的直线总与图形G 有公共点，则实数m 的取值范围是_______．【答案】01m ££【解析】【分析】首先理解题意，任意一条平行于x 轴的直线都能与指定区间的两个图象构成的新图形G 有交点，先求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．【详解】解：由 2y xy x =ìí=î解得00x y =ìí=î 或11x y =ìí=î ，∴函数y 1＝x 的图象与函数y 2＝x 2的图象的交点为（0，0）和（1，1），∵函数y 1＝x （x ＜m ）的图象与函数y 2＝x 2（x≥m ）的图象组成图形G ．由图象可知，对于任意实数n ，过点P （0，n ）且与x 轴平行的直线总与图形G 有公共点，则0≤m≤1，故答案为：0≤m≤1．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，理解题意，求得交点坐标是解题的关键．20. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3．（1）记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_____；（2）记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则123,,p p p 中最大的是_____．【答案】 ①. 1Q . ②2p【解析】【分析】（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i ＝A i 的综坐标+B i 的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【详解】解：（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1＝A 1的纵坐标+B 1的纵坐标；Q 2＝A 2的纵坐标+B 2的纵坐标，Q 3＝A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1，（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率，故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2故答案为：Q 1，p 2【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题（本题共50分，第21题6分，第22~23题，每小题5分；第24~25题，每小题6分；第26~27题，每小题7分，第28题8分）21. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC 即为所求；（2）证明：∵BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．22. 如图，一次函数12y x =-+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为(2,)n n -．（1）求出n 的值，并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x n <时，2y 的取值范围．【答案】（1）82,n y x==-；（2）24y <-或20y >．【解析】【分析】（1）把B 的坐标代入12y x =-+ 求出n 的值，得出B(4，-2)，再代入2=k y x即可求得k 的值；（2）根据函数图象即可求得2y 的取值范围；【详解】（1）∵B(2n ，-n)在12y x =-+上∴将点B 的坐标代入得-n=-2n+2，得n=2， ∴点B(4，-2)将点B(4，-2)代入2=k y x得：k=()42=8´--，∴28y =x-，（2）把x=2代入28y =x -，得28y ==42--，∴ 由图象可知，当x ＜2时，2y 的取值范围为2y ＞0或2y ＜-4；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力；23. 有这样一个问题：探究函数12y x x =+-的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数12y x x =+-的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数12y x x =+-中自变量x 的取值范围是______；（2）下表是y 与x 的几组对应值，请直接写出m 的值______；（）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_____；②该函数的图象与直线x ＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____越来越靠近而永不相交．【答案】（1）2x ¹；（2）4m =；（3）见解析；（4）①（2，2）；② y x =．【解析】【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x=3代入函数解析式中求出m 值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；②观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）由题意得：x-2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；+3=1+3=4，（2）当x=3时，m=1-32故答案为4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）．故答案为（2，2）；②该函数的图象与过点（2，0y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=x越来越靠近而永不相交．故答案为y=x．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．24. 如图，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC 相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE AF=；（2）若10AC=，求BE的长．AE=，8【答案】（1）见解析；（2）10BE=．3【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥A C，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论；【详解】（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D∴OD⊥BC ，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，Q，OE OD=∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE AF=，（2）∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴BO OD AB AC=，∵10AE =，AC=8，即55108BE BE +=+，∴103BE =．【点睛】本题考查的切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键；25. 如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x 轴垂直于底线），求球运动的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式（不必写出x 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P （如图1，点P 距底线1m ，边线0.5m ），问发球点O 在底线上的哪个位置？（参取1.4）【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【解析】【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ （2）当y＝0时，y＝﹣150＝8.4，即可求解．＝【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣150（x﹣7）2+2.88；故抛物线的表达式为：y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝9时，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，当x＝18时，y＝﹣150故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），当y＝0时，y＝﹣150∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝62＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.26. 已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y＝x2+mx+n的图象在点B、C之间的部分（包含点B、C）记为图象G．已知直线l：y＝kx﹣2k+2总位于图象G的上方，请直接写出k的取值范围；（3）如果点P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2+mx+n的图象上，且x1＜x2，PQ＝2a，求x12﹣ax2+6a+4的值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k＜﹣1；（3）8．2【解析】【分析】（1）代入点A(1,0)和D(4,3)，可求得m、n的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l；y=kx−2k+2=k（x−2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B、C的坐标，可求得k的值，要使直线l；y=kx−2k+2总位于图象G的上方，则k的取值范围，即为分别代入点B、C的坐标所求得的k的值之间的部分．（3）由二次函数243=-+的对称轴是直线x=2，点P(x1，c)和点Q(x2，c)在函数y x x2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-ìí+=-î，解得43m n =-ìí=î．故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3，则函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝2，当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1，故顶点坐标为：（2，﹣1）；（2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，解得y ＝3，令y ＝x 2﹣4x +3＝0，解得x ＝1或3，则C 的坐标是（0，3），点B （3，0），∵y ＝kx ﹣2k +2＝k （x ﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M ，当直线过点C 、M 或过B 、M 时，都符合要求，将点C 的坐标代入y ＝kx ﹣2k +2，即3＝﹣2k +2，解得k ＝﹣12；将点B 的坐标代入3＝kx ﹣2k +2，即0＝3k ﹣2k +2，解得k ＝﹣2；故﹣2＜k ＜﹣12，故答案为：﹣2＜k ＜﹣12；（3）∵P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2﹣4x +3的图象上，∴PQ //x 轴，∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3的对称轴是直线x ＝2，又∵x 1＜x 2，PQ ＝2a ，∴x 1＝2﹣a ，x 2＝2+a ，∴x 12﹣2x 2+6a +4＝（2﹣a ）2﹣a （2+a ）+6a +4＝8．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．27. 如图①，在等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝3，在边AB 上取一点D （点D 不与点A ，B 重合），在边AC 上取一点E ，使AE ＝AD ，连接DE. 把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转(0360)a a °<<°，如图②．（1）请你在图②中，连接CE 和BD ，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图③中，画出当a ＝45°时的图形，连接CE 和BE ，求出此时△CBE 的面积；（3）若2AD =，点M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM 的最大值：_______．【答案】（1）CE BD =；理由见解析；（2）92CBE SD =；（3）322+【解析】【分析】（1）如图1中，连接EC 、BD ，结论：BD=CE ，证明△AEC ≌△ADB （SAS ），即可解决问题；（2）证明：AE∥BC，推出△CBE的面积与△ABC的面积相等，即可解决问题；（3）如图3中，延长AM到N，使得MN=AM，连接CN、DM，求出AM的取值范围即可解决问题；【详解】（1）CE BD=；理由：连接CE和BD，如图1所示，由题意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，又∵,==，AE AD AC AB∴△AEC≌△ADB（SAS），∴CE BD=；（2）当a＝45°时，连接CE和BE，如图2所示，aQ＝45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EAC＝45°，∵AC=AB，∠CAB=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AE∥BC，∴△CBE的面积与△ABC的面积相等，∵△ABC 的面积=133=4.52´´ ，∴△CBE 的面积=4.5．（3）如图3中，延长AM 到N ，使得MN=AM ，连接CN 、DM ，∵AM=MN ，CM=MD ，∴四边形ADNC 是平行四边形，∴，∵AC=3，∴33AN ££+，∴323AM ££+，∴3322AM +££ ，∴AM 的最大值为32+．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识；解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题；28. 等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，给出如下定义：设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，满足r d R ££的点叫做等边三角形的“环中心点”．在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为(0,2),(3,1),1)A B C ---．（1）已知点1(2,2),(,1)2D E F --，在点D 、E 、F 中，是等边△ABC 的“环中心点”的是：________；（2）如图，①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使∠AMO ＝30°，若线段AM 上存在等边△ABC 的“环中心点”P （,m n ），求m 的取值范围；②与①中AM 平行的直线l 与x 轴、y 轴分别交于点(,0)T t 、(0,)S s ，请直接写出：当s 满足什么条件时，线段TS 上总存在等边△ABC 的“环中心点”： ________．【答案】（1）E ，F ；（2）①03m ££； ②-3≤s≤2．【解析】【分析】（1）根据中心关联点的定义，求出R 、r 、d 即可判断；（2）①由题意可知，点E 在直线AM 上，当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点；②设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，求出OG 即可判断．【详解】解：（1）由题意R ＝2，r ＝1，点O 是△ABC 的中心，∵1(2,2),(,1)2D E F --，∴OD ＝，OE ＝2，OF ，222OD OE OF =>==Q ，，<2，∴点E 、F 是△ABC 的中心关联点，故答案为E ，F ；（2）①如图1中，依题意(0,2),A M ，可求得直线AM 的解析式为323y x =-+经验证E 在直线AM 因为2OE OA ==，∠MAO ＝60°，所以△OAE 为等边三角形，所以AE当点P 在AE2OP ££，所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的环中心点，所以0m ££②如图2中，设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，在Rt △OHG 中，OH ＝2，∠HOG ＝30°，则cos30°＝22OHOG OG == ，∴OG=43，3≤s≤2，∴满足条件的s的值为-3≤s≤2．故答案为：-3【点睛】本题考查圆综合题、等边三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理、一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
北京市第一七一中学 2020—2021 学年九年级上学期第三次月考数学试题(Word学生考试版)
北京市第一七一中学2020-2021学年度第一学期初三月考数学试卷 2020．12一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1. 下列图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D.2. 如图，在⊙O 中，∠BOC=100°，则∠A 等于（ ）A. 100°B. 50°C. 40°D. 25° 3. 将抛物线2y x 沿y 轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为 （ ） A. 22y x =+ B. 22y x =- C. ()22y x =+ D. ()22y x =- 4. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．若AB=4，CD=1，则⊙O 的半径为（ ）A. 5B. 5C. 3D. 525. 已知，点()12,A y 、()2,B m y 是反比例函数(0)k y k x=>的图象上的两点，且12y y <．满足条件的m值可以是（ ）A. -6B. -1C. 1D. 36. 如图，将ABO 的三边扩大一倍得到CED （顶点均在格点上），它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是（ ）A. (0,3)B. (3,3)C. (0,2)D. (0,3)-7. 如图，在ABC ∆中，090BAC ∠=，4AB AC ==，以点C 为中心，把ABC ∆逆时针旋转045，得到''A B C ∆，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2B. 2πC. 4D. 4π8. 如图1，点P 从△ABC 的顶点A 出发，沿A ﹣B ﹣C 匀速运动，到点C 停止运动．点P 运动时，线段AP 的长度y 与运动时间x 的函数关系如图2所示，其中D 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A. 10B. 12C. 20D. 24二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 一元二次方程2230x x --=的解是__________．10. 如图，DE 是△ABC 的中位线，若△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为__________．11. 已知函数图象经过点(1,2)，且当0x >的时候，函数值y 随x 的增大而减小，写出符合条件的一个函数表达式______．12. 小慧要测量校园内大树高AB.她运用物理课上学习的“光在反射时，入射角等于反射角”的知识解决了问题.如图，在水平地面上E 点处放一面平面镜，镜子与大树的距离EA=8米.小慧沿着AE 的方向走到C 点时，她刚好能从镜子中看到大树的顶端B.已知CE=2米，小慧的眼睛距地面的高度DC=1.5米.则该棵大树的高度AB=______米.13. 如图，PA 和PB 是O 的切线，点A 和点B 为切点，AC 是O 的直径．已知50P ∠=︒，那么ACB ∠的大小是______°．14. 如图，正方形ABCD 边长为2，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为______．15. 如图，90ABC ∠=︒，2AB =，8BC =，射线CD BC ⊥于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD上一点，且满足90AEF ∠=︒．当BE 的长为______时，CF 有最大值．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y =上的一个动点，P 的半径为1，直线OQ 切P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为______．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题，6分，第23-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、或证明过程．17. 下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ．求作：A ∠，使得30A ∠=︒．作法：如图，（1）作射线AB ；（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；（3）以C 为圆心，OC 为半径作弧，与O 交于点D ，作射线AD ．证明：连接CD ，OD （补全图．．．） AC 为O 直径，90ADC ∴∠=︒，（ ）（填理由依据）OD OC CD ==，ODC ∴为等边三角形，60DOC ∴∠=︒，30A ∴∠=︒．（ ）（填理由依据）18. 如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD=∠ABC ，若AC=3，AD=1，求DB 的长．19. 党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中： “富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ；(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率(卡片名称可用字母表示)．20. 已知关于x 的一元二次方程2(5)360x k x k -+++=.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于2-且小于0，k 为整数，求k值.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形ABCD 的顶点均在坐标轴上，点A 坐标为(0,22)．（1）如果反比例函数k y x=的图象经过线段AB 的中点，求这个反比例函数的表达式； （2）如果反比例函数k y x =的图象与正方形ABCD 有公共点，请直接写出k 的取值范围． 22. 如图，B 是O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交O 于点C ，D ，连接OD ，E 是O 上一点，CE CA =，过点C 作O 的切线l ，连接OE 并延长交直线l 于点F.（1）①依题意补全图形.②求证：∠OFC=∠ODC.（2）连接FB ，若B 是OA 的中点，O 的半径是4，求FB 的长.23. 在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x =1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围； （3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.24. 已知∠MON ＝120°，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA ＝OB ，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA ．将射线CA 绕点C 逆时针旋转120°得到射线CA ′，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150°与射线CA ′交于点D ．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC ＝∠DCB ；②CD ＝CA （提示：可以在OA 上截取OE ＝OC ，连接CE ）；（3）点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH ＝2∠DAH ，写出你的猜想并证明．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60180MPN ︒︒≤∠<，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以3(0)m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．。
北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题数学一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）2．（3分）如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝70°，则∠ACB的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°4．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．6．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣37．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°8．（3分）已知：A、B、C是⊙O上的三个点，且∠AOB＝60°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．120°C．150°D．30°或 150°9．（3分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°10．（3分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）若将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是．12．（2分）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）13．（2分）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是24π，扇形的圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，AB．若OA＝1，∠APB ＝60°，则△PAB的周长为．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），点B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＜mx+n的解集为．16．（2分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．17．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c＝m（a≠0，m为常数且m≤4）的两根之和为．18．（2分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为．三、解答题（19-25每题5分，26题7分，27、28每题6分，共54分）19．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．22．（5分）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m经过原点，求m的值．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B的坐标及m的值；（2）画出函数的图象；（3）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围．24．（5分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）求⊙O的半径长．（3）求线段EF的长．25．（5分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣3﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y…﹣2﹣m 2 1 2 1﹣﹣2 …其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出：①该函数的一条性质；②直线y＝kx+b经过点（﹣1，2），若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是．26．（7分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？小明同学，为了完成以上问题，小明分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况，下面是小明的思路，请你帮助小明完善以下内容：（1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为；其中x的取值范围是；在涨价的情况下，定价元时，利润最大，最大利润是．（2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？（3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？27．（6分）已知：△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F．（1）若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；②如图2，连结EF，若EF∥AB，求线段EF的长；③请写出求线段EF长度最小值的思路．（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是．28．（6分）已知⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点P'在射线CP上，满足CP'•CP＝r2，则称点P'是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点P'的示意图．（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为6，⊙O与x轴的正半轴交于点A．①如图2，∠AOB＝135°，OB＝18，若点A'，B'分别是点A，B关于⊙O的反演点，则点A'的坐标是，点B'的坐标是；②如图3，点P关于⊙O的反演点为点P'，点P'在正比例函数y＝x位于第一象限内的图象上，△P'OA的面积为6，求点P的坐标；（2）点P是二次函数y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤4）的图象上的动点，以O为圆心，OP为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点P'的坐标是（m，n），请直接写出n的取值范围．北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣1是抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．2．【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．3．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB，即可计算出∠ACB．【解答】解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．4．【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．5．【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．6．【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．【分析】根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°∴∠BOE＝3∠BOC＝120°∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°故选：B．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．8．【分析】本题有两种情况，一种情况是点C位于优弧AB上，此时根据圆周角定理可知∠ACB＝∠AOB＝30°，当点C位于劣弧AB上，此时∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝150°，即可得出∠ACB的度数．【解答】解：如图1，当点C位于弧AB上时，∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°；如图2，当点C位于劣弧AB上，∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．9．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN∵∠AQP+∠PAQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．10．【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；【解答】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．【点评】本题考查一元二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）11．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，函数y＝﹣x2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的图象的函数关系式是：y＝﹣（x+3）2﹣2．故答案为：y＝﹣（x+3）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解：当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．13．【分析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可．【解答】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．由题意，＝24π，解得r＝12或﹣12（舍弃），∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，∴＝2•π•R，∴R＝2，故答案为：2．【点评】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．【分析】根据切线长定理和切线的性质得PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB，则∠APO＝∠APB＝30°，△PAB为等边三角形，然后计算出PA，从而得到△PAB的周长．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠APB＝30°，△PAB为等边三角形，在Rt△OAP中，∵∠APO＝30°，∴PA＝OA＝，∴△PAB的周长＝3PA＝3．故答案为3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等边三角形的判定与性质．15．【分析】将不等式ax2+bx＜mx+n的解集问题转化为直线与抛物线函数图象上点的特点求解即可．【解答】解：设y1＝ax2+bx，y2＝mx+n，则ax2+bx＜mx+n即为y1＜y2，∵直线与抛物线交点为结合函数图象可知A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴x＜﹣3或x＞1，故答案为x＜﹣3或x＞1．【点评】本题考查二次函数与不等式；将所求不等式问题转为函数图象，利用函数图象上点的特点求解不等式是解题的关键．16．【分析】先根据AB＝CD．C是的中点，得到＝＝，再由圆周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD ＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．【点评】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．【分析】利用函数图象得到抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣3，x2＝1，则根据根与系数的关系得到＝2，然后求一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的两根之和．【解答】解：∵抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣3，x2＝1，∴﹣3+1＝﹣，即＝2，∴一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的两根之和＝﹣＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．18．【分析】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．【解答】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，解得：n＝﹣3或n＝6，故答案为：﹣3或6．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点P的坐标．三、解答题（19-25每题5分，26题7分，27、28每题6分，共54分）19．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为x．∵直径AB⊥弦CD，∴，在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键．21．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得出∠ADE＝∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB＝AE+BE即可求出AB的长度．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°．∵∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝，∴AB＝AE+BE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE的长度．22．【分析】（1）根据二次函数的根的判别式△＝b2﹣4ac的符号来判断方程的根的情况；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，即可求解．【解答】解：（1）由题意有△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝1＞0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，解得m＝0或1．【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点、根与系数的关系等，熟练掌握根的判别式是解题的关键．23．【分析】（1）先把A点坐标代入mx2﹣2mx﹣3＝0求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；（3）先计算x＝﹣2时，y＝5，然后利用图象写出对应的y的范围．【解答】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以B点坐标为（﹣1，0）；（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），如图，（3）当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．24．【分析】（1）利用切线的性质得出∠OCD＝∠OCB，再根据直角三角形两锐角互余，对顶角、等量代换可得答案；（2）利用勾股定理求出BE，再根据勾股定理列方程可求出半径；（3）根据勾股定理求出OC，OE，再根据相似三角形的性质求出EF．【解答】解：（1）∵CB，CD是⊙O的切线，∴CB＝CD，∠ODC＝∠OBC＝90°，又∵OB＝OD，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠OCD＝∠OCB，又∵EF⊥OG，∴∠EFO＝90°，∴∠OEF+∠EOF＝90°，∵∠BOC+∠BCO＝90°，∠EOF＝∠BOC，∴∠FEB＝∠ECF；（2）在Rt△BCE中，BE＝＝＝8，在Rt△OED中，设OD＝x，则OB＝x，OE＝8﹣x，DE＝EC﹣CD＝10﹣6＝4，由勾股定理得，DE2+OD2＝OE2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴OD＝3，即⊙O的半径为3；（3）由勾股定理得，OE＝＝＝5，OC＝＝＝3，∵∠FEO＝∠DCO，∠EFO＝∠CDO＝90°，∴△EOF∽△COD，∴＝，即：＝，∴EF＝2．【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理、相似三角形等知识，知识的综合应用是本题的显著特点．25．【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少；②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣（﹣2）2+2×|﹣2|+1＝﹣4+4+1＝1．（2）如图所示：（3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称．②由函数图象知：∵关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，∴b的取值范围是1＜b＜2．故答案为：1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．26．【分析】（1）由题意得y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，即可求解；（2）设每件降价x元，则毎星期售出商品的利润w，则w＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，（3）比较（1）、（2）的最大利润即可求解．【解答】解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，∴每星期实际可卖出（300﹣10x）件，则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，而300﹣10x≥0且x≥0，解得0≤x≤30；∵函数的对称轴为x＝﹣＝5，当x＝5时，y的最大值为6250；故答案为：y＝﹣10x2+100x+6000，0≤x≤30，5，6250元；（2）设每件降价x元，则毎星期售出商品的利润w元，则w＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵函数的对称轴为x＝2.5，∴当x＝2.5（元）时，则w＝6125（元）；（3）∵6250＞6125，故当x＝5元时，利润最大，即定价为65元时，利润最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案27．【分析】（1）①先作出CD的垂直平分线，即可作出图形；②先判断出△ABC是直角三角形，即可得出，EF是⊙O的直径，再用平行线的性质和同弧所对的圆周角相等得出∠A＝∠CDF，进而得出∠CFD＝90°，得出判断出CD是直径即可；③利用圆中直径大于等于圆中任何一条弦即可得出CD是直径时，EF最小；（2）先得出CD⊥AB时，CD最小，即：EF最小，最后用面积公式即可求出．【解答】解：（1）①如图1，所示，②如图2，连结CD，FD，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴EF是⊙O的直径，∵D是AB中点，∴DA＝DB＝DC＝5，∴∠B＝∠DCB，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∵∠CDF＝∠CEF，∴∠A＝∠CDF，∵∠A+∠B＝90°，∴∠CDF+∠DCB＝90°，∴∠CFD＝90°，∴CD是⊙O的直径，∴EF＝CD＝5，③由AC2+BC2＝AB2可得∠ACB＝90°，所以，EF是⊙O的直径．由于CD是⊙O的弦，所以，有EF≥CD，所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小，（2）如图3，由（1）③知，CD是⊙O的直径时，EF最小，即：最小值为CD 当点D在边AB上运动时，只有CD⊥AB时，CD最小，由（1）②知，△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝，故答案为：．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了基本作图，直角三角形的判定，圆的性质，三角形的面积公式，判断出CD是直径是EF最小，是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．28．【分析】（1）①根据反演点的定义求出OB′的长即可解决问题．②解法一：过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，求出OF、PF即可解决问题．解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，求出OF、PF即可解决问题．（2）①当点P是抛物线顶点（1，﹣4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．求出点P′的纵坐标即可．②当P点坐标为（4，5）时，求出反演点P'的纵坐标，即可解决问题．【解答】解：（1）如图2中，∵OA•OA′＝62，∴OA′＝6，∴A′（6，0），∵OB•OB′＝62，∴OB′＝2，∵∠AOB＝135°，易知B′（﹣，）．故答案为A'（6，0），B′（﹣，）．②解法一：过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，∵S△OAP′＝•OA•P′E＝6，∴P′E＝2，∵点P'在正比例函数y＝x位于第一象限内的图象上，∴y P′＝2，∴x P'＝2．∴OP'＝4，∠P'OE＝60°．∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴OP'•OP＝62．∴OP＝9．过点P作PF⊥x轴于点F．∴OF＝，PF＝，∴点P的坐标为P（，）．解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，∵点P'在正比例函数y＝位于第一象限内的图象上，∴设点P的坐标为（t，t），其中t＞0．∴tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°，在Rt△OHA中，AH＝OA•sin∠AOH＝3，∵S△OAP′＝•OP′•PAH＝6，∴OP'＝4．∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴OP'•OP＝62．∴OP＝9．过点P作PF⊥x轴于点F．在Rt△OFP中，t2+（t）2＝92，解得t＝或﹣（舍去），∴点P的坐标为P（，）．（2）如图5中，①当点P是抛物线顶点（1，﹣4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．∵OP＝，r＝，∴OP′＝＝，∵PE∥P′F，∴＝＝，∴P′F＝1，∴n＝﹣1，②当P点坐标为（4，5）时，同法可得反演点P'的纵坐标n＝，综上所述，﹣1≤n≤．【点评】本题考查二次函数综合题、圆、勾股定理，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考创新题目．。
北京一零一中学2020-2021学年度第一学期九年级数学阶段性测试试卷
北京一零一中 2020－2021 学年度第一学期阶段性测试初三数学2020.12.08一、选择题：(本大题共10 小题，每题 2 分，共20 分)．1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．若点A（a，b）在双曲线y =3上，则代数式ab - 8 的值为（）xA．-12 B．-7 C．-5 D．53．关于方程x2 - 3x -1= 0 的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．如图，AC 与BD 相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC 的长度是( ) A．2 B．3 C．4 D．925．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 在⊙O 上，且AB＝10，AC＝CD＝5，则∠ABD 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°4 题图5 题图7 题图8 题图6．已知⊙O 的半径是4，点P 到圆心O 的距离d 为方程x2﹣4x﹣5＝0 的一个根，则点P 在（）A．⊙O 的外部B．⊙O 的内部C．⊙O 上或⊙O 的外部D．⊙O 上或⊙O 的内部7．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P = 30︒，OB = 4 ，则线段AP 的长为（）A．4 B．4C．8 D．128．如图，用一个半径为10cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了36°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．4π cm B．3π cm C．2π c m D．π cm考生须知1.本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题。
满分100 分。
考试时间120 分钟。
2.在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
精品解析：北京第一七一中学2020-2021学年九年级上学期八月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年北京171中九年级（上）月考数学试卷（8月份）一、选择题1. 一元二次方程2x 2﹣x ﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A. 2，1，3B. 2，1，﹣3C. 2，﹣1，3D. 2，﹣1，﹣3【答案】D【解析】根据一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.故选D. 2. 平行四边形所具有的性质是（ ）A. 对角线相等B. 邻边互相垂直C. 每条对角线平分一组对角D. 两组对边分别相等 【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．【详解】平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.故选D. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.3. 下图中，不是函数图像的是（ ） A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x的函数，x是自变量．根据函数的定义和函数图象可以判断哪个选项中的图象不是函数图象．【详解】解：由函数的定义可知，对于每一个自变量的x的取值，都有唯一的y值与其对应，选项B中当x 取一个正数时，有两个y值与其对应，故选项B中的图象不是函数图象，而其它选项中，对于每一个自变量的x的取值，都有唯一的y值与其对应，故是函数图象，故选：B．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确函数的定义，利用“一一对应”进行判断．4. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A. y＝6x﹣1B.1yx= C. y＝x2 D.12y x=【答案】D【解析】【分析】利用正比例函数的定义进行分析即可．【详解】解：A、y＝6x﹣1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；B、y＝1x是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；C、y＝x2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；D、y＝﹣12x是正比例函数，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．5. 用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是（ ）A. 2(2)1x -=B. 2(2)7x -=C. 2(2)7x +=D. 2(2)1x +=【答案】C【解析】【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式.【详解】2447x x ++=， ()227x +=.故选：C .【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.6. 一次函数0y kx b kb =+，＜，且y 随x 的增大而增大，则其图象可能是( ) A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而增大，且0kb ＜，判断出k 与b 的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答．【详解】∵一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而增大，∴0k >，∵0kb ＜，∴0b ＜，∴一次函数y kx b =+的图象过一、三、四象限．故答案为：A ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质、一次函数的性质及不等式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数图像和系数的关系．7. 将抛物线2y x 沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 （ ） A. 22y x =+B. 22y x =-C. ()22y x =+D. ()22y x =- 【答案】B【解析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，抛物线y =x 2沿y 轴向下平移2个单位，得 y =x 2-2. 故本题应选B.点睛：本题考查了二次函数图象平移的相关知识. 二次函数图象向上或向下平移时，应将平移量以“上加下减”的方式作为常数项添加到原解析式中；向左或向右平移时，应先以“左加右减”的方式将自变量x 和平移量组成代数式，再用该代数式替换原解析式中的自变量x .8. 点(),P x y 在第一象限，且6x y +=，点A 的坐标为()4,0，设OPA ∆的面积为S ，则下列图像中，能反映S 与x 之间的函数关系式的是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先用x 表示出y ，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵点P(x ，y)在第一象限内，且x+y=6，∴y=6-x （0＜x ＜6，0＜y ＜6）．∵点A 的坐标为(4，0)，∴S=12×4×(6-x)=-2x+12（0＜x ＜6）， ∴B 符合．故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，在解答此题时要注意x ，y 的取值范围．二、填空题9. 方程x 2﹣4＝0的解是_____．【答案】±2 【解析】【分析】首先移项可得x 2＝4，再两边直接开平方即可．【详解】解：x 2﹣4＝0，移项得：x 2＝4，两边直接开平方得：x ＝±2， 故答案为：±2． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，掌握方法是解答此题的关键．10. 写出一个图象开口向上，且经过点()01，的二次函数的解析式：_______．【答案】21y x =+等【解析】【分析】设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，根据开口向上，a ＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．【详解】设二次函数的表达式为2y ax bx c =++(a ≠0)，∵图象为开口向上，且经过(0，1)，∴a ＞0，c=1，∴二次函数表达式可以为：21y x =+(答案不唯一)．故答案为：21y x =+(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a 的符号和c=1是解题关键．11. 若二次函数y ＝2x 2﹣5的图象上有两个点A （2，a ）、B （3，b ），则a _____b （填“＜”或“＝”或“＞”）． 【答案】＜．【解析】【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出a 与b 的大小关系. 【详解】225y x ＝﹣的对称轴为0x =，开口方向向上，顶点坐标为（0，-5）．∵对于开口向上的函数，点距离对称轴越近，函数值越小，2比3距离对称轴更近，∴a b故填：<.【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键.12. 二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是_____．【答案】-2【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知得出最大值即可．【详解】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2中﹣1＜0，∴函数的图象开口向下，函数有最大值，当x＝﹣1时，函数的最大值是﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质—最值问题，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．13. 如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx＋6＞x＋b的解集是_____．【答案】x＜3【解析】【分析】观察函数图象得到当x＜3时，函数y=kx+6的图象都在y=x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b 的解集为x＜3．【详解】由图象可知，当x＜3时，有kx＋6＞x＋b，当x＞3时，有kx＋6＜x＋b，所以，填x＜3【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°．【答案】60°【解析】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△B AE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°.考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质15. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为_____．【答案】±4 3【解析】【分析】根据菱形的性质知AB＝5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答．【详解】解：令y＝0，则x＝﹣4k，即A（﹣4k，0）．令x＝0，则y＝4，即B（0，4）．∵将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，∴AB＝5，则AB2＝25．∴（﹣4k）2+42＝25．解得k＝±43．故答案是：±43．【点睛】考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到AB=5．16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，1），B （1，0）， C （3，1），若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是_____________．【答案】（-2，0）或（4，0）或（2，2）【解析】【分析】分三种情况：①BC 为对角线时，②AB 为对角线时，③AC 为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D 的坐标．【详解】解：分三种情况：①AB 为对角线时，点D 的坐标为（-2，0）；②BC 为对角线时，点D 的坐标为（4，0）；③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，2）.综上所述，点D 的坐标可能是（-2，0）或（4，0）或（2，2）．故答案为（-2，0）或（4，0）或（2，2）．【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 三、解答题17. 解方程：（1）x 2﹣2x ﹣3＝0；（2）2x 2+3x ﹣1＝0．【答案】（1）x 1＝3，x 2＝﹣1；（2）x 1＝34-+，x 2＝34- 【解析】【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可．【详解】解：（1）x 2﹣2x ﹣3＝0，（x ﹣3）（x+1）＝0，∴x ﹣3＝0或x+1＝0，∴x 1＝3，x 2＝﹣1；（2）2x 2+3x ﹣1＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17，∴x＝317 22-±⨯，∴x1＝3+174-，x2＝3174--．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．18. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.已知:如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.求作:四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.作法:①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.根据小丁设计的尺规作图过程.(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明:∴点O为AC的中点，∴AO=CO.又∵DO=BO，∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据).∵∠ABC=90°，∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据).【答案】(1)作图如图所示，见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．【详解】（1）如图，矩形ABCD即为所求．（2）理由：∵点O为AC的中点，∴AO=CO又∵DO=BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．19. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A(1，6)．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）y＝3x+3；（2）3 2【解析】【分析】（1）根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点A（1，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式；（2）先求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，∴k＝3，又∵函数y＝3x+b的图象经过点A（1，6），∴6＝3+b，解得b＝3，∴一次函数的解析式为y＝3x+3；（2）在y＝3x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则x＝﹣1；∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴交于（0，3）和（﹣1，0），∴一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 12×1×3＝32． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及三角形的面积的知识，关键是正确得出函数解析式及坐标与线段长度的转化．20. 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ﹣3＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 是该方程的一个根，求2k 2+6k ﹣5的值．【答案】（1）k≤4；（2）1【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k ﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）利用方程解的定义得到k 2+3k ＝3，再变形得到2k 2+6k ﹣5＝2（k 2+3k ）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）∵2230x x k ++-=有实数根，∴Δ≥0即22﹣4（k ﹣3）≥0.∴k≤4(2)∵k 是方程2230x x k ++-=的一个根，∴2230k k k ++-=∴233k k +=2265k k +-22(3)5k k =+-=1故答案为（1）k≤4；（2）1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 21. 若抛物线y ＝x 2+3x+2a 与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．【答案】98由题意得240b ac ∆=-=，即可求解．【详解】解：根据抛物线与x 轴只有一个交点，得到方程2320x x a ++=有两个相等的实数根， 则2243420b ac a ∆=-=-⨯=，解得98a =． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解求二次函数与x 轴的交点就是求一元二次方程的解．22. 已知点(2，0)在抛物线y ＝﹣3x 2+（k+3）x ﹣k 上，求此抛物线的对称轴．【答案】x ＝32【解析】【分析】根据点（2，0）在抛物线y ＝﹣3x 2+（k+3）x ﹣k 上，可以求得k 的值，然后即可得到该抛物线的对称轴．【详解】解：∵点（2，0）在抛物线y ＝﹣3x 2+（k+3）x ﹣k 上，∴0＝﹣3×22+（k+3）×2﹣k ， 解得，k ＝6，∴抛物线y ＝﹣3x 2+（6+3）x ﹣6＝﹣3x 2+9x ﹣6， ∴该抛物线的对称轴是直线x ＝﹣932(3)2=⨯-， 即此抛物线的对称轴是直线x ＝32． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，∠B ＝60°，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）当AE ＝ cm 时，四边形CEDF 是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）见解析；（2）3.5（1）证△CFG ≌△EDG ，推出FG ＝EG ，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出△MBA ≌△EDC ，推出∠CED ＝∠AMB ＝90°，根据矩形的判定推出即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CF ∥ED ，∴∠FCG ＝∠EDG ，∵G 是CD 的中点，∴CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FCG ≌△EDG （ASA ）∴FG ＝EG ，∵CG ＝DG ，∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）当AE ＝3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B ＝60°，AB ＝3，∴BM ＝1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA ＝∠B ＝60°，DC ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝5，∵AE ＝3.5，∴DE ＝1.5＝BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDA AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC （SAS ），∴∠CED ＝∠AMB ＝90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形，故答案为：3.5．【点睛】本题主要考查平行四边形、矩形的判定及性质、三角形的全等的判定和性质，其中利用三角形的全等证明平行四边形及矩形是解题的关键．24. 抛物线21y x bx c =++与直线y 2＝﹣2x+m 相交于A(﹣2，n)、B(2，﹣3)两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若﹣4≤x≤1，则y 2﹣y 1的最小值为 ．【答案】（1）y 1＝x 2﹣2x ﹣3；（2）﹣12【解析】【分析】（1）把B 的坐标代入直线y 2＝﹣2x+m 求得m 的值，然后代入A （﹣2，n ）求得n 的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得y 2﹣y 1＝﹣x 2+4，然后代入x ＝﹣4和x ＝1，求得函数值，即可求得最小值．【详解】解：（1）∵直线y 2＝﹣2x+m 经过点B （2，﹣3），∴﹣3＝﹣2×2+m ． ∴m ＝1．∵直线y 2＝﹣2x+m 经过点A （﹣2，n ），∴n ＝4+1＝5；∵抛物线y 1＝x 2+bx+c 过点A 和点B ，则5=42342b c b c -+⎧⎨-=++⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴y 1＝x 2﹣2x ﹣3； （2）y 2﹣y 1＝﹣2x+1﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣x 2+4，∴y 2﹣y 1的最大值是4，代入x ＝﹣4得y 2﹣y 1＝﹣12，代入x ＝1得y 2﹣y 1＝3，∴若﹣4≤x≤1，y 2﹣y 1的最小值为﹣12．故答案为﹣12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +8与直线y ＝x ﹣1交于点A (3，m )．（1）求k，m的值；（2）已知点P(n，n)，过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣1交于点M，过点P作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．【答案】（1）k，m的值为﹣2、2；（2）2≤n≤103，且n≠83【解析】【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y＝kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【详解】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣1中，得m＝3﹣1＝2，∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，解得，k＝﹣2；答：k，m值为﹣2、2；（2）由（1）知，直线y＝kx+8为y＝﹣2x+8，根据题意，如图：∵点P（n，n），∴M（n﹣1，n），N（n，﹣2n+8），∴PM＝1，PN＝|3n﹣8|，∵PN≤2PM，∴|3n﹣8|≤2×1，∴2≤n≤10 3∵P与N不重合，∴n≠﹣2n+8，∴n≠83，综上，2≤n≤103，且n≠83；故答案为：2≤n≤103，且n≠83．【点睛】本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n的代数式表示PM与PN的长度．26. 有这样一个问题：探究函数y＝12x-+x的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y＝12x-+x的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝12x-+x中自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x …﹣2 ﹣1 0 1 327494523 4 5 6 …y …﹣94﹣43﹣12﹣12﹣9425492m92163254…则m的值是；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与过点(2，0)且平行于的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．【答案】（1）x≠2；（2）4；（3）见解析；（4）y轴，y＝x【解析】【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x＝3代入函数解析式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；（2）当x＝3时，m＝132+3＝1+3＝4，即m的值为4，故答案为4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝x越来越靠近而永不相交．故答案为：y轴，y＝x．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．27. 在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【答案】（15（2）AE2+BF2＝EF2，证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【详解】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE＝12 BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝12 BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF==（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，△ADE和△BDM中，AED BMDADE BDM AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．28. 在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1)，若射线OC上存在点P，使得ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n＝3，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．【答案】（1）①(0，2)；② n3；（2）﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4【解析】【分析】（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案为：（0，2）．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH＝2222-=-=，OP PH213观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜﹣3．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C31），∴CH3OH＝1，∴tan∠COH＝3 CHEH=，∴∠COH＝60°，当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝30°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝30°，∴OB＝241cos602PB==︒，此时t＝4﹣2＝2，如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA＝4，此时t＝4，此时符合题意．如图3﹣5中，当⊙A经过原点时，A（2，0），此时t＝2，观察图形可知，满足条件的t的值为：2＜t≤4，综上所述，满足条件t的值为﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4．故答案：﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB关于射线OC的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。
北京市第一七一中学 2020—2021 学年度第一学期九年级数学第三次月考试卷
（考试时间：120 分钟 总分：100 分）
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的. 1. 下列图案中，是中心对称图形的为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 如图，在⊙O 中，∠BOC=100°，则∠A 等于（ ）
若 AC = 3 ，AD = 1，求 DB 的长.
B
A D
C 第 18 题图
19. 党的十八大首次提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，
倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观．其中：“富强、民
主、文明、和谐”是国．家．层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社．会．层面的价 值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公．民．个．人．层面的价值准则．
24. 已知∠MON=120°，点 A，B 分别在 ON，OM 边上，且 OA=OB，点 C 在线段 OB 上 （不与点 O，B 重合），连接 CA. 将射线 CA 绕点 C 逆时针旋转 120°得到射线 CA´，将射 线 BO 绕点 B 逆时针旋转 150°与射线 CA´交于点 D.
5/6
(1)根据题意补全图 1； (2)求证：①∠OAC=∠DCB；
线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）
A．10
B．12
C．20
D．24
二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）
A
BP 图1
y
5 4
C
第 8 题图
D
x
图2
A
9. 一元二次方程 x2 -2x-3=0 的解为. NhomakorabeaD
北京市第五十五中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题
例如，已知过点 直线 与 ，其中 ， ， ， ，如图所示，则 ．
请解决下面的问题：
已知 ，其中 ， ， ， ．
（1）当 时，已知 ， 为过点 的直线 ．
①当 时， ________________；当 时， ________________；
A. B. C. D.
【答案】D
4.将 向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5.用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
6.二次函数y＝x2﹣2x，若点A（﹣1，y1），B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
20.如图，在 中， ．将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，连接 ．当 时，求 的度数．
【答案】 ．
21.二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
【答案】(1) ;(2)见解析.
②若 ，结合图象，求 的值；
（2）已知 ， 为过点 的直线，若 有最大值，且最大值为 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）①2； ；② ， ；（2）
④分别连接BC，DC．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
北京101中学2020-2021学年九年级上学期9月月考数学试题
北京101中学2020-2021学年九年级上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国国家航天局2021年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为( ) A ．40.5510⨯B ．35.510⨯C ．25.510⨯D ．25510⨯2．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．||||b a >C ．0b c +<D ．0ab >4．如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A ．115°B ．65°C ．35°D ．25°5．如果2a b +=，那么a b a b b a+--22的值是（ ） A ．2B ．4C ．－2D ．－46．把直线1:32l y x =-向右平移2个单位可以得到直线2l ，要得到直线2l ，也可以把直线1l （ ） A ．向上平移2个单位 B ．向下平移2个单位 C ．向上平移6个单位D ．向下平移6个单位7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线y=-x+3，直线y=4和直线x=1所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为R （2，2），则QP+QR 的最小值为（ ）A B C ．D ．48．“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为,A B 两组，从,A B 组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示A 组的客户，“*”表示B 组的客户． 下列推断不正确的是（ ）A ．A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B 组 B ．A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B 组C ．A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B 组D ．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B 组二、填空题9x 的取值范围是_______． 10．分解因式：34x x -=______．11．一次函数y=-x+2的图像不经过第_______________象限．12．如图，1,2,3∠∠∠均是五边形ABCDE 的外角，//AE BC ，则123∠+∠+∠=_____________°．13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝50°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且∠AFC ＝90°，则∠FAE 的度数为___________°．14．手工课上，老师将同学们分成A ，B 两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A 组同学完成打磨工作，再由B 组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：则这两个模型都制作完成所需的最短时间为__________分钟．15．正方形ABCD 的边长为4，点,M N 在对角线AC 上（可与点,A C 重合），2MN ，点,P Q 在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形PMQN 是平行四边形； ②存在无数个四边形PMQN 是菱形； ③存在无数个四边形PMQN 是矩形； ④至少存在一个四边形PMQN 是正方形． 所有正确结论的序号是_______．三、解答题16．如图所示，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在一个平面上，边AC 与EF 重合，AC ＝12cm ，当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动，当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为____________cm ．1701327-⎛⎫--- ⎪⎝⎭． 18．解分式方程：22x1x 4x 2+=--． 19．下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程： 已知：如图，直线l 和直线l 外一点A 求作：直线AP ，使得AP ∥l 作法：如图①在直线l 上任取一点B （AB 与l 不垂直），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线l 交于点C ．②连接AC ，AB ，延长BA 到点D ； ③作∠DAC 的平分线AP ． 所以直线AP 就是所求作的直线 根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明 证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB （填推理的依据） ∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （填推理的依据） ∴∠DAC ＝2∠ABC∵AP 平分∠DAC ， ∴∠DAC ＝2∠DAP ∴∠DAP ＝∠ABC∴AP ∥l （填推理的依据）20．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB 交BC 于点E ，F 是BD 中点．求证：EF 平分∠BED ．21．已知关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根． （1）求实数a 的取值范围； （2）若a 为正整数，求方程的根．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝k 1x +b 过A （0，﹣3），B （5，2），直线l 2：y ＝k 2x +2．（1）求直线l 1的表达式；（2）当x ≥4时，不等式k 1x +b ＞k 2x +2恒成立，请写出一个满足题意的k 2的值． 23．如图，在△ABC 中，AB AC =，AD 平分∠BAC ，CE ∥AD 且CE AD =． （1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若△ABC 是边长为4的等边三角形，对角线AC ，DE 相交于点O ，在CE 上截取CF ＝CO ，连接OF ，求四边形AOFE 的面积．24．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．（1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？（2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值．25．如图，点P是AB上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0；当点P与点B重合时，y1的值为0，y2的值为6）．小智根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小智的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；经测量m 的值是 （保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm （保留一位小数）． 26．阅读与理解在平面直角坐标系xoy 中，点(,)P x y 经过 τ变换得到点(,)P x y '''，该变换记为()(),','x y x y τ=，其中''x ax byy ax by=+⎧⎨=-⎩(,a b 为常数)．例如，当1a =，且 1b =时，()()()()()2,31213,12131,5τ-=⨯-+⨯⨯--⨯=-． （1） 当1a =，且 2b =-时，(0,1)τ= ； （2） 若(1,2)(0,2)τ=-，则 a = ，b = ；（3） 设点(,)P x y 是直线 2y x =上的任意一点，点P 经过变换 τ得到点(,)P x y '''．若点 P 与点P ' 关于原点对称，求a 和 b 的值．27．已知：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 为线段BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），点B 关于直线AD 的对称点为E ，作射线DE ，过点C 作BC 的垂线，交射线DE 于点F ，连接AE ． （1）依题意补全图形；（2）AE 与DF 的位置关系是_____________；（3）连接AF ，点D 在运动变化的过程中，∠DAF 的度数是否始终保持不变，如果不变请求出其度数，如果变化请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy 中，对任意两点111222(,),(,)P x y P x y ，如果1212x x y y -+-＝d ，则称1P 与2P 互为“d -距点”．例如：点12(3,6),(1,7)P P ，由31d =-＋673-=，可得1P 与2P 互为“3－距点”．（1）在点D （－2，－2），E （5，－1），F （0,4）中，原点O 的“4－距点”是__________（填字母）；（2）已知点A （2，1），点B （0,b ），过点B 平行于x 轴的直线l ．①当b ＝3时，直线l 上的点A 的“2－距点”的坐标为_____________________； ②若直线l 上存在点A 的“2－距点”，在坐标系中画出这些A 的“2－距点”组成的图形，并写出b 的取值范围．参考答案1．B 【分析】根据科学记数法的表示形式对数值进行表示即可． 【详解】解：5500=5.5×103， 故选：B ． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题关键． 2．B 【解析】试题分析：根据内角和定理180°×（n-2）即可求得． 解：180°×（n-2）=720°，解得n=6． 考点：多边形的内角和定理． 3．D 【分析】根据,,a b c 对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：431023,a b c ---＜＜＜＜＜＜＜＜,,0,0,a b c a b b c ab ∴+＜＜＞＞＞∴A 错误，B 错误，C 错误，D 正确．故选D ． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 4．D 【解析】解：∵直线a ∥b ，∴∠1+∠ABC +∠2=180°．又∵BC ⊥AB ，∠1=65°，∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°．故选D ．5．A 【分析】先根据同分母的分式的加减法化简，再把2a b +=代入即可 【详解】解：222222-=-==a+b -b a-b+---a b a b a b a b b a a b a ；当2a b +=时，原式=2 故选：A 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握法则是解题的关键 6．D 【分析】根据图象的平移变换法则：左加右减，上加下减即可解答． 【详解】∵把直线1:32l y x =-向右平移2个单位可以得到直线2l ， ∴直线2l 的解析式为y=3(x-2)-2=3x-2-6，∴要得到直线2l ，也可以把直线1l 向下平移6个单位， 故选：D ． 【点睛】本题考查了图象的平移变换，熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”是解答的关键． 7．A 【解析】试题分析：本题需先根据题意画出图形，再确定出使QP+QR 最小时点Q 所在的位置，然后求出QP+QR 的值即可．试题解析：当点P 在直线y=-x+3和x=1的交点上时，作P 关于x 轴的对称点P′，连接P′R ，交x 轴于点Q ，此时PQ+QR 最小， 连接PR ，∵PR=1，PP′=4∴=∴PQ+QR故选A．考点：一次函数综合题．8．C【分析】方差反应数据的波动程度，平均值容易受到最值影响，中位数需分数据为偶数个和奇数个讨论．【详解】A．由图观察可知，A组的最大值再350km至400km之间，B组最大值再450km以上，故A 正确；B．由图观察可知，A组数据较为集中，B组数据较为分散，所以A组方差小于B组方差，故B正确；C．由图观察可知，A组集中在300km和350km之间的有6人，250km至300km之间1人，200km至250km之间3人；而B组在300km至350km之间有3人，200km至250km之间有2人，低于200km的有3人，由此分析可知，A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值高于B组，故C错误；D．由于本组数据共计20个，采用第10个和第11个的平均数作为中位数，由此观察可知，这两个数在B组，故D正确故选：C．【点睛】熟练掌握平均数，中位数，方差的意义及影响要素是解题的关键．9．x 1≥．【解析】在实数范围内有意义，必须x 10x 1-≥⇒≥．10．x （x +2）（x ﹣2）．【解析】试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．11．三【分析】由题意先根据一次函数y=-x+2中k=-1，b=2判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=-x+2中k=-1＜0，b=2＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故答案为：三．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，注意掌握一次函数y=kx+b （k ≠0）中，当k ＜0，b ＞0时，函数图象经过一、二、四象限．12．180【分析】过点D 作//DF AE 交AB 于F ，使用平行线的性质：两直线平行，同位角，内错角相等，可得答案．【详解】过点D 作//DF AE 交AB 于F∴3EDF ∠=∠∵//AE BC∴//DF BC∴1CDF∠=∠∴1232180EDF CDF︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：180．【点睛】本题考查了行线的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．13．65【分析】根据三角形中位线性质得到DE∥BC，再利用平行线性质得到∠AED=∠ACB=50º，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得△AEF为等腰三角形，进而可求得∠FAE的度数．【详解】∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=50º，∵点E是AC的中点，且∠AFC＝90°，∴EF=AE=CE，∴△AEF为等腰三角形，∴∠FAE=180502-=65º，故答案为：65º．【点睛】本题考查了三角形中位线性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质定理、等腰三角形的判定与性质，是基础性的综合题，熟练掌握这些性质的运用是解答的关键．14．22【分析】根据题意存在两种情况：①A组同学先打磨模型1，再打磨模型2；②A组同学先打磨模型2，再打磨模型1，再根据表中数据计算各自所需时间，进行比较即可解答．【详解】由题意知，存在以下两种情况：①A组同学先打磨模型1，需要9分钟，然后B组同学组装模型1需要5分钟，同时A组同学打磨模型2，还需要1分钟完成，之后B组同学组装模型2需要11分钟，则共用最短时间为9+5+1+11=26分钟；②A组同学先打磨模型2，需要6分钟，然后B组同学组装模型2需要11分钟，同时A组同学打磨模型1完成，之后B组同学组装模型1需要5分钟，则共用最短时间为6+11+5=22分钟，因为26﹥22，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，故答案为：22．【点睛】本题考查了有理数的加法、推理与论证，解答的关键是读懂题意，能利用推理的方法解决问题．15．①②④【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN 是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形PMQN是平行四边形，故①正确；②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形PMQN是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形PMQN是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形PMQN是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形PMQN是正方形；故正确的结论序号是①②④.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键．16．(24-【分析】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得，，cm，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N=D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，【详解】解：∵AC=12cm，∠A=30°，∠DEF=45°∴cm，，cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M∴∠MD'N=90°，且∠E'D'F'=90°∴∠E'D'N=∠F'D'M，且∠D'NE'=∠D'MF'=90°，E'D'=D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N=D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值（）cm∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长=2×（=（）cm故答案为：(24-【点睛】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形等知识，确定点D 的运动轨迹是本题的关键．17．32-【分析】分别进行化简二次根式、零指数幂运算、负整数指数幂运算、绝对值运算，再合并同类项即可解答．【详解】原式＝112- 32=． 【点睛】本题考查了化简二次根式、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，熟练掌握这些知识的运算法则是解答的关键．18．x 3=-【分析】首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出方程的解，最后需要对方程的解进行检验，看是否能使原分式的分母为零.【详解】解：去分母得：()22x x 2x 4++=-， 去括号得：222x 2x x 4++=-，解得：x 3=-．经检验得，x 3=-是原分式方程的根，∴原分式方程的解为x 3=-．【点睛】解分式方程19．(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．20．见解析【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠CBD＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD ＝∠CBD∵DE ∥AB∴∠ABD ＝∠BDE∴∠CBD ＝∠BDEEB ED ∴=∵F 是BD 中点∴EF 平分∠BED ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得到等腰三角形是本题的关键．21．（1）53a ≤；（2）1222x x == 【分析】（1）由关于x 的方程x 2-4x+3a-1=0有两个实数根，根据判别式得到关于a 的不等式，然后解不等式即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）的结果和a 为正整数可求特殊的a 值，然后方程的解就可以求出．【详解】解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，∴2(4)4(31)0a ∆=---≥． 解得53a ≤． ∴a 的取值范围为53a ≤． （2）∵53a ≤，且a 为正整数， ∴1a =． ∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=．∴此方程的根为1222x x =+=．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac ），一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法． 22．（1）y ＝x ﹣3；（2）k 2＝﹣1满足题意．【分析】（1）把A （0，-3），B （5，2）代入y=k 1x+b ，利用待定系数法即可求出直线l 1的表达式； （2）根据题意，把x=4代入k 1x+b ＞k 2x+2，求出k 2的范围，进而求解即可．【详解】（1）∵直线l 1：y ＝k 1x +b 过A （0，﹣3），B （5，2），∴1352b k b =-⎧⎨+=⎩，解得113k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线l 1的表达式为y ＝x ﹣3；（2）∵当x ≥4时，不等式x ﹣3＞k 2x +2恒成立，∴4﹣3＞4k 2+2， ∴214k -＜， ∴取k 2＝﹣1满足题意．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用待定系数法求出直线l 1的表达式是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）1【分析】（1）CE ∥AD 且CE AD =，根据平行四边形性质，证明四边形ADCE 是平行四边形；AB AC =，AD 平分∠BAC ，根据等腰三角形性质，证明∠ADC ＝90°，从而完成求解； （2）作OH ⊥CE 于点H ，△ABC 是边长为4的等边三角形，AD 平分∠BAC ，求得∠DAC 、CD 、AD ；再结合四边形ADCE 是矩形，计算的CF 和OH ，通过四边形AOFE 面积ACE FOC S S ∆∆=-，从而完成求解．【详解】（1）∵CE ∥AD 且CE AD =∴四边形ADCE 是平行四边形在△ABC 中，AB AC =，AD 平分∠BAC∴AD ⊥BC∴∠ADC ＝90°∴四边形ADCE 是矩形（2）作OH ⊥CE 于点H∵△ABC 是边长为4的等边三角形，AD 平分∠BAC∴∠BAC ＝60°，∠DAC ＝12∠BAC ＝30°，122CD BC ==∴cos304AD CE AC ==⨯==由（1）知四边形ADCE 是矩形∴AC 与DE 互相平分，122OC AO AC === ∴2CF OC ==∵在矩形ABCD 中，∠AEC ＝∠DCE ＝90°∴∠ACE ＝∠DAC ＝30°在Rt △COH 中，112OH OC ==∴四边形AOFE 面积11122ACE FOC S S AE CE CF OH ∆∆=-=⋅-⋅=． 【点睛】 本题考查了平行四边形、矩形、三角函数、等腰三角形，等边三角形、角平分线等知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、三角函数、等腰三角形的性质，从而完成求解． 24．（1）B 生产线至少加工7小时；（2）a 的值为2【分析】（1）设B 生产线加工生产x 小时，则A 生产线加工生产（12-x ）小时，根据生产粽子总数量不少于5500个，列出不等式解决问题；（2）利用A 、B 生产线一天生产的总数量的和是6400个列出方程解决问题．【详解】（1）解：设B 生产线加工x 小时，则A 生产线加工（12x -）小时．500400(12)5500x x +-≥，解得7x ≥．答：B 生产线至少加工7小时．（2）(400100)(82)(500100)(8)6400a a a -++-+=整理得，2240a a -+=，解得122,0a a ==（不符合题意，舍去）∴a 的值为2【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不等式解决问题是关键．25．（1）2.7(±0.2)；（2）详见解析；（3）2.3或4.2 (±0.2) 【分析】（1）通过测量即可得出答案；（2）描点、连线即可画出函数图象；（3）分AC=PC 、AP=PC 两种情况结合图象解答即可.【详解】解：（1）经测量：m =2.7(±0.2)； （2）描点、连线后，画出图象如图；（3）当AC=PC 时，即12y y =，从图象可以看出：x =4.2 (±0.2)； 当AP=PC 时，画出函数y=x 的图象，图象与1y 的交点处x 的值约为2.3(±0.2)； 故答案为：2.3或4.2 (±0.2).【点睛】本题以圆为载体，主要研究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律，掌握研究函数的方法是解题的关键.26．（1）(2?2)-，；（2）1a =-，12b =；（3）32a =-，14b =． 【分析】（1）根据公式，代入计算即可； （2）把对应数据代入，求解关于a 、b 的二元一次方程组即可；（3）因为点P （x,y ）经过τ变换得到的对应点()'','P x y 与点P 关于原点对称，故有 ()(),,x y x y τ=--．由点P （x,y ）在直线y=2x 上，得到()(),2,2x x x x τ=--，从而得到 ()()120220a b x a b x ⎧---=⎪⎨--+=⎪⎩，由x 为任意的实数，得到120220a b a b ---=⎧⎨--+=⎩，解方程组即可． 【详解】（1）()()0,12,2τ=-（2）∵()()1,20,2τ=-，∴ 0222a b a b =+⎧⎨-=-⎩，解得：112a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）∵点P （x,y ）经过变换τ得到的对应点()'','P x y 与点P 关于原点对称，∴()(),,x y x y τ=--．∵点P(x,y)在直线y=2x 上，∴()(),2,2x x x x τ=--，222x ax bx x ax bx-=+⎧⎨-=-⎩，即 ()()120220a b x a b x ⎧---=⎪⎨--+=⎪⎩， ∵x 为任意的实数， ∴120220a b a b ---=⎧⎨--+=⎩，解得： 3214a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 27．（1）见解析；（2）互相垂直；（3）不变，∠DAF ＝45°【分析】（1）根据题意语句即可得出图形；（2）根据轴对称的特点即可得出；（3）想法1：过点A 做AG ⊥CF 于点G ，易证四边形ABCG 是正方形，根据正方形的性质和轴对称的性质可证Rt △AFG ≌Rt △AFE （HL ），最后根据全等三角形的性质、角的和与差及等量代换即可得出；想法2：过点B 作BG ∥AF ，交直线FC 于点G ，易证四边形ABGF 是平行四边形，再根据平行四边形的性质及轴对称的性质易证Rt △AEF ≌Rt △BCG （HL ），最后根据全等三角形的性质、角的和与差及等量代换即可得出．【详解】解：（1）补全图形如下：（2）AE 与DF 的位置关系是互相垂直； 证明：点B 关于直线AD 的对称点为E ，∠ABC ＝90°，AE DF∴⊥（3）∠DAF＝45°（想法1图形）证明如下：过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，=，AB BC∴四边形ABCG是正方形∴=，∠BAG＝90°AG AB点关于直线AD的对称点为E，B∴，∠B＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD．=AB AE∴=AG AEAF AF=，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∠BAG＝90°，∴∠BAD＋∠EAD＋∠EAF＋∠GAF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∠EAF＝∠GAF，∴∠EAD＋∠EAF＝45°，即∠DAF＝45°．（想法2图形）证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°AB∴∥FGAF∥BG∴四边形ABGF是平行四边形AF BG ∴=，∠BGC ＝∠BAF ，点B 关于直线AD 的对称点为E ．AB AE =∴，∠ABC ＝∠AED ＝90°，∠BAD ＝∠EAD ,AB BC AE BC =∴=∴Rt △AEF ≌Rt △BCG （HL ）∴∠EAF ＝∠CBG∠BCG ＝90°，∴∠BGC ＋∠CBG ＝90°∴∠BAF ＋∠EAF ＝90°∴∠BAD ＋∠EAD ＋∠EAF ＋∠EAF ＝90° ∠BAD=∠EAD∴∠EAD ＋∠EAF ＝45°即∠DAF ＝45°．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．28．（1）,D F ；（2）①(2,3)；②图形见解析，13b -≤≤【分析】（1）根据“4-距点”的定义判断即可．（2）①观察图象即可得出结论；②利用①中结论，利用图象法解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，原点O 的“4-距点”是D ，F ．故答案为D ，F ．（2）①如图2中，直线l 上点A 的“2-距点”点为M ，M 的坐标为（2，3）．故答案为（2，3）．②如图当直线l 经过点(2,3)时，3b =，当直线l 经过点(2,1)-时，1b =-，所以若直线l 上存在点A 的“2－距点”，则b 的取值范围是13b -≤≤．【点睛】本题是新定义类题目，涉及坐标与图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中等题．。
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2020-2021学年北京171中九年级（上）月考数学试卷（8月份）
一、选择题
1. 一元二次方程2x 2﹣x ﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，3
B. 2，1，﹣3
C. 2，﹣1，3
D. 2，﹣1，﹣3
2. 平行四边形所具有的性质是（ ）
A. 对角线相等
B. 邻边互相垂直
C. 每条对角线平分一组对角
D. 两组对边分别相等
3. 下图中，不是函数图像的是（ ） A. B. C. D.
4. 下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）
A. y ＝6x ﹣1
B. 1y x =
C. y ＝x 2
D. 12
y x = 5. 用配方法解方程243x x +=，下列配方正确的是（ ）
A. 2(2)1x -=
B. 2(2)7x -=
C. 2(2)7x +=
D. 2(2)1x +=
6. 一次函数0y kx b kb =+，＜，
且y 随x 的增大而增大，则其图象可能是( )
A. B. C. D. 7. 将抛物线2y x 沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 （ ） A. 22y x =+ B. 22y x =- C. ()22y x =+ D. ()2
2y x =- 8. 点(),P x y 在第一象限，且6x y +=，点A 的坐标为()4,0，设OPA ∆的面积为S ，则下列图像中，能反映S 与x 之间的函数关系式的是（ ） A. B . C. D.
二、填空题
9. 方程x 2﹣4＝0的解是_____．
10. 写出一个图象开口向上，且经过点()01，的二次函数的解析式：_______．
11. 若二次函数y ＝2x 2﹣5的图象上有两个点A （2，a ）
、B （3，b ），则a _____b （填“＜”或“＝”或“＞”）． 12. 二次函数y ＝﹣（x +1）2﹣2的最大值是_____．
13. 如图，直线y ＝x ＋b 与直线y ＝kx ＋6交于点P （3，5）
，则关于x 的不等式kx ＋6＞x ＋b 的解集是_____．
14. 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为__________°．
15. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为_____．
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_____________．
三、解答题
17. 解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）2x2+3x﹣1＝0．
18. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.
已知:如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.
求作:四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.
作法:①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.
根据小丁设计的尺规作图过程.
(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明.
证明:∴点O为AC的中点，
∴AO=CO.
又∵DO=BO，
∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据).
∵∠ABC=90°，
∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据).
19. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b图象与直线y＝3x平行，且经过点A(1，6)．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
20. 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ﹣3＝0有实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 是该方程的一个根，求2k 2+6k ﹣5的值．
21. 若抛物线y ＝x 2+3x+2a 与x 轴只有一个交点，求实数a 的值．
22. 已知点(2，0)在抛物线y ＝﹣3x 2+（k+3）x ﹣k 上，求此抛物线的对称轴．
23. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，∠B ＝60°
，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ．
（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2）当AE
＝ cm 时，四边形CEDF 是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）
24. 抛物线21y x bx c =++与直线y 2＝﹣2x+m 相交于A(﹣2，n)、B(2，﹣3)两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若﹣4≤x≤1，则y 2﹣y 1的最小值为 ．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +8与直线y ＝x ﹣1交于点A (3，m )．
（1）求k ，m 的值；
（2）已知点P (n ，n )，过点P 作垂直于y 轴的
直线与直线y ＝x ﹣1交于点M ，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线y ＝kx +8交于点N （P 与N 不重合）．若PN ≤2PM ，结合图象，求n 的取值范围．
26. 有这样一个问题：探究函数y ＝12x -+x 的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y ＝12
x -+x 的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数y ＝12
x -+x 中自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 32
74 94 52 3 4 5 6 … y … ﹣94 ﹣43 ﹣12 0 ﹣
12 ﹣94 254 92 m 92 163 254
…
则m 的值是 ；
（3）在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：该函数的图象与过点(2，0)且平行于 的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交．
27. 在ABC 中，
∠C ＝90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1)，若射线OC上存在点P，使得ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．
（1）如图，t＝0，
①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；
②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；
（2）若n＝3，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是．。