七年级上册期末试卷试卷(word版含答案)

七年级上册期末试卷试卷（word版含答案）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O
（1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数.
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论.
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由.
【答案】（1）解：∵
而
同理：
∴
∴
（2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为：
（3）解：仍然成立.
理由如下：∵
又∵
∴
【解析】【分析】（1）先计算出
再根据
（2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据
即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．
2．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON 内部作射线OC．
（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；
（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°
（2）解：∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°
（3）解：∠AOM＝2∠NOC．
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC
【解析】【分析】（1）根据∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（3）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．
3．一副直角三角板（其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,•另一个是30°,60°,90°）
（1）如图①放置，AB⊥AD,∠CAE=________，BC与AD的位置关系是________；
（2）在（1）的基础上，再拿一个30°,60°,90°的直角三角板，如图②放置，将AC′边和AD 边重合， AE是∠CAB′的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由. （3）根据（1）（2）的计算，请解决下列问题：
如图③∠BAD=90°，∠BAC=∠FAD= （是锐角），将一个45°,45°,90°直角三角板的一直角边与AD边重合，锐角顶点A与∠BAD的顶点重合，AE是∠CAF的角平分线吗？如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由.
【答案】（1）15°；BC与AD相互平行
（2）解：AE是∠CAB′的角平分线.
理由如下：如图②，∵∠EAD=45°，∠B′AC′=30°，
∴∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°.
又由（1）知，∠CAE=15°，
∴∠CAE=∠EAB′，即AE是∠CAB′的角平分线
（3）解：AE是∠CAF的角平分线.
理由如下：如图③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又∵∠BAC=∠FAD=α，
∴∠BAE－∠BAC=∠DAE－∠FAD，
∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分线
【解析】【解答】（1）解：∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAE=90°－45°－30°=15°，
∵AB⊥AD，AB⊥BC，
∴BC与AD相互平行
【分析】（1）∠CAE=∠BAD－∠BAC－∠EAD=15°，因为AB⊥AD，AB⊥BC，
所以BC与AD相互平行；（2）先计算出∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°，由（1）可得∠EAB′=∠CAE，所以AE是∠CAB′的角平分线；（3）分别计算出∠CAE=∠FAE=45°－α，所以AE是∠CAF的角平分线.
4．已知：，点，分别在，上，点为，之间的一点，连接， .
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，，，分别为，，，的角平分线，求证与互补；
【答案】（1）证明：过C点作CG∥MN，
∵，
∴，
∴∠MAC=∠ACG,∠PBC=∠GCB，
∵∠ACB=∠ACG+∠GCB，
∴∠ACB=∠MAC+∠PBC
（2）证明：由（1）同理可知，
∵，，，分别为，，，的角平分线，
∴∠DAE=∠DBE= =90°，
∴∠D+∠E=360°-（∠DAE+∠DBE）=180°，
∴与互补.
【解析】【分析】（1）过C点作CG∥MN，再根据两直线平行，内错角相等即可证明；（2）由（1）可知，，再根据角平分线的
性质与平角的性质知∠DAE=∠DBE=90°，即可证得 + =180°.
5．如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）.
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC＝________°；
（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；
（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝m°（m＞90°）（如图2），则∠AEG﹣∠CEG＝________°（用m的代表式表示）.
【答案】（1）45°
（2）解：∵∠CEG＝∠AEG﹣25°，
∴∠AEG＝180°﹣∠BEC﹣∠CEG
＝180°﹣45°﹣（∠AEG﹣25°）＝160°﹣∠AEG，
∴∠AEG＝80°；
（3）2m﹣180.
【解析】【解答】解：（1）设∠BEC＝x°，
根据题意，可列方程：180﹣x＝3（90﹣x），
解得x＝45°，
故∠BEC＝45°，
故答案为：45°；
（ 3 ）∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
设∠AEF＝∠DEF＝α，∠AEG＝∠FEG﹣∠AEF＝m﹣α，
∠CEG＝180°﹣∠GEF﹣DEF＝180﹣m﹣α，
∴∠AEG﹣∠CEG＝m﹣α﹣（180﹣m﹣α）＝2m﹣180.
故答案为：2m﹣180.
【分析】（1）设∠BEC＝x°，根据题意，可列方程：180﹣x＝3（90﹣x），解出∠BEC；（2）由∠CEG＝∠AEG﹣25°，得∠AEG＝180°﹣∠BEC﹣∠CEG＝180°﹣45°﹣（∠AEG﹣25°），解出∠AEG；（3）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果.
6．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝36°.
（1）若OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，如图（a)所示，求∠AOE的度数：
（2）若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝60°，如图(b）所示，求∠AOE的度数：
（3）若∠AOD＝∠AOC，∠DOE＝(n≥2，且n为正整数)，如图(c)所示，请用n含的代数式表示∠AOE的度数________(直接写出结果).
【答案】（1）解：∵∠BOC＝36°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝72°，
∵∠DOE＝90°，则∠AOE＝90°−72°＝18°；
故答案为：18°
（2）解：设∠AOD＝x，
则∠DOC＝2x，
∠BOC＝180°−3x＝36°，
解得：x＝48°，
∴∠AOE＝60°－x＝60°−48°＝12°
（3） .
【解析】【解答】（3）设∠AOD＝x，则∠DOC＝（n−1）x，∠BOC＝180°－nx＝36°，
解得：x＝，
∴∠AOE＝－＝．
【分析】（1）利用角平分线的性质得出∠AOD＝∠DOC＝72°，进而得出∠AOE的度数；（2）设∠AOD＝x，则∠DOC＝2x，∠BOC＝180°−3x＝36°，得出x的值，进而得出∠AOE 的度数；（3）利用（2）中作法，得出x与α的关系，进而得出答案．
7．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，
（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC=________°，∠NOB=________°.
（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系.
【答案】（1）50；40
（2）解：β=2α-40°，理由是：
如图1，∵∠AOC=α，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON，
∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°
（3）解：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40°，
理由是：如图2，
∵∠AOC=α，∠NOB=β，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
∵∠BOM=∠MON+∠BON，
∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，
答：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40.
【解析】【解答】（1）如图1，
∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC=∠BOC=50°，
∴∠BOM=100°，
∵∠MON=40°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC=50°，再由角平分线的定义计算∠BOM=100°，根据角的差可得∠BON的度数；（2）同理先计算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根据∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根据∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可.
8．探究题
学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。

（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B 的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=________．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.
过点P作PE∥AC.
∴∠A=________
∵AC∥BD
∴________∥________
∴∠B=________
∵∠BPA=∠BPE-∠EPA
∴________．
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
【答案】（1）∠APB=∠A+∠B
（2）∠1；PE；BD；∠EPB；∠APB=∠B -∠1
（3）证明：过点A作MN∥BC
∴∠B= ∠1
∠C= ∠2
∵∠BAC+∠1+∠2=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
【解析】【解答】解：(1)如图：
由平行线的性质可得：∠1=∠A, ∠2=∠B,
∴∠1+∠2=∠A+∠B
即APB=∠A+∠B
⑵解：过点P作PE∥AC.
∴∠A=∠1
∵AC∥BD
∴ PE ∥ BD
∴∠B=∠EPB
∵∠APB=∠BPE-∠EPA
∴∠APB=∠B -∠1
【分析】根据图形做出平行辅助线，探究角度关系。

此类做辅助线的方法变式多，是考试热点问题。

9．如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？
【答案】（1）MN=MC+NC= AC+ BC= （AC+BC）= ×（8+6）= ×14=7
（2）MN=MC+NC= （AC+BC）= a
（3）MN=MC-NC= AC- BC= (AC-BC)= b
（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．
【解析】【分析】（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；（2）方法同（1）
只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a cm，其他步骤是一样的；（3）当C在线段AB的延长线上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC-BC即AB的一半．有AC-BC的值，MN也就能求出来了；（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB 的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．
10．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F.设∠AEH＝，∠ADC＝ .
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则＝________，＝________；
②试探究与的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出与的关系.
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠BAC,EH⊥AB.
∴∠EFC=∠AFH=90°－∠BAC,∠FEC=90°－∠ABC,
∴∠EFC＝∠FEC.
（2）35°；70°；解：② , 理由如下: 由(1)可知:
, 又∵ , ∴ . ∴ .
（3）解：图形如下:
∵∠ABC＝∠BAC,∠BHE=90°－∠ABC,∠F=90°－∠BAC，
∴ .
又∵，
∴在△CEF中有:∠ECF+2∠CEF=180°，
即 .
.
∵2∠EAC=∠DAC, ，
∴ .∴即 .
∴ .
【解析】【解答】解：(2)①∵∠CAD=50°,AE平分∠CAD,
∴∠ =∠AFH－∠EAC=90°－∠BAC－∠EAC=90°－30°－25°=35°.
∵∠ACB=∠ABC+∠BAC=60°,∠CAD=50°,
∴∠ =180°－∠ACB－∠CAD=180°－60°－50°=70°.
故答案为:35°,70°.
【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求解即可;②分别用∠和∠表示出∠AEC即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△CEF 的内角和上,列出等式求解即可.
11．已知，如图，在四边形ABCD中，，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若BF平分，请写出与的数量关系________ 不需证明【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，
∴∠BAF=∠CAD；
（2）证明：∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，
∴∠B=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BE；
（3）2∠AFB+∠CAF=180°
【解析】【解答】解：(3)如图2,∵AD∥BE,
∴∠E=∠1=∠2，
∵BF平分∠ABC，
∴∠3=∠4，
∵∠AFB是△BEF的外角，
∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，
∴∠AFB=3+∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，
即2∠AFB+∠CAF=180°.
故答案为：2∠AFB+∠CAF=180°.
【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF=∠CAD；（2）根据∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根据∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，进而判定AD∥BE；（3）根据AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根据∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，进而得到2∠AFB+∠CAF=180°．
12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）【答案】（1）解：∵∠BOD=∠AOC=76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE= ∠BOD= ×76°=38°．
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF= ∠COE= ×142°=71°，
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°
（2）解：∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得：x=36°，
故∠AOC=72°
（3）解：设∠BOE=x，
∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE=x，∠COA=2x，
∴∠BOC=180°-2x，
∴∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=90°- x，
∴∠BOF=90°﹣ x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，
∴|2x﹣（90°﹣ x）|=α°，
解得：x=（）°+ α°或x=（）°﹣α°，
当x=（）°+ α°时，
∠AOC=2x=（）°+ α°，
∠BOF=90°﹣ x=（）°﹣α°；
当x=（）°﹣α°时，
∠AOC=2x=（）°﹣α°，
∠BOF=90°﹣ x=（）°+ α°
【解析】【分析】（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，结合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，结合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度数；（2）设∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，结合∠BOF=36°，OF平均∠EOF 可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度数；（3）设∠BOE=x，则由已知条件易得∠AOC=2x，
∠BOF=90°- x，这样结合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.
13．如图，直线CB和射线OA，CB//OA，点B在点C的右侧.且满足∠OCB＝∠OAB＝100°，连接线段OB，点E、F在直线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.
（1）求∠BOE
（2）当点E、F在线段CB上时（如图1），∠OEC与∠OBA的和是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由。

（3）如果平行移动AB，点E、F在直线CB上的位置也随之发生变化.当点E、F在点C左侧时，∠OEC和∠OBA之间的数量关系是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，求出他们之间的关系式.
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，，
，
又，
，
由（1）可知；
∴
（3）变化，，
证明：当点E、F在点C左侧时，如图，
，
，
平分，
，
，
；
∴，
，，
，
又，
∴，
∴，
∴ .
即：
【解析】【分析】（1）根据两直线平行,同旁内角互补求出,然后根据已知可得，由此计算即可得解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ,从而可得
，由此即可解题；
（3）同理（1）可得,根据三角形的内角和定理可知∠OEC=180°-
(∠OBE+∠BOE），从而得到，由此计算即可得解.
14．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O．
（1）若∠ABC=40°，∠ ACB=50°，则∠BOC=________
（2）若∠ABC+∠ ACB=lO0°，则∠BOC="________"
（3）若∠A=70°，则∠BOC=________
（4）若∠BOC=140°，则∠A=________
（5）你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由．
【答案】（1）135°
（2）130°
（3）125°
（4）100°
（5）解：BO平分∠ABC, CO平分∠ABC ∴∠OBC=0.5∠ABC ∠OCB=0.5∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=0.5∠ABC+0.5∠ACB= 0.5（180-∠A）=90-0.5∠A ∴∠O=180-（∠OBC+∠OCB）=180-（90-0.5∠A）=90°+0.5∠A
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC= ∠ABC=20°，∠OCB= ∠ACB=25°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°，
故答案是：135°；
（ 2 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-50°=130°，
故答案是130°．
（ 3 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-55°=125°，
故答案是125°；
（ 4 ）∵∠BOC=140°，
∴∠OBC+OCB=40°，
∵∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=80°，
∴∠A=100°，
故答案是：100°；
【分析】根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出∠OBC和∠OCB与∠A之间的关系，然后根据△BOC的内角和定理得出∠BOC与∠A的关系.
15．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC=50°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠BON=________度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，OA，OC，ON三条射线恰好构成相等的角，则t的值为________（直接写出结果）
【答案】（1）25
（2）解：∠AOM与∠NOC之间满足等量关系为：∠AOM-∠NOC=40°，
理由如下：∵∠MON=90°，∠AOC=50°，
∴∠AOM+∠NOA=90°
∠AON+∠NOC=50°
∴∠AOM-∠NOC=40°
（3）13秒，34秒，49秒或64秒。

【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=130°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC÷2=130°÷2=65°，
∴∠BON=90°-∠BOM=90°-65°=25°；
故答案为：25.
（3）如图，有四种情况：
1）当∠AON1=∠CON1，
∵∠AOC=50°，
∴∠AON1=∠CON1=（360°-∠AOC）÷2=155°，
∴∠NON1=155°-90°=65°，
∴t=65°÷5=13（秒）；
2）当∠AOC=∠CON2，
∴∠NON2=360°-∠AON-2∠AOC=360°-90°-2×50°=170°，
∴t=170°÷5=34（秒）；
3）当∠AON3=∠CON3，
∵∠NON3=∠NOB+∠AOB-∠AON3=90°+180°-50°÷2=245°，
∴t=245°÷5=49（秒）；
4）当∠COA=∠AON4，
∠NON4=∠NOB+∠AOB+∠AON4=90°+180°+50°=320°，
∴t=320°÷5=64（秒）.
故答案为：13秒，34秒，49秒或64秒.
【分析】（1）已知∠AOC的度数，根据补角的性质可求∠BOC的度数，结合OM平分∠BOC，则∠BOM的角度可求，于是根据余角的性质即可确定∠BON的大小；
（2）∠AOM和∠NOA互余，∠AON与∠NOC之和等于50°，两式联立消去∠AON，可得∠AOM和∠NOC的数量关系；
（3）因为OA，OC，ON三条射线恰好构成相等的角，分四种情况讨论，依次为当∠AON1=
∠CON1，当∠AON3=∠CON3，当∠COA=∠AON4，当∠AOC=∠CON2，根据已知角的大小，结合角的关系分别求出∠NON1，∠NON2 ，∠NON3，∠NON4的大小，则t可求.。