初三九年级上册数学 压轴解答题达标训练题(Word版 含答案)

初三九年级上册数学 压轴解答题达标训练题（Word 版 含答案）
一、压轴题
1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；
(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.
2．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2
y x
=
在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．
（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，
T 的半径为3，点C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范
围，
（3）已知直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝+-+⎭
+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围． 3．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．
（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．
4．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于
O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．
（1）求证：AB CD =； （2）若
O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；
（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论． 5．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．
（1）求证△AEF ∽△BCE ；
（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；
（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．
6．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，tan B ＝3
4
，OB ＝8． （1）求OA 、AB 的长；
（2）点Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD ，QC ．
①当t 为何值时，点Q 与点D 重合？
②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
7．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．
（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．
（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．
8．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．
（1）求证：四边形AGDH为菱形；
（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC ＝3
，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．
9．【问题学习】小芸在小组学习
时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且
sinα=1
3 ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥
AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=
1
3BC AB = ，可设BC=x ，则AB=3x ，…． 【问题解决】
（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P=β，sinβ=3
5 ，求sin2β的值．
10．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF
（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.
（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.
11．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于
点C，⊙P是△ABC的外接圆．
(1)直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求⊙P的半径；
(3)点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；
(4)E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．
12．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．
（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；
（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；
（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．(1) ☉O的半径是3
2
；(2)AB∥ON，证明见解析.
【解析】
【分析】
(1) 连接AB，根据题意可AB为直径，再用勾股定理即可．
(2) 连接OA, OB,
OQ,根据圆周角定理可得Q2APQ,B0Q2BPO
AO
∠=∠∠=∠，从而证出OC AB
⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又
APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（1）22+；（2）63103t ≤≤-或103165-≤≤-3）
32
5m ≤-
或0m ≥ 【解析】 【分析】 （1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，根据只有一个交点可求出b ，再联立求出P 的坐标，从而判断出PQ 平分∠AOB ，再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ，从而证出PQ 即为最小距离，最后利用勾股定理计算即可；
（2）过点T 作TH ⊥直线2l ，可判断出T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围，从而得到FT 的范围，根据范围建立不等式组求解即可；
（3）把点P 坐标带入表达式，化简得到关于a 、b 的等式，从而推出直线3l 的表达式，根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式，再根据最小距离为0，推出直线3l 一定与图形K 相交，从而分两种情况画图求解即可． 【详解】
解：（1）作直线：y x b =-+平行于直线1l ，且与H 相交于点P ，连接PO 并延长交直线
1l 于点Q ，作PM ⊥x 轴，
∵ 直线：y x b =-+与H 相交于点P ， ∴2
x b x
-+=
，即220x bx -+=，只有一个解， ∴24120b ∆=-⨯⨯=，解得2b =
∴22y
x =-+，
联立222
y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩
，解得22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(
)
2,2P ，
∴2PM OM ==
，且点P 在第一、三象限夹角的角平分线上，即PQ 平分∠AOB ，
∴Rt POM 为等腰直角三角形，且OP=2， ∵直线1l ：2y x =--，
∴当0y =时，2x =-，当0x =时，2y =-， ∴A(－2，0)，B(0，－2)， ∴OA=OB=2， 又∵OQ 平分∠AOB ， ∴OQ ⊥AB ，即PQ ⊥AB ，
∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离， ∵OA=OB ，
∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=︒， ∴AQ=OQ ，
∴在Rt AOQ 中，OA=2，则OQ=2，
∴22PQ OP OQ =+=+，即()1,22min D H l =+；
（2）由题过点T 作TH ⊥直线2l ，
则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=︒，则3
FT =， ∴610FT ≤≤， 又∵3FT t =， ∴6310t ≤≤，
解得63103t ≤≤103165-≤≤-； （3）∵直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝+-+⎭+，
∴把点P 代入得：
211121
1184184k k a b c a b c k k --⎛⎫+-+=++ ⎪
--⎝⎭
， 整理得：()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---，
∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++⎧⎨--+-=---⎩，化简得22480
1a b c c +-+=⎧⎨=⎩
，
∴1
82
b a =-+，
又∵点(),D a b 恒在直线3l 上， ∴直线3l 的表达式为：1
82
y x =-+， ∵()min 3,0D K l =，
∴直线3l 一定与以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形图形相交， ∵(),28E m m +，
∴点E 一定在直线28y x =+上运动，
情形一：如图，当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时，由题可知E 、F 关于原点对称， ∵(),28E m m +， ∴(),28m m F ---，
把点F 代入182y x =-
+得：18282m m +=--，解得：325
m =-， ∵当点E 沿直线向上运动时，对角线变短，正方形变小，无交点，
∴点E 要沿直线向下运动，即325
m ≤-
；
情形二：如图，当点E 运动到直线3l 上时，
把点E 代入182y x =-
+得：1
8282
m m -+=+，解得：0m =， ∵当点E 沿直线向下运动时，对角线变短，正方形变小，无交点， ∴点E 要沿直线向上运动，即0m ≥，
综上所述，
32
5
m≤-或0
m≥．
【点睛】
本题考查新型定义题，弄清题目含义，正确画出图形是解题的关键．
3．(1)作图见解析；（2）4
9π.
【解析】
试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．
试题解析：（1）如图所示：
①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆
心，以大于2
3
GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于
点O，则点O即为⊙O的圆心．
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是
∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC 的顶点）
∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，
∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，
时⊙P的面积就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴5
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，
∴（1-x ）2=x 2+（5-2）2，
∴x=25-4；
②如图3，
同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时，设PC=y ，则（2-y ）2=y 2+（5-1）2，
∴y=512
-； ③如图4，
同理可得，当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF=z ，
∵△APF ∽△PBE ，
∴PF ：BE=AF ：PE ，
∴
， ∴z=49
． 由①、②、③可知，
49＞512
-＞
∴z ＞y ＞x ， ∴⊙P 的面积S 的最大值为π．
考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．
4．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到
∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BD，
∴AC BD
，
则AB DC，
∴AB=CD；
（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则BH=3
OB=43，
∴BD=83，
则四边形ABCD的面积=1
2
×AC×BD=96；
（3）AD=2OM，
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
OMB OEA
OBM OAE
OB OA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BOM≌△OAE（AAS），
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）2
1
y3
2
x x
=-,
3
2
AF
≤≤；(3)3.
【解析】
【分析】
（1）由∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEC，得△AEF∽△BCE；（2）由（1）△AEF∽BCE得
AF AE
BE BC
=，23
y x
x
-
=，即2
1
3
2
y x x
=-+，然后求函数最值；（3）连接FH，取EF的中点M，证MA=ME=MF=MH，则A、E、H、F在同一圆上；连接AH，证∠EFH=30°由A、E、H、F在同一圆上，得∠EAH=∠EFH=30°，线段AH即为H移动的路径，在直角三角形ABH中，
3
60
AH
sin
AB
=︒=，可进一步求AH.
【详解】
解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
∴△AEF∽△BCE；
（2）由（1）△AEF∽BEC得
AF AE
BE BC
=，23
y x
x
-
=，
∴2
1
3
2
y x x
=-+，
∵2132y x x =-
+=213(3)22x --+， 当3x =时，y 有最大值为32
， ∴302
AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，
在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，
∴∠EHF =90°，
∴ME =MF =MH ，
在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，
∴MA =ME =MF =MH ，
则A 、E 、H 、F 在同一圆上；
如图2，连接AH ，
∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°
∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，
如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，
在直角三角形ABH 中，
360AH sin AB =︒=， ∵AB =23
∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．
6．（1）OA ＝6，AB ＝10；（2）
3011；（3）0<t≤1813或3011<t≤5． 【解析】
【分析】
（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝34
，OB ＝8，即可求解； （2）利用△ACD ∽△ABO 、AD +OQ ＝OA ，即可求解；
（3）分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可．
【详解】
解：（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝
34，OB ＝8， ∴34
OA OB = ，∴OA ＝6，则AB ＝10； （2）OP ＝AP ﹣t ，AC ＝2t ，
∵AC 是圆直径，∴∠CDA ＝90°，∴CD ∥OB ，
∴△ACD ∽△ABO ，∴
AC AD AB AO = ，即： 2,106t AD = ∴AD ＝65
t ， 当Q 与D 重合时，AD +OQ ＝OA ， ∴66,5t t += 30.11
t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°，
∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ，
∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ，
∴△AQC ∽△ABO ，∴
,AQ AC AB AO = 即：62106t t -= ，18.13
t ∴= ∴当18013t <≤
时，圆P 与QC 只有一个交点， 当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11t =
∴30511
t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点， 故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤或30511t <≤. 【点睛】
本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．
7．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）
AH ﹣1+1．
【解析】
【分析】
（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.
（2）在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，证明△FCG≌△FCB，根据全等三角形的性质得到FG＝FB，得到FA＝FG，根据等腰三角形的性质得到AE＝GE，即可证明.
（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.
【详解】
解：（1）如图2，
在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，FA＝FB，
在△FAG和△FBC中，
,
FA FB
FAG FBC
AG BC
=
⎧
⎪
∠
=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FAG≌△FBC（SAS），
∴FG＝FC，
∵FE⊥AC，
∴EG＝EC，
∴AE＝AG+EG＝BC+CE；
（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，
理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，
∴FA＝FB，FA FB
=,
∴∠FCG＝∠FCB，
在△FCG和△FCB中，
,
CG CB
FCG FCB
FC FC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FCG≌△FCB（SAS），
∴FG＝FB，
∴FA＝FG，
∵FE⊥AC，
∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴
1
223
2
BC AB AC
===
，，
当点P在弦AB上方时，如图4，
在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB，
在△PCG和△PCB中，
,
CG CB
PCG PCB
PC PC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△PCG≌△PCB（SAS），
∴PG＝PB，
∴PA＝PG，
∵PH⊥AC，
∴AH＝GH，
∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，
∴2322
AH
=+，
∴
31AH =-，
当点P 在弦AB 下方时，如图5， 在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG
∵∠ACB ＝90°，
∴AB 为⊙O 的直径，
∴∠APB ＝90°，
∵∠PAB ＝45°，
∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，
∴PA ＝PB ，
在△PAG 和△PBC 中，
,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PAG ≌△PBC （SAS ），
∴PG ＝PC ，
∵PH ⊥AC ，
∴CH ＝GH ，
∴AC ＝AG+GH+CH ＝BC+2CH ，
∴2322CH ，
=+ ∴31CH =-，
∴()
233131AH AC CH =-=--=+， 即：当∠PAB ＝45°时，AH 的长为31- 或3 1.+
【点睛】
考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.
8．（1）证明见解析；（2）y ＝
18x 2（x ＞0）；（3）①163
π或8π或（17）π；②21
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2
）只要证明△AEF∽△ACB，可得
AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=
，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH垂直平分线段AD，
∴FA＝FD，
∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，
∴AB＝83
3
，
∴⊙O的面积为16
3
π．
如图2中，当AF＝AO时，
∵AB＝22
AC BC
+＝2
16x
+，
∴OA＝
2 16x +，
∵AF＝22
EF AE
+＝
22
2
11
82
x
⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
∴
2
16x
+＝22
2
11
82
x
⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
解得x＝4（负根已经舍弃），
∴AB＝42，
∴⊙O的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2
164x
+，
∵△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴16＝2
164x
+
解得x2＝
217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，
∴⊙O的面积＝π•1
4
•AB2＝（217+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2，
∴AE＝3
2，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
2
5
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
21
2
，
∵EF＝1
8
x2＝
9
8
，
∴FG 21﹣9
8
，AF22
AE EF
+
15
8
，AH22
AE EH
+
30，
∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，
∴GF CG AF AH
=，
∴219
28
1530 8
-
=
∴CG＝270
5
﹣3
30
10
，
∴30CG+9＝421．
故答案为421．
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
9．（1）sin2α=
42
；（2）sin2β=sin∠MON=
24
25
．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=
1
3
BC
AB
=
，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD，在Rt△COD中，根据sin2α=
CD
OC，计算即可．（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O 于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．首先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN 中，由sinβ=
3
5
MN
NQ
=
，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=
1
2NQ=
5
2
k
，可得MQ=
22
QN MN
-
=4k，由
1
2•MN•MQ=
1
2•NQ•MR，求出在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=
MR
OM，计算即可．
试题解析：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=
1
3
BC
AB
=
，可设BC=x，则AB=3x．
∴
22
AB BC
-22
(3)x x
-2
x，
∵
1
2•AC•BC=
1
2•AB•CD，
∴
CD=22
3 x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠COB=2α，
∴sin2α=CD
OC=
42
9．
（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．
在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵si nβ=
3
5 MN
NQ
=
，
∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=1
2NQ=
5
2
k
，
∴
22
QN MN
-
=4k，
∵
11
22
NMQ
S MN MQ NQ MR
∆
==
，
∴3k•4k=5k•MR
∴MR=12
k 5，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=
12
24
5
525
2
k
MR
k
OM
==
．
考点：圆的综合题．
10．（1）45°+α；（2）证明见解析；（3）2BF+CF.
【解析】
【分析】
（1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=1
2
∠BAD=45°，
∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；
（2）由（1）可得∠FAG=1
2
∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可
得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；
（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，BE=2BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】
（1）过点A作AG⊥DF于G，
∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，
∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，
∴AE=AD，
∵AG⊥FD，
∴∠EAG=∠DAG，
∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，
∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，
∴∠DAG=45°-α，
∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α.
（2）由（1）得∠GAF=45°，
∵AG⊥FD，
∴∠AFG=45°，
∵点E、B关于直线AF对称，
∴∠AFB=∠AFE=45°，
∴∠BFG=90°，
∴BF⊥DF.
（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，
∵∠BFD=∠BCD=90°，
∴B、F、C、D四点共圆，
∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，
∵
CH//FD，
∴∠DCH=∠FDC，
∴∠FBC=∠DCH，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，∵点E、B关于直线AF对称，
∴BF=EF，
∵∠BFE=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°，BE=2BF，
∴∠BEF=∠DFC，
∴FC//BH，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=FC，CH=BF，
在△ABF和△BCH中，
AB BC
ABF BCH BF CH
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴AF=BH=BE+EH=2BF+CF.
【点睛】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B、F、C、D四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键.
11．(1)点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)；抛物线的对称
轴为直线x＝1；(2)⊙P5；(3)1＜y＜2；(4)3﹣32
2
．
【解析】
【分析】
(1)分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；
(2)连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值即可；
(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；
(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F 为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF 的长即可.
【详解】
(1)当y＝0时，﹣(x+1)(x﹣3)＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)；
当x＝0时，y＝﹣(0+1)×(0﹣3)＝3，
∴点C的坐标为(0，3)；
∵抛物线与x轴交于点(﹣1，0)、(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
(2)连接CP、BP，如图1所示，
在Rt△BOC中，BC=
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，
BC
∴CP＝BP＝
2
∴⊙P
(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，
∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]＝10，
整理，得：y2﹣3y+2＝0，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；
(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．
∵AC=ACO＝45°，
∴点C′的坐标为(3﹣，0)，∠AC′O′＝45°，
∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣
∵点E在线段CO上，
∴点F在线段C′O′上．
过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，
∵△OC′F为等腰直角三角形，
∴OF＝
2
2
OC′＝
2
2
(32﹣3)＝3﹣
32
2
．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；(2)利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；(3)利用极限值法求出点D纵坐标；(4)利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．
12．（1）4﹣23；（2）3
2
；（3）4﹣5≤S≤4+5
【解析】
【分析】
（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；
（2）首先证明AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根据CH2＝CD2+DH2，构建方程求出m即可解决问题；
（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，
∵AB＝CD＝2，
∴DG22
CD
CG-22
42
-3，
∴AG＝AB﹣BG＝4﹣3
故答案为:4﹣3．
（2）如图2中，
由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，
∵点G在线段AE上，
∴∠AGC＝90°，
∵CA＝CA，CB＝CG，
∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．
∴∠ACB＝∠ACG，
∵AB∥CD
∴∠ACG＝∠DAC，
∴∠ACH＝∠HAC，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m＝5
2
，
∴AH＝5
2
，GH22
AH AG
-
2
2
5
2
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
3
2
．
（3）在Rt△ABC中，2225
AC AB BC
=+=,
1
5
2
OC AC，
由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即
△OGE的面积最小，最小值＝1
2
×OG×EG＝
1
2
×2×（4545
当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝1
2
×E′G′×OG′＝
1
2
×2×（55
综上所述，455
【点睛】
本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.。