材料力学第6章3-讲义-斜弯曲

料 弯曲时，中性轴与载荷平面不垂直，也即“斜弯曲”的含义。
力
学
(2) 横截面上的中性轴
B 把横截面划分为拉应力区 第 和压应力区。从这两个区
最大拉应力 的危险点
受拉区
6 的截面周边上分别作平行 章 于中性轴的切线（或与截
D1 F
中性轴
面只有一个交点的直线），
组 所得两个切点（或交点）
合 变 形
距中性轴的距离最远，这 两点的正应力为最大弯曲
F
My
合
截面形心的一根直线
(y0 , z0)
变
z
形 设中性轴与 z 轴正向的夹角为，
讲 义
tan y0 Iz tan (6.27) 中性轴
z0 I y
C z
y A
Mz
y
5
斜弯曲中性轴的位置的相关结论：
BRY
(6.27)
tan
y0
Iz
tan
z0 I y
材
(1) 当 I y I z 时， ，说明这种横截面形式的梁斜
wz
Fzl 3 3EI y
Fl3 sin
3EI y
(2) 两个方向的挠度叠加：
组
总挠度为
F
中性轴
合
变 形
w wy2 wz2 (6.31)
z
C wz
总挠度 w 与 y 轴的夹角为
讲 义
力
学
梁的正应力强度条件为
[ ] max
(6.28)
B
(3) 某些形状的截面，如
第 圆形、正方形及其他正多边形，
6 章
由于 Iy = Iz ，由式 (6.27) 可
得 ，即中性轴与载荷平
D2 F
My
(y0 , z0)
z
组 合 变
面垂直。实际上，对于圆形及 正多边形截面，由于它们对任 意过其形心的轴的惯性矩都相
材
料 力
z
Fz
学
B
A
x
第
6 章
yx
F Fy
l
组
合 变
Fy F cos
形
Fz F sin
讲
M y Fz (l x)
义
M z Fy (l x)
F
My
z
C z
y A
Mz
y
2
BRY x — y 平面内的弯曲在点 A(y,z) 产生的正应力为
M z y Fy (l x) y F cos(l x) y (a)
Iz
I y max
中性轴
讲
z
C z
y A
Mz
D1
义
(6.28)
y
9
BRY 斜弯曲梁的挠度
斜弯曲时梁的挠度也可由叠加法计算，如图所示
材 (1) 独立计算各个平面内的挠度：
料
力 学 B
在 x-y 平面内的挠度
wy
Fyl 3 3EI z
Fl3 cos
3EI z
(6.30)
第
6 章
在 x-z 平面内的挠度
材
Iz
Iz
Iz
料
力 x — z 平面内的弯曲在点 A(y,z) 产生的正应力为
学 B
M y z Fz (l x)z F sin (l x)z (b)
第
Iy
Iy
Iy
6 章
故点 A 的总正应力为
组 合
M z y M y z
Iz
Iy
变 形
F(l x)(cos y sin z)
学 负；
B
(3) 式 (a)、(b) 中的 和 也可直接计算其绝对值大
第
6 章
小，而其符号再根据弯矩 My ，Mz 的方向直观判定，如该弯 矩分量使此点产生拉应力则取 “+”，反之则取 “-” ；
(4) 式 (6.25) 表明： 是 y , z 的一次函数，即正应力在
组 横截面上的分布为一斜平面。
学 形状有外凸的尖角时，很容易确定其距离 y 轴和 z 轴最远的
B 角点为应力最大点（例如：如图所示的 D1 和 D2）。
第
截面形状没有外凸尖角的，可由平行于中性轴且与周边
6 章
相切的切点确定其危险点。
组 (2) 梁的正应力强度条件：
D2 F
My
合
(y0 , z0)
变
形
Mz y My z
max
例如：圆截面梁的双向弯曲
第 则危险点为 K1 和 K2 点，且有 中性轴
K1
6
章
M合
max W
M
2 z
M
2 y
W (6.29)
组
合
Mz
z
K2 My
M合
变
y
形
讲
义
8
BRY 斜弯曲梁的强度校核
对斜弯曲的梁进行强度校核时
材 (1) 确定危险截面及危险点：
料 力
关键是找到危险截面及危险点，在危险截面上，当截面
Iz
Iy
M
M
2 y
M
2 z
讲 义
M (cos y sin z)
Iz
Iy
(6.25)
(Fy2 Fz2 )(l x)2
F (l x)
3
BRY 结论：
(1) M = F (l-x) 是横截面上的总弯矩的大小，总弯矩的
材 矢量方向为力 F 对该截面形心之矩的方向；
料 力
(2) 上式计算结果的符号表明：叠加后总正应力的正与
拉应力和最大弯曲压应力，
讲 故这两个点是横截面上的 义 危险点。
z
D2
y
受压区
最大压应力 的危险点
6
对斜弯曲的梁进行强度校核时，关键是找出梁的危险截
BRY
面及危险截面上的危险点。在危险截面上，当截面形状有外
凸的尖角时，很容易确定其距 y 轴和 z 轴最远的角点为应力
材 料
最大点（例如矩形截面的 D1 和 D2 点）。而截面形状没有外 凸尖角的，则应由与中性轴平行的平行线确定危险点。
BRY
§6.3 斜 弯 曲
在第 5 章梁的弯曲中已经讨论了梁的平面弯曲特例 ——
材 对称弯曲。对称弯曲要求梁的横截面有一纵向对称轴且载荷
料 作用在纵向对称面内。在更一般的情况下，梁的横截面可能
力 学 B
没有纵向对称轴，或者载荷没有作用在纵向对称面内，但只 要载荷通过截面的弯曲中心，且作用面与任一形心主惯性平
面平行时，仍可以产生平面弯曲。
第
6 斜弯曲
章
载荷通过弯曲中心，但载荷作用方向不与任一形心主惯
组 性平面平行，则产生的弯曲称为斜弯曲（双向弯曲）。
合
例如：屋架结构上的檀条就属于这一情况。
变
形
斜弯曲可分解为两
个相互垂直的形心主惯
讲 义
F
性平面内的平面弯曲， 分别计算后叠加而成。1
BRY 矩形横截面悬臂梁的斜弯曲
中性轴
C z
y Mz A
D1
形 等，故无论载荷作用在过截面
y
形心的哪个纵向平面内，中性
讲 轴都与载荷平面平行，产生的
义 总是平面弯曲。
7
因此，对于这类截面的斜弯曲，可在危险截面上将两个
BRY
正交方向上的弯矩求出其合弯矩，并按合力矩
材
M合
M
2 z
M
2 y
料 力
作用下的平面弯曲求其最大正应力。
学 B
合 变 形
讲
义
4
BRY 斜弯曲的中性轴的位置
在斜弯曲的情况下，中性轴的位置可由正应力为零的条
材 来确定。
料 力
设 (y0, z0) 为中心轴上任意一点的坐标，则有
学 B
(6.25)
M
(
cos
Iz
y0
sin
Iy
z0 )
0
第
6 章
中性轴方程
cos
Iz
y0
sin
Iy
z0
0
(6.26)组来自为过原点 (0,0) 即过横