江西省芦溪中学高三数学复习(二轮) 大专题专辑：第五辑——三角函数（教师妙拨专版）

江西省芦溪中学
高三数学复习(二轮) 《三角函数》 大专题
(教师巧拨专版)
一、专题热点透析
三角函数是高中数学中一种重要的初等函数，是高考数学的一个必考内容，它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系，其工具性在高考中更进一步得以体现。

透析近年高考试题，其趋势为：考小题多重基础，属中、低档题型．主要考察三角函数的基本概念，即：两域（定义域、值域），四性（奇偶性、单调性、周期性、对称性），简单的三角变换（求值、化简）。

三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点，图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点，与平面向量结合已成为新的考查方向；考大题稳中有降，大题以解答题出现，考查思维能力的难题逐步淡化，而是以考查基础知识与基本技能为主，难度在“较易”到“中等”的程度。

二、热点题型范例
题型一、三角函数的求值、化简问题 例1．已知1cos 7α=
，13cos()14αβ-=，且π02
βα<<<． （Ⅰ）求tan 2α的值；（Ⅱ）求β．
解：（Ⅰ）由1cos 7
α=
，π02α<<，得2
2143sin 1cos 1()7αα=-=-=
∴sin 37tan 43cos 71ααα=
==222tan 24383
tan 21tan 1(43)ααα⨯===--． （Ⅱ）由π02βα<<<
，得02παβ<-<．又∵13
cos()14
αβ-=， ∴
221333
sin()1cos ()1()14αβαβ-=--=-=．
由
()
βααβ=--，得
cos cos[()]βααβ=--
cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-113433317142=⨯+
= ∴π
3
β=． 变式：
已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n ⋅=
(Ⅰ)求tanA 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R)的值域 解：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0，因为cosA ≠0，所以tanA=2。

（Ⅱ）由tanA=2得2
2
13()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2
2
f x x x x x x =+=-+=--+ 因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-，当1sin 2x =
时，f(x)有最大值32
； 当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
题型二、三角函数的图像与性质问题 例1．函数()3sin(2)3
f x x π
=-的图象为C, 如下结论中正确的是__①②③_. (写出所有正确结论的编号)
①图象C 关于直线1112x π=
对称；②图象C 关于点2(,0)3π
对称； ③函数5()(,1212
f x ππ-在区间)内是增函数；④由3sin 2y x =的图象向右平移3π
个单位可以得到图象
C 。

例2. 已知函数()2sin cos(
)3)cos sin()cos 22
f x x x x x x x π
π
π=-+++
（1）求函数()y f x =的最小正周期和最值；
（2）指出()y f x =图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。

解：（1）()y f x =最小正周期T π=，()y f x =的最大值为
35122+=，最小值为31
122
-= （2）33
sin(2)sin 226122
y x y x ππ=+-=左移单位，下移单位 变式：
已知函数1
()(3cos )cos 2
f x x x x ωωω=++（0ω>）的最小正周期为π． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）画函数f （x ）在区间［0，π］上的图象；
（3）将函数()f x 图象按向量a 平移后所得的图象关于原点对称，求向量a 的坐标（一个即可）． 解：（1）()f x sin(2)16
x π
ω=++ 由周期为π得1π=，故()sin(2)16
f x x π
=++
由22
6
x π
π
π
-
≤+
≤
得x π
π
-≤≤
，所以函数()f x 的增区间为[,],k k k ππ
ππ-
+∈Z （2）如下
表：
图象如下：
x
6π 512
π 23π 1112
π
π 26
x π
+
6π 2
π π
32
π 2π
136π
y
32
2
1
1
32
（3）(
,1)12
a π
=-
题型三、三角形中的三角函数问题
例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2
8sin
2cos 27.2
B C
A +-= (I)求角A 的大小；(II) 若a =3，b + c =3，求b 和c 的值。

解：（I ）在△ABC 中有B+C=π－A ，由条件可得4[1－cos(B+C)] －4cos 2A+2=7 ∵cos(B+C)= －cosA ∴4cos 2A －4cosA+1=0 解得.3
),,0(,21cos ππ=∴∈=
A A A 又 （II ）由bc a c b bc a c b A 3)(,2
1
221cos 22222=-+=-+=即知
312
3,3, 2..221b c b b a b c bc bc c c +===⎧⎧⎧=+==⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
又代入得由或
例 2. 已知在ABC ∆中，三条边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，向量)cos ,(sin A A m =→
，
)sin ,(cos B B n =→
且满足C n m 2sin =⋅→
→。

（1）求角C 的大小；（2）若B C A sin ,sin ,sin 成等比数列，且18)(=-⋅→
→
→
AC AB CA ，求c 的值。

解：（1）∵)cos ,(sin A A m =→
，)sin ,(cos B B n =→
，C n m 2sin =⋅→
→； ∴C B A B A 2sin sin cos cos sin =+；∴C B A 2sin )sin(=+ ∴C C C cos sin 2sin =；∴21cos =
C ；又C 为ABC ∆的内角；∴3
π=C ； （2）∵B C A sin ,sin ,sin 成等比数列，∴B A C sin sin sin 2
=， 由正弦定理知：ab c =2
；又且18)(=-⋅→→→AC AB CA ，即18=⋅→
→CB CA ， ∴18cos =C ab ；∴36=ab ；∴362
==ab c ；∴6=c 变式： 已知
A 、
B 、C
是ABC ∆的三个内角，a ，b ，c
为其对应边，向量
.1),sin ,(cos ),3,1(=⋅=-=n m A A n m 且
1
2
32
O y 6
π 512
π
23
π
1112
π
π
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若.,cos cos ),
1,2(S ABC c
b
C B AB 的面积求∆== 解：（Ⅰ）1=⋅n m 1cos sin 3=-∴A A 2
1
)6sin(=-∴πA
π<<A 0 πππ6566<-<-∴A .6
6ππ=-∴A .3π
=∴A
（Ⅱ）,cos cos c b C B = ∴由正弦定理，得,sin sin cos cos C
B
C B =,0cos sin sin cos =-∴C B C B 故
0)sin(=-C B .B 、C 为ABC ∆的内角，.C B =∴又,3
π
=A .3
π
=
=∴C B ABC ∆∴为正三角形。

,514=+=AB .34
5432
==
∴AB S 题型四、三角函数与其他知识交汇问题
例1．已知在ABC ∆中，3AB BC ⋅=，记,AB BC θ=． （1）若ABC ∆的面积S 323S ≤≤，求θ的取值范围； （2）若3
π
θ=，求ABC ∆的最大边长的最小值．
解：（1）
cos AB BC AB BC θ⋅=⋅，3
cos AB BC θ
⋅=
， ()13sin tan 22S AB BC πθθ∴=
⋅-= ， 33tan 3θ≤≤，64
ππθ∴≤≤. （2）若3πθ=，则23
ABC π
∠=，则其所对的边AC 最长，由余弦定理
22222cos 3AC AB BC AB BC π=+-⋅3
2318cos 3AB BC AB BC π≥⋅+⋅=⋅=；
当且仅当AB BC =时取等号，32AB ∴≥∴ABC ∆的最大边长的最小值为32 例2．已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列． （Ⅰ）求△ABC 的面积S 的最大值；（Ⅱ）求BC BA ⋅的取值范围． 解：设,,BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b ²=ac ，
由余弦定理得2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=, 故有03
B π<≤，
又6,22
a c
b b a
c +-≤=从而02b <≤
（Ⅰ）22111sin sin 2sin 32223
S ac B b B π
=
=≤⋅⋅=max 3S （Ⅱ）22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅22
2(6)3(3)272
b b b --==-++
182,20<⋅≤∴≤<BC BA b
变式：
已知向量a (cos ,2cos )x x =，向量b ()(2cos ,sin )x x π=-，若()f x =a ·b +1 ．
（I ）求函数
)(x f 的解析式和最小正周期；
(II) 若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求
)(x f 的最大值和最小值。

解：（I ）∵a (cos ,2cos )x x =, b ()(2cos ,sin )x x π=-,
∴
()f x =a ·b +12
2cos 2cos sin()1x x x π=+-+1cos sin 22cos 1+++=x x x
22sin 2cos ++=x x 2)42sin(2++=πx ．∴函数()f x 的最小正周期ππ
==
22T ． (II) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． ∴ 时即当8
,2
42π
π
π=
=
+x x ，()22f x 有最大值
时即当2
,454
2π
ππ
==
+
x x ，()f x 有最小值1． 反馈练习： 1．已知π4cos sin 365αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值是（ C ） A ．23
B 23
C ．45
-
D ．
45
2．函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ C ）
A ．1-，1
B ．2-，2
C ．3-，
32
D ．2-，
32
3．下列函数中，最小正周期是π，且图象关于直线3
x π
=对称的是（ B ）
A ．sin(2)3y x π
=-
B ．sin(2)6y x π=-
C ．sin(2)6y x π=+
D ．sin()26
x y π
=+ 4．函数()2cos()6
f x x π
=+的一个减区间为 ( C )
A.2
[,]33ππ-
B.4[,]33ππ
C.5[,]66ππ-
D.7
[,]66
ππ 5．为了得到函数sin(2)6
y x π
=-的图像，可以将函数cos 2y x =的图像( D )
A 向右平移
6π个单位 B 向右平移23π个单位C 向左平移3π个单位 D 向右平移3π
个单位
6．已知函数x x y 2cos )4
(sin 22
-+=π，则函数的最小正周期T 和它的图象的一条对称轴方程是
（ D ）
A ．T=2π，一条对称轴方程为8
π
=
x
B ．T=2π，一条对称轴方程为8
3π=
x
C ．T=π，一条对称轴方程为8
π
=
x
D ．T=π，一条对称轴方程为8
3π=
x 7．若
cos 22
π2sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，则cos sin αα+的值为 12 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
(
)
C a A c b cos cos 3=-，则=A cos
3
3
9．设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 3
10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,3,30,a b c ===︒ 则A ＝
6
π
11．已知ABC ∆的面积为2,32=•-
AC AB ••.
（1）求A tan 的值；（2）求)
4
π
cos(1
2cos 2sin 22sin 22
A A A A --+的值。

解：（1）∵32sin ||||2
1
-=••=
∆A AC AB S ABC
， ① 又∵2=•
AC AB ，∴2cos ||||=••A AC AB . ② 由①、②得32tan -=A .
（2）
A A A A A π
A A A sin cos )cos (sin 2)
4
cos(12cos 2sin 22sin 22
+-=
--+2(tan 1)2(231)6
123
A ---===+-
12000
3sin 701cos 40
+cos103sin10cos 40sin 50cos10sin 702cos 20︒+︒︒+︒︒⋅︒2cos(6010)
cos 40sin 50cos10sin 702cos 20︒-︒︒+︒⋅
︒︒⋅︒
213．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且2
2tan cot a A B b
=
（1）判断此三角形的形状；（2）若a=3, b=4，求||CA CB +的值；
（3）若C=600，ΔABC 3AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值。

解：（1）∵22tan cot a A B b
= ∴由正弦定理得22sin sin cos sin cos sin A A B
B A B =
于是sinAcosA=sinBcosB ，即sin2A=sin2B ∴A=B 或A+B=2
π
, ∴∆为等腰∆或直角三角形 （2）由（1）得A=B 或A+B=2π，但由于a ≠b ，∴A+B=2
π
||5CA CB ∴+=
（3）∵C=600， ∴A=B ，即ΔABC 是正三角形2
3324
S a a ∆∴=
=⇒= 故AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=3×2×2×cos1200=-6
14. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c.已知2
2
2
3b c a bc +=，求： （Ⅰ）A 的大小；（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.
解：(Ⅰ) 2
2
2
2cos ,a b c bc A =+-22233cos .26
b c a bc A A bc π
+-====故所以
(Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --2sin cos (sin cos cos sin )B C B C B C =--
sin cos cos sin B C B C =+1
sin()sin()sin .2
B C A A π=+=-==
15．已知函数2
π()sin 3sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围
解：（Ⅰ）1cos 23()22x f x x ωω-=
+3112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666
x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤．因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，． 16．已知函数2()sin
cos cos 2.222
x x x
f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕϕϕπ++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,
]12
f x π
π在上的最大值和最小值。

解：(Ⅰ)f(x)=
2
1
sinx+
23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f(x)的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x ≤
1217π，得πππ3
5445≤+≤x .因为f(x)＝23)4sin(22-+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[
12
17,
45ππ]上是增函数.故当x=45π时，f(x)有最小值－223+；而f(π)=－2，f(1217
π)＝－466+＜－2，所以当x=π时，f(x)有最大值－2。