人教版九年级数学上册《点和圆、直线和圆的位置关系(第2课时)》示范教学课件

练习 请作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些
外接圆的圆心在什么位置？
外心在三角形的内部 外心是斜边的中点 外心在三角形的外部
归纳 （1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是
斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．因此可由外心的 位置判断三角形的形状．
（2）三角形外心到三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．
因此，经过一个点 A 作圆，只
要以点 A 以外任意一点为圆心，以
这一点与点 A 的距离为半径就可以
A
作出，这样的圆有_无__数__个．
经过两个已知点 A，B 能不能作圆？如果能，圆心分布有什么 特点？
经过两点 A，B 作圆，因为圆心到 A， B 的距离__相__等____，所以圆心应在线段 AB 的__垂__直__平__分__线__上．
探究 过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说
过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
分析：要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三 点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上， 否则不在圆上．
探究 过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？
O
O
O
探究 分别测量上面各四边形的内角，你发现四边形的哪些元素决
定了过它的四个顶点可以作一个圆？能再找几个四边形验证吗？
过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆．
不在同一条直线上的 三个点确定一个圆
确定圆的条件
三角形的外接圆
线段 AB 的垂直平分线上有_无__数_____个
A
B
点，所以这样的圆心有__无__数____个，这样的
圆也可以作出___无__数___个．
经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能， 如何确定所作圆的圆心？
经过不在同一条直线上的 A，B，C 三点
作圆，这就需要确定一个点作为圆心，使它
例1 如图是一块破损的圆形模板，木工师傅想要将它修复为原 来的模样，你有办法复原吗？（保留作图痕迹）
解：在圆弧上任取三点 A，B，C，连接 AB， BC．分别作出 AB，BC 的垂直平分线，其交点 为 O．连接 AO，以 O 为圆心，AO为半径，画 出这个圆．
A B
O
C
确定圆心的方法 （1）不在同一条直线上的三点确定 一个圆，三点所连线段的垂直平分线的交 点即为圆心； （2）先确定直径，两条直径的交点 或一条直径的中点即为圆心．
到 A，B，C 三点的距离_相__等__，因此圆心既
要在线段__A_B__的_垂__直__平__分__线__上，又要在线
段__B_C__（__或__A_C__）__的_垂__直__平__分__线__上．
B
A C
连接 AB，BC ，分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 l1 和 l2， 设它们的交点为 O，则 OA＝OB＝OC．
新知
如图，连接 AC．
A
由图可以看出，经过三角形三个顶点可以
作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个
O
三角形叫做这个圆的内接三角形．
B
C
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分
线的交点，叫做这个三角形的外心．
如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，或者说 △ABC 内接于圆 O．点
O 是 △ABC 的外心．
点和圆、直线和圆的位置关系 （第2课时）
1．几点确定一条直线？ 两点确定一条直线． 2．如何确定一个圆？ 如果确定了圆心和半径，那么这个圆的位置和大小就被确定了．
r
几点确定一个圆？
O
探究
我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．经过一个已知点
A 能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？
经过已知点 A 作圆，当圆心确定后，半径也就随之确定，这时 作圆的问题就转化为确定圆心的问题．
O
∴OB＝ OD2＋BD2 ＝ 62＋122 ＝6 5 cm， B
DC
即△ABC 的外接圆的半径为 6 5 cm．
巧作辅助线求解与三角形外接圆有关的计算
在与三角形的外接圆有关的计算中，经常 连接圆心与三角形的顶点，这样作辅助线可出 现圆心角、半径等，为利用圆心角定理、垂径 定理、勾股定理等进行解题创造了条件．
例2 在 △ABC 中，BC＝24 cm，外心 O 到 BC 的距离为 6 cm， 求△ABC 的外接圆半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，则OD＝6 cm．
∵外心 O 是△ABC三条边的垂直平分线的交点．
∴BD＝
1 2
BC＝12
cm，
A
∵在Rt△OBD中，OD＝6 cm，BD＝12 cm，
于是以点 O 为圆心， OA （或 OB，OC ）为半径，便可作 出经过 A，B，C 三点的圆．
A l1
因为两条垂直平分线的交点 只有一个，所以只有一个圆心， 即这样的圆只有一个．
O
B
C
l2
新知
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
提醒： （1）三个点确定一个圆的前提是“三个点不在同一条直线上”． （2）“确定”的含义是“有且只有”的意思，即经过不在同一条 直线上的三点有且只有一个圆．
（3）因为任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以 任意一个三角形有且只有一个外接圆；顺次连接圆上任意三点，都 可以得到圆内接三角形，也就是说，一个圆有无数个内接三角形．
例1 如图是一块破损的圆形模板，木工师傅想要将它修复为某段弧，作出全部圆 的问题，实质上属于确定圆心的问题，解决此类 问题的方法是在圆弧上任意找三点，形成两条线 段，这两条线段垂直平分线的交点就是圆心，圆 心到圆弧上任意点的距离就是半径．