高三数学第一次月考试题 理含解析 试题

阿左旗高级中学2021届高三年级第一次月考
数学试卷〔理〕
一、选择题(每一小题5分，一共60分)
1. 设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{2,3,4,6}，N＝{1,4,5}，那么(∁U M)∩N等于( )
A. {1,2,4,5,7}
B. {1,4,5}
C. {1,5}
D. {1,4}
【答案】C
【解析】由∁U M＝{1,5,7}，所以(∁U M)∩N＝{1,5,7}∩{1,4,5}＝{1,5}．
应选：C
点睛：1.用描绘法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 函数f(x)在x＝x0处导数存在．假设p：f ′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，那么( )
A. p是q的充分必要条件
B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】C
【解析】由条件知由q可推出p，而由p推不出q.
应选：C.
3. 函数y＝的定义域是( )
A. [1,2]
B. [1,2)
C.
D.
【答案】D
【解析】由≥0⇒0<2x－1≤1⇒<x≤1.
应选：D
4. f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，那么f(2 019)＝( )
A. －2
B. 2
C. －98
D. 98
【答案】A
【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.
应选：A
5. 假设函数f(x)＝ , 那么的值是( )
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=
应选：D
6. a＝，b＝，c＝log1.5，那么a，b，c的大小关系是( )
A. c<a<b
B. c<b<a
C. a<b<c
D. b<a<c
【答案】A
【解析】由log1.5<1<<，得c<a<b.
应选：A
............
7. 假设sinα＝ -，且α为第四象限角，那么tanα的值等于( )
A. B. - C. D. -
【答案】D
【解析】由sinα＝-，且α为第四象限角，那么cosα＝＝，那么tanα＝＝- .应选D.
8. 的值是( )
A. -
B. 0
C.
D.
【答案】D
【解析】原式＝＝＝tan30°＝.
应选：D.
9. 假设＝，那么cos(π-2α)＝( )
A. -
B.
C. -
D.
【答案】C
【解析】因为＝，所以sinα＝.那么cos(π-2α)＝-cos2α＝2sin2α-1＝-.
应选：C
10. 函数f(x)＝2x－sinx的零点个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】试题分析：,易知该函数导数恒大于0，所以是单增函数.f(0)=0.故只有一个零点.
考点：函数的单调性，函数的零点，导数
11. 函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝当x＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数图象与指数函数y＝a x(x＜0)的图象关于x轴对称，函数递增．
应选:D.
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进展定性的分析，从而得出图象的上升(或者下降)的趋势，
利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
12. 函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1，那么不等式
e x·f(x)>e x＋1的解集为( )
A. {x|x>0}
B. {x|x<0}
C. {x|x<－1或者x>1}
D. {x|x<－1或者0<x<1}
【答案】A
【解析】试题分析：定义，那么不等式的解集就是的解集，且，，
∵，∴ 对于任意，，
∴，即在实数域内单调递增；∵，
∴，因此不等式的解集为：．
考点：1、求导法那么；2、导数在解决函数性质中的应用〔单调性〕．
二、填空题(每一小题5分，一共20分)
13. sin585°的值是_____
【答案】
【解析】略
14. ＝_____
【答案】2
【解析】.
故答案为：2
15. 函数f(x)＝，那么该函数的单调递增区间为_________
【答案】[3，＋∞)
【解析】设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或者x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
故答案为：[3，＋∞)
16. 假设不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，那么实数a的取值范围是
________．
【答案】(－∞，4]
【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，那么a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，那么h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，那么a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．
故答案为：(－∞，4]
点睛：恒成立的问题：
〔1〕根据参变别离，转化为不含参数的函数的最值问题；
〔2〕假设就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，假设恒成立，转化为;
〔3〕假设恒成立，可转化为.
三、解答题(一共6小题，一共70分，解容许写出必要的文字说明、计算过程或者证明步骤)
17. 函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)务实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．
【答案】(1) f(x)的最小值是f(2)＝－1，f(x)的最大值是35;(2) a≤－6，或者a≥4.
【解析】试题分析：解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴，f(x)的最小值是f(2)＝－1
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.…………6分
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，
所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，
应有－a≤－4或者－a≥6，即a≤－6或者a≥4…………12分
考点：二次函数性质
点评：主要是考察了二次函数的性质以及单调性的运用，属于根底题。

18. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝.
(1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2.
【答案】(1) f(x)＝;(2) (－，).
【解析】试题分析：此题主要考察函数的解析式、奇偶性、不等式的解法.考察函数性
质的应用.考察分析问题解决问题的才能和计算才能.第一问，求对称区间上的函数解析式，最后注意的值不要遗漏；第二问，因为函数为偶函数，所以将所求不等式转化一下，变成，再利用单调性解不等式.
试题解析：〔Ⅰ〕当时，，那么， 2分
∵函数是偶函数，∴， 4分
∴函数是偶函数的解析式为6分
〔Ⅱ〕∵， 7分
∵是偶函数，∴不等式可化为， 9分
又∵函数在上是减函数，∴，解得：，
即不等式的解集为12分
考点：1.求函数解析式；2.解抽象不等式；3.解绝对值不等式.
19. cosα＝，，且0<β<α<.
(1)求tan2α的值； (2)求β的值．
【答案】(1) tan2α;(2)β＝.
【解析】试题分析：〔1〕由cosα＝，得到sinα＝，而tanα＝＝4，再利用二倍角正切公式得到tan2α＝；〔2〕cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos＋sinαsin=，而0<β<α<，故β＝.
试题解析：
(1)由cosα＝，0<α<，
得sinα＝＝，
所以tanα＝＝4，tan2α＝＝.
(2)由0<β<α<，cos(α-β)＝＞0得0<α-β<，所以sin＝＝，于是cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝，所以β＝.
20. 分别为内角的对边，.
〔1〕假设，求；〔2〕设，且，求的面积.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：〔1〕由正弦定理得，，又，所以，利用余弦定理即可得到；〔2〕首先利用条件判断出为等腰直角三角形，进而求出的面积. 试题解析：
(1)由正弦定理得，.又，所以，即.
那么.
〔2〕解法一：因为，所以，
即，亦即.又因为在中，，所以，那么，得.所以为等腰直角三角形，
得，所以.
解法二：由〔1〕可知，①因为，所以，②
将②代入①得，那么，所以.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.
第三步：求结果.
21. 函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
【答案】(1) a＝4，b＝4;(2) f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)获得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2). 【解析】(1)f′(x)＝e x(ax＋b)＋a e x－2x－4
＝e x(ax＋a＋b)－2x－4，
∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，
∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，
∴a＝4，b＝4.
(2)由(1)知f′(x)＝4e x(x＋2)－2(x＋2)
＝2(x＋2)(2e x－1)，
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln，
列表：
(－∞，－
x
－2 ln
2)
f′(x) ＋0 －0 ＋
f(x) 极大值极小值
∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，；
单调减区间为.
f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2.
22. 函数f(x)＝lnx＋a(1-x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．
【答案】(1) f(x)在上单调递增，在上单调递减;(2) (0，1).
试题解析：解：〔Ⅰ〕的定义域为
假设，那么，所以在单调递增
假设，那么当时，；当时，。

所以在单调递增，在单调递减。

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当时，在无最大值；当时，在获得最大值，最大值为
因此等价于
令，那么在单调递增，
于是，当时，；当时，
因此，的取值范围是。