2020秋新版高中数学人教A版选修2-1课件:第三章空间向量与立体几何 本章整合3 .pptx
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∴ 平面DEG 与平面 AEFD 所成钝二面角的正弦值为 36.
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Байду номын сангаас
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
方法二:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB, ∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又AE⊥EB,
∴EB,EF,EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知,得A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),
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本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
应用2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE; (2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE; (3)求二面角A1-DE-A的余弦值.
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专题一 专题二 专题三
-7-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
(1)证明:连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD.
以 O 为坐标原点, ������������, ������������, ������������分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立 空间直角坐标系 Oxyz,如图.
由 BE∥平面 PAC,SD⊥平面 PAC,得������������ ·������������ = 0,
故
t=
1 3
,
即当SE∶EC=2∶1
时,BE∥平面
PAC.
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
点评用向量法证明平行、垂直问题的步骤: (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系,
-3-
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知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
应用1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中 点.
(1)用向量法证明:平面A1BD∥平面B1CD1; (2)用向量法证明:MN⊥平面A1BD. 提示:(1)面面平行应转化为证明线面平行;(2)线面垂直应转化为 线线垂直,最终结合面面平行与线面垂直的判定定理证明;此外本 题也可建立空间直角坐标系转化为向量的坐标运算去求解.
又������������ = ������1������1, ������������ = ������1������1, ∴ ������������ = ������1������1, ∴ ������������∥B1D1.
同理可证 A1B∥D1C.
又 BD∩A1B=B,B1D1∩D1C=D1,
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
(2)由已知,得������������ = (2,0,0)是平面AEFD 的法向量. 设平面 DEG 的法向量为 n=(x,y,z),
∵ ������������ = (0,2,2), ������������ = (2,2,0),
∴
故平面 A1BD∥平面 B1CD1.
(2)������������
=
������������
+
������������
+
������������
=
1 2
������������
+
������������
+
1 2
(������������
+
������������1 )
1
1
= 2 ������������ + ������������ + 2 (−������������ + ������������1)
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:(1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
������������ = ������������ − ������������, ������1������1 = ������1������1 − ������1������1.
F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
∴ ������������ = (2,2,0), ������������ = (−2,2,2), ∴ ������������ ·������������ = −2 × 2 + 2 × 2 = 0,
∴BD⊥EG,故 BD 与 EG 所成的角为 π2.
∴ ������������ ·������������ = 0, ∴ ������������⊥BD.
同理可证 MN⊥A1B.又 A1B∩BD=B,
∴MN⊥平面 A1BD.
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知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
应用2四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边 长的 2倍, 如图所示, ������为侧棱������������上的点.
2
2
2
设所求二面角为
θ,则
cos
θ=
������������ ·������������ |������������ ||������������ |
=
3,
2
故所求二面角的大小为 30°.
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
(3)解:在侧棱 SC 上存在一点 E,使 BE∥平面 PAC.
设底面边长为 a,则高 SO=
6 ������.
2
于是������
0,0,
6 2
������
, ������
-
2 2
������,0,0
, ������
0,
2 2
������,0
,
2
2
6
∴ ������������ = 0, 2 ������,0 , ������������ = - 2 ������,0,- 2 ������ .
也可以不建系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面; (2)通过向量运算研究平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 空间向量与空间角 用几何法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角 时,都需要先作出(或证出)所求空间角的平面角,费时费力,难度较大. 而利用向量法,只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解, 体现了向量法极大的优越性.
又EH∥BG,EH⊥BE,BE=2,
∴四边形BGHE为正方形,∴BH⊥EG.
又BH∩DH=H,BH⊂平面BHD,DH⊂平面BHD,
∴EG⊥平面BHD. ∵BD⊂平面BHD, ∴BD⊥EG,故 BD 与 EG 所成的角为 π2.
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综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
(2)∵AE⊥平面BCFE,AE⊂平面AEFD, ∴平面AEFD⊥平面BCFE. 由题意可知GH⊥EF,∴GH⊥平面AEFD. ∵DE⊂平面AEFD,∴GH⊥DE.
<n,
������������
>
|
=
|������·������������| |������||������������|
=
2 23
=
33,
∴平面 DEG 与平面 AEFD 所成钝二面角的正弦值为 36.
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
点评立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系(一般考 虑使用综合几何方法进行证明),然后是与空间角有关的问题,综合 几何方法和空间向量方法都可以,但使用综合几何方法要作出空间 角的平面角,作图中要伴随着相关的证明,对空间想象能力与逻辑 推理能力有较高的要求,而使用空间向量方法就是求直线的方向向 量、平面的法向量,按照空间角的计算公式进行计算,也就是把几 何问题完全代数化了,这种方法对运算能力有较高的要求.两种方 法各有利弊,在解题中可根据情况灵活选用.
������������·������ = 0, 即 ������������·������ = 0,
������ + ������ = 0, ������ + ������ = 0,
令 x=1,得 n=(1,-1,1).
设平面 DEG 与平面 AEFD 所成锐二面角的大小为 θ,
则
cos
θ=|cos
(1)求证:AC⊥SD; (2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.
若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
提示:建立恰当的空间直角坐标系,求出所涉及的点及向量的坐 标,求证两条直线的方向向量数量积为零,则两条直线垂直;二面角 求解,可转化为求法向量的夹角;由平面的法向量垂直于直线的方 向向量来证明线面平行.
取DE的中点M,连接MH,MG,
∵四边形AEHD是正方形,∴MH⊥DE. ∵MH∩GH=H,MH⊂平面GHM,GH⊂平面GHM, ∴DE⊥平面GHM,∴DE⊥MG, ∴∠GMH是平面DEG与平面AEFD所成的锐二面角的平面角.
由计算得 GH=2,MH= 2, ������������ = 6,
∴cos ∠GMH= 33,
知识建构
综合应用
真题放送
(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2, 则������������ = (0,2,1), ������������ = (2,0,0), ������������1 = (0,2,1), ������1������1 = (2,0,0),
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知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
解:方法一:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,∴EF⊥AE. 又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE.
过点D作DH∥AE交EF于点H,连接BH,则DH⊥平面BCFE.
∵EG⊂平面BCFE,∴DH⊥EG. ∵AD∥EF,DH∥AE, ∴四边形AEHD是平行四边形, ∴EH=AD=2,∴EH=BG=2.
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知识建构
综合应用
真题放送
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专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 空间向量与线面的位置关系 用向量作为工具来研究几何,真正实现了几何中的形与代数中的 数的有机结合.给立体几何的研究带来了极大的便利,不论是证明 平行还是证明垂直,只需简单的运算就可以解决问题.
-11-
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综合应用
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专题一 专题二 专题三
应用1如图所示的多面体是由三棱锥A-BDE与四棱锥D-BCFE拼 接而成的,其中EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF∥BC,
BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求异面直线BD与EG所成的角; (2)求平面DEG与平面AEFD所成的钝二面角的正弦值. 提示:求解空间角有两种常见思路,若直接能确定或易作出空间 角,则直接求解;若不易作出,则考虑采用空间向量的方法,这也是空 间向量应用的优势所在.
理由:由(2)知, ������������是平面PAC 的一个法向量,且������������ =
2 2
������,0,
6 2
������
,
又������������ =
26 0,- 2 ������, 2 ������
, ������������ =
22 - 2 ������, 2 ������,0 ,
∴ ������������ ·������������ = 0. 故OC⊥SD,从而 AC⊥SD.
(2)解:由题设和(1)知,平面 PAC 的一个法向量������������ =
2 ������,0, 6 ������ , 平面DAC 的一个法向量������������ = 0,0, 6 ������ ,
设������������ = ������������������, 则������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������������
22
6
= - 2 ������, 2 ������(1-������), 2 ������������ .
111
= 2 ������������ + 2 ������������ + 2 ������������1.
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设������������
=a,
������������
=b,
������������1
=c,则������������
=
1 2
(a+b+c).
又������������ = ������������ − ������������ =b-a,
∴
������������
·������������
=
1 2
(a+b+c)·(b-a)
=
1 2
(b2-a2+c·b-c·a).
又 A1A⊥AD,A1A⊥AB,∴c·b=0,c·a=0.
又|b|=|a|,∴b2=a2,∴b2-a2=0.
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专题一 专题二 专题三
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方法二:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB, ∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又AE⊥EB,
∴EB,EF,EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知,得A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),
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应用2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE; (2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE; (3)求二面角A1-DE-A的余弦值.
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专题一 专题二 专题三
(1)证明:连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD.
以 O 为坐标原点, ������������, ������������, ������������分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立 空间直角坐标系 Oxyz,如图.
由 BE∥平面 PAC,SD⊥平面 PAC,得������������ ·������������ = 0,
故
t=
1 3
,
即当SE∶EC=2∶1
时,BE∥平面
PAC.
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点评用向量法证明平行、垂直问题的步骤: (1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系,
-3-
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专题一 专题二 专题三
应用1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中 点.
(1)用向量法证明:平面A1BD∥平面B1CD1; (2)用向量法证明:MN⊥平面A1BD. 提示:(1)面面平行应转化为证明线面平行;(2)线面垂直应转化为 线线垂直,最终结合面面平行与线面垂直的判定定理证明;此外本 题也可建立空间直角坐标系转化为向量的坐标运算去求解.
又������������ = ������1������1, ������������ = ������1������1, ∴ ������������ = ������1������1, ∴ ������������∥B1D1.
同理可证 A1B∥D1C.
又 BD∩A1B=B,B1D1∩D1C=D1,
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(2)由已知,得������������ = (2,0,0)是平面AEFD 的法向量. 设平面 DEG 的法向量为 n=(x,y,z),
∵ ������������ = (0,2,2), ������������ = (2,2,0),
∴
故平面 A1BD∥平面 B1CD1.
(2)������������
=
������������
+
������������
+
������������
=
1 2
������������
+
������������
+
1 2
(������������
+
������������1 )
1
1
= 2 ������������ + ������������ + 2 (−������������ + ������������1)
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解:(1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
������������ = ������������ − ������������, ������1������1 = ������1������1 − ������1������1.
F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
∴ ������������ = (2,2,0), ������������ = (−2,2,2), ∴ ������������ ·������������ = −2 × 2 + 2 × 2 = 0,
∴BD⊥EG,故 BD 与 EG 所成的角为 π2.
∴ ������������ ·������������ = 0, ∴ ������������⊥BD.
同理可证 MN⊥A1B.又 A1B∩BD=B,
∴MN⊥平面 A1BD.
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专题一 专题二 专题三
应用2四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边 长的 2倍, 如图所示, ������为侧棱������������上的点.
2
2
2
设所求二面角为
θ,则
cos
θ=
������������ ·������������ |������������ ||������������ |
=
3,
2
故所求二面角的大小为 30°.
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(3)解:在侧棱 SC 上存在一点 E,使 BE∥平面 PAC.
设底面边长为 a,则高 SO=
6 ������.
2
于是������
0,0,
6 2
������
, ������
-
2 2
������,0,0
, ������
0,
2 2
������,0
,
2
2
6
∴ ������������ = 0, 2 ������,0 , ������������ = - 2 ������,0,- 2 ������ .
也可以不建系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面; (2)通过向量运算研究平行、垂直问题; (3)根据运算结果解释相关问题.
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专题二 空间向量与空间角 用几何法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角 时,都需要先作出(或证出)所求空间角的平面角,费时费力,难度较大. 而利用向量法,只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解, 体现了向量法极大的优越性.
又EH∥BG,EH⊥BE,BE=2,
∴四边形BGHE为正方形,∴BH⊥EG.
又BH∩DH=H,BH⊂平面BHD,DH⊂平面BHD,
∴EG⊥平面BHD. ∵BD⊂平面BHD, ∴BD⊥EG,故 BD 与 EG 所成的角为 π2.
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(2)∵AE⊥平面BCFE,AE⊂平面AEFD, ∴平面AEFD⊥平面BCFE. 由题意可知GH⊥EF,∴GH⊥平面AEFD. ∵DE⊂平面AEFD,∴GH⊥DE.
<n,
������������
>
|
=
|������·������������| |������||������������|
=
2 23
=
33,
∴平面 DEG 与平面 AEFD 所成钝二面角的正弦值为 36.
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点评立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系(一般考 虑使用综合几何方法进行证明),然后是与空间角有关的问题,综合 几何方法和空间向量方法都可以,但使用综合几何方法要作出空间 角的平面角,作图中要伴随着相关的证明,对空间想象能力与逻辑 推理能力有较高的要求,而使用空间向量方法就是求直线的方向向 量、平面的法向量,按照空间角的计算公式进行计算,也就是把几 何问题完全代数化了,这种方法对运算能力有较高的要求.两种方 法各有利弊,在解题中可根据情况灵活选用.
������������·������ = 0, 即 ������������·������ = 0,
������ + ������ = 0, ������ + ������ = 0,
令 x=1,得 n=(1,-1,1).
设平面 DEG 与平面 AEFD 所成锐二面角的大小为 θ,
则
cos
θ=|cos
(1)求证:AC⊥SD; (2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.
若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
提示:建立恰当的空间直角坐标系,求出所涉及的点及向量的坐 标,求证两条直线的方向向量数量积为零,则两条直线垂直;二面角 求解,可转化为求法向量的夹角;由平面的法向量垂直于直线的方 向向量来证明线面平行.
取DE的中点M,连接MH,MG,
∵四边形AEHD是正方形,∴MH⊥DE. ∵MH∩GH=H,MH⊂平面GHM,GH⊂平面GHM, ∴DE⊥平面GHM,∴DE⊥MG, ∴∠GMH是平面DEG与平面AEFD所成的锐二面角的平面角.
由计算得 GH=2,MH= 2, ������������ = 6,
∴cos ∠GMH= 33,
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(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2, 则������������ = (0,2,1), ������������ = (2,0,0), ������������1 = (0,2,1), ������1������1 = (2,0,0),
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解:方法一:(1)∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,∴EF⊥AE. 又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面BCFE,∴AE⊥平面BCFE.
过点D作DH∥AE交EF于点H,连接BH,则DH⊥平面BCFE.
∵EG⊂平面BCFE,∴DH⊥EG. ∵AD∥EF,DH∥AE, ∴四边形AEHD是平行四边形, ∴EH=AD=2,∴EH=BG=2.
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-2-
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专题一 空间向量与线面的位置关系 用向量作为工具来研究几何,真正实现了几何中的形与代数中的 数的有机结合.给立体几何的研究带来了极大的便利,不论是证明 平行还是证明垂直,只需简单的运算就可以解决问题.
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应用1如图所示的多面体是由三棱锥A-BDE与四棱锥D-BCFE拼 接而成的,其中EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF∥BC,
BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求异面直线BD与EG所成的角; (2)求平面DEG与平面AEFD所成的钝二面角的正弦值. 提示:求解空间角有两种常见思路,若直接能确定或易作出空间 角,则直接求解;若不易作出,则考虑采用空间向量的方法,这也是空 间向量应用的优势所在.
理由:由(2)知, ������������是平面PAC 的一个法向量,且������������ =
2 2
������,0,
6 2
������
,
又������������ =
26 0,- 2 ������, 2 ������
, ������������ =
22 - 2 ������, 2 ������,0 ,
∴ ������������ ·������������ = 0. 故OC⊥SD,从而 AC⊥SD.
(2)解:由题设和(1)知,平面 PAC 的一个法向量������������ =
2 ������,0, 6 ������ , 平面DAC 的一个法向量������������ = 0,0, 6 ������ ,
设������������ = ������������������, 则������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������������
22
6
= - 2 ������, 2 ������(1-������), 2 ������������ .
111
= 2 ������������ + 2 ������������ + 2 ������������1.
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真题放送
设������������
=a,
������������
=b,
������������1
=c,则������������
=
1 2
(a+b+c).
又������������ = ������������ − ������������ =b-a,
∴
������������
·������������
=
1 2
(a+b+c)·(b-a)
=
1 2
(b2-a2+c·b-c·a).
又 A1A⊥AD,A1A⊥AB,∴c·b=0,c·a=0.
又|b|=|a|,∴b2=a2,∴b2-a2=0.