2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：构造辅助圆

A'在线段CE上时，A'C的长取最小值.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠EBC
＝90°，BC＝AD＝3.在Rt△BCE中，BE＝1，BC＝3，∠EBC＝90°，∴
CE＝ ＋ ＝ .∴ A'C长的最小值＝CE－A'E＝ －1.
类型二 四点共圆构造圆
模型解读：1. 如图①，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，则点
O'A＝ ＋′ ＝ ＋ ＝5.当A，D，O'三点共线
时，AD的长有最小值，此时AD＝O'A－O'D＝5－4＝
1.∴ AD长的最小值为1.
强化训练
1. 如图，△ABC为等边三角形，AB＝3.若P为△ABC内一动点，且满足
∠PAB＝∠ACP，则线段PB长的最小值为（ B ）
A. 1.5
6
解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ADC＝90°.∴ ∠ADF
＋∠FDC＝90°.∵ ∠ADF＝∠DCF，∴ ∠FDC＋∠DCF＝
90°.∴ ∠DFC＝90°.
∴ 点F在以DC为直径的半圆上运动（不与点C，D重合）.如
图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的
正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，连接B'O，交AD于点
∴ C，D，P，E四点共圆，且PC为直径，圆心为点O.
∴ ∠EOD＝2∠ECD＝120°.∵ OD＝OE，OH⊥DE，
∴ DH＝EH，∠ODE＝∠OED＝30°.∴ 易得
EH＝DH＝

OE.∴

DE＝ OE.∴ 当OE长的值最小，
即PC长的值最小时，DE长的值最小.根据垂线段最短，
可知当CP⊥AB时，PC最短，易得此时PC＝3 ，则OE
E，交半圆O于点F，则线段B'F的长即为EB＋EF长的最小
值.∵ 易得∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，∴ OD＝OF＝

CD＝3.∴ OC'＝9.∴ B'O＝ ′′ ＋′ ＝ ＋ ＝

3 .
∵ OF＝3，∴ B'F＝3 －3.∴ EB＋EF长的最小值为
3 －3
A，B，C，D在同一个圆上，此时AC为四边形ABCD的外接圆的直径.
2. 如图②，在四边形ABCD中，∠ACD＝∠ABD＝90°，则点A，B，C，
D在同一个圆上，此时AD为四边形ABCD的外接圆的直径.
3. 如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且
∠C＝∠D，则点A，B，C，D在同一个圆上.
△ABC内一动点，☉O为△ACD的外接圆，交直线BD于点P，交BC于点
෽ ，求AD长的最小值.
෽
E.若＝
典例7图
෽
෽ ，∴
解：∵ ＝
∠ACB＝∠CDP＝45°.∴ ∠BDC＝
135°.∴ 点D在以BC为弦，∠BDC为圆周角的圆弧上运
动.如图，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为点O'.取优弧
构造辅助圆
类型一 定点定长构造圆
模型解读：如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则点A，B，C，D在以点O为
圆心，OA（或OB，OC，OD）长为半径的圆上（本质是依据圆的定
义：圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形）.
典例1 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD.若∠CAD＝76°，则
∠CBD＝
B. 3
C.
4
3
3
D. 2
第1题
1
2
3
4
5
6
2. 如图，A是直线y＝－x上的动点，B是x轴上的动点.若AB＝2，则
△AOB面积的最大值为（ B ）
A. 2
B. 2＋1
C. 2－1
D. 2 2
第2题
1
2
3
4
5
6
3. 如图，在△ABC中，AB＝5，∠ACB＝90°，∠CPB＝∠A，tan∠CPB
3
＝ ，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ长的最大值
෽
上运动.
典例6 （2023·
菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，
AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上运
动，使∠ADF＝∠BAE，则线段BF长的最小值为
典例6图
－2
.
典例7 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 2，∠ACB＝45°，D为
P为直角顶点作等腰直角三角形PBC（点P，B，C按逆时针方向排
≤AC≤3
列），则线段AC长的取值范围是
第5题
1
2
3
4
5
6
.
6. 如图，正方形ABCD的边长为6，F是正方形内一点，连接CF，DF，
且∠ADF＝∠DCF，E是边AD上一动点，连接EB，EF，求EB＋EF长的
最小值.
第6题
1
2
3
4
5
4

为 .
第3题
1
2
3
4
5
6
4. 如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相
同的速度分别向点C，B运动，连接AE，DF相交于点P，由于点E，F的
运动，点P也随之运动.若AD＝2，则在点E从点D运动到点C的过程中，
点P经过的路径长为


.
第4题
1
2
3
4
5
6
5. 如图，AB＝4，O为AB的中点，☉O的半径为1，P是☉O上一动点，以
1
2
3
4
5
6
BC上一点N，连接O'B，O'C，O'D，O'A，NB，NC.∵
∠BDC＝135°，∴ ∠BNC＝180°－∠BDC＝45°.∴
∠BO'C＝2∠BNC＝90°.∵ O'B＝O'C，∴ △BO'C为等
腰直角三角形.∴ ∠O'CB＝45°，O'C＝

BC＝4＝

O'D.∴ ∠ACO'＝∠ACB＋∠O'CB＝45°＋45°＝90°.∴
典例3 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是边AC，AB上的高.
若DE＝2 3，则BC的长为
4
.
典例3图
典例4 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作
2
OE⊥BD，交BC于点E.若sin∠COE＝ ，CE＝4，求BC的长.
5
典例4图
解：连接DE.∵ 四边形ABCD为矩形，∴ OB＝OD，∠DCB＝90°.
38° .
典例1图
典例2 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是AB的中点，F
是边AD上的一个动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折，得到△A'EF，
求A'C长的最小值.
典例2图
解：∵ AB＝2，E是AB的中点，∴ AE＝BE＝1.根据折叠，可知
A'E＝AE＝1.如图，以点E为圆心，AE长为半径作圆，连接CE.易得当点
∵ OE⊥BD，∴ ∠DOE＝∠DCE＝90°.∴ O，D，C，E四点共圆，且
DE为圆的直径，CE为圆的一条弦.∴ ∠COE＝∠CDE.∴ sin∠COE＝

sin∠CDE＝ ＝ .∵

CE＝4，∴ DE＝10.∵ OB＝OD，OE⊥BD，
∴ BE＝DE＝10.∴ BC＝BE＋CE＝14.
典例5 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC
于点D，PE⊥AC于点E，求DE长的最小值.
典例5图
解：如图，连接PC，取PC的中点O，连接OD，OE，
过点O作OH⊥DE于点H.∵ △ABC是等边三角形，∴
∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝6.
∵ PD⊥BC，PE⊥AC，∴ ∠PDC＝∠PEC＝90°.

＝ .∴

DE＝

OE＝ .∴


DE长的最小值为 .

类型三 定弦对定角构造圆
模型解读：在△ABC中，∠C为定角（∠C＝α），所对的弦AB的长是定
෿
长.如图①，当∠C为锐角时，点C在以点O为圆的圆上运动；如图
③，当∠C为钝角时，点C在以点O为圆心、圆心角为（360°－2α）的