2008年数学(理科)试卷(江西卷)(1)

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式
如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 2
4S R π=
如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件
A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34
3
V
R π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半
径
()(
1)k k
n k n n P k C p p -=-
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【解析】D 。

因sin 20,cos 20><所以sin 2cos 2z i =+对应的点在第四象限。

2．定义集合运算：{}
,,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为
A ．0
B ．2
C ．3
D ．6 【解析】D 因{0,2,4}A B *=。

3．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1
()()()
F x f x f x =+
的值域是
A ．1
[,3]2
B ．10[2,]3
C ．510[,]23
D ．10[3,]3
【解析】B. （换元法）令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110
()2,[2,]3
F x t t =+≥ ∈
4
．1
x →=
A ．
12 B ．0 C ．1
2
- D ．不存在 【解析】A
1x x →→=
11
2x →==． 5．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++ 【解析】A. 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1
n n a a n -=++
- 121321()()()n n n a a a a a a a a -⇒=+-+-+⋅⋅⋅+-
1234ln()()()()2ln 1231
n
a n n =+⋅⋅⋅⋅=+- ．
6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(
,)22
ππ
内的图象是
【解析】D.
函数2tan ,tan sin ,,2tan sin tan sin 32sin ,tan sin ,,2x x x x y x x x x x x x x ππππ⎧⎛⎤
<∈ ⎪⎥⎪⎝⎦
=+--=⎨⎛⎫⎪≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
当时当时
即即
7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=
的点
M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2 C ．(0,
)2 D
．[,1)2
【解析】C . 由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则2222
c b c b a c <⇒<=-
2
12e ⇒<。

又(0,1)e ∈，所以e ∈．
8．6
10
(1(1++
展开式中的常数项为 A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246
【解析】D. 常数项为3468
61061014246C C C C ++=．
9．若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．1
2
【解析】A. 22121212121
(
)()222
a a
b b a a b b +++≤+=．．．．．．．．．．．．．．．① ∵ 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=---=--> ∴ 11221221()a b a b a b a b +>+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
∵ 121211122122112212211()()()()a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b =++=+++=+++
11222()a b a b ≤+（由②得）
∴ 112212
a b a b +≥
．
10．连结球面上两点的线段称为球的弦。

半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列
四个命题：
① 弦AB 、CD 可能相交于点M ② 弦AB 、CD 可能相交于点N ③ MN 的最大值为5 ④ MN 的最小值为1 其中真命题的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】C. 解：①③④正确，②错误。

易求得M 、N 到球心O 的距离分别为3、2，若两弦交于N ，则OM ⊥MN ，Rt OMN ∆中，有OM ON <，矛盾。

当M O N 、、共线时分别取最大值5最小值1．
11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为
A ．1180
B ．1288
C ．1360
D ．1480
【解析】C. 一天显示的时间总共有24601440⨯=种，和为23总共有4种（为：09:59，
18:59，19:49，19:58），故所求概率为1
360
．
12．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是
A ． (0,2)
B ．(0,8)
C ．(2,8)
D ． (,0)-∞ 解：B. ①当0m ≤时，显然不成立
②当0m >时，因(0)10f =>．
当4022b m
a --
=≥即04m <≤时结论显然成立； 当4022
b m a --=<时只要24(4)84(8)(2)0m m m m ∆=--=--<即可 即48m <<，则08m <<。

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理科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在答题卡上
13．直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则
AE AF ⋅
= ．
【解析】22 由已知得(5,1),(7,4)E F ,则(4,1)(6,2)22AE AF ⋅=-⋅-=
．
14．不等式3
11
2
2
x x
-+≤
的解集为 ． 【解析】(,3](0,1]-∞-
3211
323
2
2110(,3](0,1]x x
x x x x x x
-+-+-≤⇒-+≤-⇒≤⇒∈-∞- ．
15．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30
的直线，与抛物线分别交于A 、B 两
点（A 在y 轴左侧），则
AF FB
= ．
【解析】
1
3
抛物线的准线方法为2
p
y =-
，设A 、B 两点到准线的距离分别为12d d 、，则1d A F
=，
2d BF =．由已知得A 、B 两点的纵坐标为1219
66
y p y p ==，，
所以11162913
62
p p AF FB p p +==+．
16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装
饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。

如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）。

有下列四个命题：
A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
【解析】BD 。

易知所盛水的容积为容器容量的一半．．．．．．．，故D 正确，于是A 错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P ，故B 正确；C 的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P 将露出水面。

（也可经过计算――比较复杂）
三.解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C
所对的边，a =tan
tan 4,22
A B C
++= 2
sin sin cos 2A
B C =，求,A B 及,b c ． 【解析】由tan tan 422A B C ++= 得cot tan 422C C
+=
化简得
1
4sin cos
22C C =
∴ 1
sin 2C =， 又(0,)C π∈
∴ 566
C C ππ
==，或
由2sin sin cos 2A B C = 得 []1sin sin 1cos()2
B C B C =-+
即cos()1B C -= ∴ 6
B C π
==
2()3
A B C π
π=-+=
由正弦定理sin sin sin a b c A B C == 得
1
sin 2sin B
b c a A ====。

18．（本小题满分12分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施。

若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5。

若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6。

实施每种方案，第二年与第一年相互独立。

令(1,2)i i ξ=表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出12ξξ、的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元。

问实施哪种方案的平均效益更大？
【解析】（1）1ξ的所有取值为0.8 0.9 1.0 1.125 1.25、
、、、 2ξ的所有取值为0.8 0.96 1.0 1.2 1.44、
、、、, 1ξ、2ξ的分布列分别为： 1ξ
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P
0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
2ξ
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）令A 、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
()0.150.150.3P A =+=, ()0.240.080.32P B =+=
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大。

（3）令i η表示方案i 所带来的效益，则
1η
10 15 20 P
0.35 0.35 0.3
2η
10 15 20 P
0.5
0.18
0.32
所以1214.75,14.1E E ηη==
可见，方案一所带来的平均效益更大。

19．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且
2264b S =，{}n a b 是公比为64的等比数列。

（1）求n a 与n b ； （2）求证
121113
4
n S S S +++< . 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1n n b q -=
依题意有1363(1)22642(6)64n n nd
a d n d a
b q q b q S b d q +++-⎧====⎪
⎨⎪=+=⎩
…………………… ①
由(6)64d q +=知q 为正有理数，又由6
2d
q =,d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==
故1
32(1)21,8
n n n a n n b -=+-=+ =
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴
121111111
132435(2)
n S S S n n +++=++++
⨯⨯⨯+
11111111(1)2324352n n =
-+-+-++-+ 11113(1)22124n n =+--<++ 20．（本小题满分12分）
如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、
1B 、1C ，已知13
2
OA =
． （1）求证：11B C ⊥平面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小。

【解析】解法一：（1）证明：依题设，EF 是ABC ∆的中位线，所以EF ∥BC ， 则EF ∥平面OBC ，所以EF ∥11B C 。

又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，则AH ⊥11B C 。

因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，
所以OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，
因此11B C ⊥平面OAH 。

（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N 。

因为1OC ⊥平面
11OA B ，
根据三垂线定理知，1C N ⊥11A B ，
1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则1EM OM ==。

C 1
A
解法二：（1）以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -所以0,0AH BC OH BC ⋅=⋅=
所以BC ⊥平面OAH
由EF ∥BC 得11B C ∥BC ，故：11B C ⊥平面OAH
由1A E 与1EB 共线得:存在
R λ∈有11A E EB λ=
得 同理:1(0,3,0)C
设1111(,,)n x y z =
是平面111A B C 的一个法向量,
又2(0,1,0)n =
是平面11OA B 的一个法量
21．（本小题满分12分）
设点00(,)P x y 在直线(,01)x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A 、B ，定点1
(
,0)M m
. （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求
AMN ∆的重心G 所在曲线方程；
（2）求证：三点A M B 、、共线。

【解析】 设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，
且22111x y -=，22221x y -=，
（1）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+，
由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩
得垂足1111
(,)22x y x y N ++， 设重心(,)G x y
所以111111
11()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩
解得113934
1934
x y m x y x m y ⎧
--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩
由2
2111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y
m m
--+-=
即2212
()39
x y m --=为重心G 所在曲线方程。

（2）设切线PA 的方程为：11()y y k x x -=-
由1122()1
y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩ 得2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=
从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=，解得11x k y =
因此PA 的方程为：111y y x x =-
同理PB 的方程为：221y y x x =-
又0(,)P m y 在PA PB 、上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =-
即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上 又1(,0)M m
也在直线01y y mx =-上，所以三点A M B 、、共线．
22．（本小题满分14分）
已知函数(
)f x =()0x ,∈+∞． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间；
（2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．
【解析】（1）当8a =时，(
)13f x =，求得 ()
f x '=， 于是当(0,1]x ∈时，()0f x '≥；而当 [1,)x ∈+∞时，()0f x '≤．
即()f x 在(0,1]上单调递增，而在[1,)+∞上单调递减．
（2）.对任意给定的0a >，0
x >
，因()f x =+，
若令 8b ax
=，则 8abx = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①
(
)f x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
（一）、先证()1f x >1
1x >+11a >+11b
>+，
又由 28a b x +++≥= ，得 6a b x ++≥．
所以 ()111
111f x x a b
=>+++++ 32()()(1)(1)(1)
a b x ab ax bx x a b ++++++=+++ 9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥
+++1()()1(1)(1)(1)a b x ab ax bx abx x a b +++++++==+++． （二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤ （ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为 1
<， 1
≤<，此时()2f x =<． （ⅱ）、当7a b +< ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③
由①得 ,8x
ab == 因为 22
211[1]114(1)2(1)b b b b b b b <-+=-++++ 所以 12(1)b b <-+ … ④ 1
2(1)a a <-+ ………………………………..…………..……………… ⑤
于是()12211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝ …………..………………..…… ⑥
今证明 11a b a b +>++ …………..……………..………..…………….…… ⑦
因为 11a b a b +≥++， 只要证
(1)(1)8ab ab a b ab >+++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为
显然．
因此⑦得证．故由⑥得 ()2f x <．
综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．。