高三模拟考试卷压轴题押题猜题高考数学试卷理科

高三模拟考试卷压轴题押题猜题高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．复数()2i i -=（ ）
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
2．若,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．32
D ．2 3．执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）
A ．()2,2-
B ．()4,0-
C ．()4,4-
D ．()0,8-
4．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“m ∥β“是“α∥β”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A
．2+ B
．4C
．2+D ．5
6．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A ．若120a a +>，则230a a +>
B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<
，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->
7．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）
A ．{}10x x -<≤
B ．{}11x x -≤≤
C ．{}11x x -<≤
D ．{}
12x x -<≤
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗10升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆
汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．在()5
2x +的展开式中，3x 的系数为（用数字作答）
10．已知双曲线2
22:1(0)x C y a a
-=>0y +=，则a =．
11．在极坐标系中，点2,3π⎛
⎫ ⎪⎝⎭到直线()
cos 6ρθθ+=的距离为． 12．在ABC 中，4,5,6a b c ===，则
sin 2sin A C =． 13．在ABC 中，点,M N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+,则x =，y =．
14．设函数()(
)()2,142.1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩ ①若1a =，则()f x 的最小值为；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．已知函数()2cos 222
x x x f x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间[],0π-上的最小值．
16．,A B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从,A B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a 为何值时，,A B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
17．如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF 为等边三角形，平面
AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，
4,2,BC EF a ==60EBC FCB ︒∠=∠=，O 为EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO BE ⊥．
（Ⅱ）求二面角F AE B --的余弦值；
（Ⅲ）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
18．已知函数()1ln 1x f x x
+=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）求证，当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭对()0,1x ∈恒成立，求k 的最大值． 19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2，点()0,1P 和点()(),0A m n m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用,m n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
20．已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，
2，…），记集合M={an|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（•北京）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【分析】利用复数的运算法则解答．
【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
故选：A．
2．（•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）
A．0 B．1 C．D．2
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=0+2×1=2．
故选：D．
3．（•北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）
A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
x=1，y=1，
k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；
x=s=0，y=t=2，
k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；
x=s=﹣2，y=t=2，
k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；
x=s=﹣4，y=t=0，
k=3时，循环终止，
输出（x，y）是（﹣4，0）．
故选：B．
4．（•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选B．
5．（•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
【解答】解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=
∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．
S△BCO=2×=．
故该三棱锥的表面积是2，
故选：C．
6．（•北京）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A 不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．
故选：C．
7．（•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}
【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选C．
8．（•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，
对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（•北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）
【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．
【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=25﹣rxr，
所求x3的系数为：=40．
故答案为：40．
10．（•北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．
【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a的值．
【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，
由题意可得=，
解得a=．
故答案为：．
11．（•北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
【解答】解：点P（2，）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为：1．
12．（•北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．
【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
13．（•北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．
【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．
【解答】解：由已知得到===；
由平面向量基本定理，得到x=，y=；
故答案为：．
14．（•北京）设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．
【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．
【解答】解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin
=sinx﹣（1﹣cosx）
=sinxcos+cosxsin﹣
=sin（x+）﹣，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣≤x+≤，
即有﹣1，
则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．
16．（•北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【分析】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，由题意可
知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．
【解答】解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，
由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”
∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P （A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）
=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=
（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．
17．（•北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值
【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），
设平面AEB的法向量为=（x，y，z），
则，即，
令z=1，则x=，y=﹣1，
即=（，﹣1，1），
平面AEF的法向量为，
则cos＜＞==
即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE⊥OC，
即=0，
∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），
∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，
解得a=．
18．（•北京）已知函数f（x）=ln，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．
【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．
【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则
g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．
（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．
当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，
所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．
所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k的最大值为2．
20．（•北京）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=
（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
【分析】（Ⅰ）a1=6，利用an+1=可求得集合M的所有元素为6，
12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）若a1=6，由于an+1=（n=1，2，…），
M={an|n∈N*}．
故集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，因为ak=2ak﹣1，或ak=2ak﹣1﹣36，所以2ak﹣1是3的倍数；于是ak﹣1是3的倍数；
类似可得，ak﹣2，…，a1都是3的倍数；
从而对任意n≥1，an是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数
（Ⅲ）对a1≤36，an=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an＜36（n=2，3，…）
因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．
从而当n≥2时，an是2的倍数．
如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an是3的倍数．
因此当n≥3时，an∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an不是3的倍数．
因此当n≥3时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．
19．（•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A （m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．
（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即yQ2=xM•xN，+n2，根据m，m的关系整体求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得出
解得：a=，b=1，c=1
∴+y2=1，
∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1
∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，xM=
∴M（，0）
（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）
∴点B（m，﹣n）（m≠0）
∵直线PB交x轴于点N，
∴N（，0），
∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ），
∴tan∠OQM=tan∠ONQ，
∴=，即yQ2=xM•xN，+n2=1
yQ2==2，
∴yQ=，
故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△
为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=，
CM '=
，
1OM '=．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭
，
，．
BM a a '==⇒
=
．∴11OM
'==． ∴100M ⎛⎫'
⎪ ⎪⎝
⎭，，10M ⎛ ⎝⎭
2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+， ∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012
x x <<
时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点． 因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>． 因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则
又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<
，所以()014f x <． 因此，()201e 4
f x -<<
． 22． 【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，．
000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()2224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点
交圆C 于B 点，
此时AOB S △最大
max 1||||2S AO HB =
⋅ ()1||||||2
AO HC BC =+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号．
⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦ ∴()()3
32a b ab a b +-+= ∴()()
3
23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()32
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()3
2
232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()33324a b a b ++-≤ ∴()3124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。