安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期
末数学试卷（）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（）A．（4，1，1）B．（﹣1，0，5） C．（4，﹣3，1） D．（﹣5，3，4）
2．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（）
A．2x+y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x﹣2y+5=0
3．“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）
A．y=1 B．y=C．x=1 D．x=
5．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．18 C．D．
7．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）
A．12 B．20 C． D．
8．过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C． D．
9．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P是抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为
（）
A．1 B．C．D．2
10．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）
A． B． C．D．
11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（）
A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1
12．点A是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若
，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是．
14．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为．15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为．
16．下列四个命题申是真命题的是（填所有真命题的序号）
①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．
三、解答题（共有6小题，共70分）
17．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．
（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．
19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．
（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；
（2）证明：MN∥平面D1DE．
20．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．
（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；
（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．
21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任
意一点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二
（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（）A．（4，1，1）B．（﹣1，0，5） C．（4，﹣3，1） D．（﹣5，3，4）
【考点】空间中的点的坐标．
【分析】利用中点坐标公式求解．
【解答】解：设C（x，y，z），
∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
2．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（）
A．2x+y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x﹣2y+5=0
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】联立方程组，求出直线的交点，由此能求出过交点且平行于直线2x+y﹣1=0的直线方程．【解答】解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，
与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，
把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，
解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y﹣5=0，
故选：A．
3．“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】，解得或x＜0，即可判断出判断出．
【解答】解：，解得或x＜0，
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
4．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）
A．y=1 B．y=C．x=1 D．x=
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将方程化为标准方程，再由y2=﹣2px的准线方程为x=，即可得到所求．
【解答】解：抛物线x=﹣4y2即为
y2=﹣x，
可得准线方程为x=．
故选：D．
5．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由直线与平面垂直的性质定理得命题P是真命题，￢P是假命题，由此能求出结果．
【解答】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，
∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；
￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，
∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．
故选：B．
6．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．18 C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算．
【解答】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
故该几何体的表面积为：3×22+3×（）+=，
故选：D．
7．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）
A．12 B．20 C． D．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】求得椭圆的焦点坐标，由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解方程即可得到m的值．
【解答】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
8．过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，
直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2，
即kx﹣y﹣2=0，
若过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，
则圆心到直线的距离d≤1，
即≤1，即k2﹣3≥0，
解得k≤﹣或k≥，
即≤α≤且α≠，
综上所述，≤α≤，
故选：A．
9．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P是抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为
（）
A．1 B．C．D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=4，求得P点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算即可得到．
【解答】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），
又P为C上一点，|PF|=4，
可得y P=3，
代入抛物线方程得：|x P|=2，
∴S△POF=|0F|•|x P|=．
故选：C．
10．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）
A． B． C．D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积
的，则这两个圆锥的体积之比为（）
A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】设球半径为r，则根据圆锥底面与球面积的关系得出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出球心到圆锥底面的距离，得到两圆锥的高度．
【解答】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．
∴两个圆锥的体积比为：=1：3．
故选：D．
12．点A是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若
，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设△AF1F2的内切圆半径为r，由已知得|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，从而a=2，由此能
求出椭圆的离心率．
【解答】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则
S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，
∵，
∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，
整理，得|AF1|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，
∴椭圆的离心率e===．
故选：B．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
14．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为3x﹣y ﹣11=0．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线的方程，相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，以及点斜式方程可得直线方程，再由代入法，检验即可得到所求直线方程．
【解答】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y12=6x1，y22=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），
即有k AB====3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），
即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得
9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x﹣y﹣11=0．
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得圆心在这条直线上，把圆心坐标代入到直线x+y=0中得方程①；把A的坐标代入圆的方程得方程②；由圆与直线x ﹣y+1=0相交的弦长，利用垂径定理，勾股定理得方程③，三者联立求出a、b和r的值，即得圆的方程．【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，
∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，
根据垂径定理得：r2﹣d2=，
即r2﹣（）2=③；
由方程①②③组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．
16．下列四个命题申是真命题的是①③④（填所有真命题的序号）
①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题的真假关系进行判断．
②根据空间角的平行定理进行判断．
③根据线面所成角的定义进行求解判断．
④根据圆与的内切关系以及椭圆的定义进行判断．
【解答】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
三、解答题（共有6小题，共70分）
17．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是
增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据函数恒成立问题，求出p为真时的a的范围，根据二次函数的性质求出q为真时的a的范围，从而判断出p、q一真一假时的a的范围即可．
【解答】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，
等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，
而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，
其最大值是g（4）=4，
∴a≥4，
若p为真命题，则a≥4；
f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，
对称轴x=≤，∴a≤1，
若q为真命题，则a≤1；
由题意知p、q一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．
（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可设椭圆方程，代入（4，3），解方程可得λ，进而得到所求椭圆方程；
（2）由题意可设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由焦距可得4|λ|+9|λ|=13，解方程即可得到所求双曲线的方程．
【解答】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，
设椭圆方程，
由（4，3）在椭圆上得，
则椭圆方程为；
（2）由双曲线有相同的渐近线，
设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），
由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，
解得λ=±1．
即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．
19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．
（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；
（2）证明：MN∥平面D1DE．
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由已知推导出NE⊥DE，NE⊥DD1，从而NE⊥平面D1DE，由此能证明平面MNE⊥平面D1DE．
（2）推导出AB∥DE，从而AB∥平面D1DE，进而BB1∥平面D1DE，平面ABB1A1∥平面D1DE，由此能证明MN∥平面D1DE．
【解答】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE，
又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D，
∴NE⊥平面D1DE，
又NE⊂平面MNE，
∴平面MNE⊥平面D1DE．…
（2）等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE，
又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，
又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE，
又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…
20．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．
（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；
（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．
【考点】圆的一般方程．
【分析】（1）利用待定系数法建立方程关系进行求解即可．
（2）根据直线和圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…
（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点
则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，
又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD
又OC=OB，所以△BOD≌△COD
∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…
（其他方法亦可）
21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．
【分析】（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，证明PE⊥平面ABCD，从而可得△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，利用勾股定理可得结论；
（Ⅱ）利用V P
﹣ADM =V D
﹣PAM
，可求D点到平面PAM的距离．
【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA ∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理得EM=，AM=，AE=3
∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P
﹣ADM =V D
﹣PAM
∴
而
在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=
∴
∴
∴，即点D到平面PAM的距离为
22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任
意一点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的离心率为，求出，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n），两直线分别与椭圆联立，得到m2=1+2k2，m=﹣n，由此利用点B到l1，l2的距离之积恒为1，能求出点B坐标，当l1，l2的斜率不存在时，点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．由此能求出结果．
【解答】解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴=，解得，
∴椭圆C的方程为．…
（2）①当l1，l2的斜率存在时，设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n）
，
△=0，m2=1+2k2，同理n2=1+2k2m2=n2，m=﹣n，
设存在，
又m2=1+2k2，则|k2（2﹣t2）+1|=1+k2，k2（1﹣t2）=0或k2（t2﹣3）=2（不恒成立，舍去）
∴t2﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），
②当l1，l2的斜率不存在时，
点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．
综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…
2016年5月11日。