北师大版高中数学必修四课件1.5.3正弦函数的性质

奇偶性的含义； 当x R时，恒有sin( x) sin x和 cos( x) cos x y sin x是奇函数；y cos x是偶函数。
要点阐释
正
弦
函数y

sinx
在
闭 区 间－ 2
，
2
上是增函数
；
在闭区间2
，3
2
上是减
函
数。
函数y sin x的周期为2，
在区间2k ,2k (k Z )上单调递减。
27
判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是 关于原点的对称区间．如果是，再验证f(－x) 是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性 ；如果不是，则该函数必各组数的大小
：
（1）sin( )与sin( ).
18
10
（2）cos(

y

sin
x在2k


2
,2k


2
(k

Z )上单调递增。
在闭区间2k


2
,2k

3
2
(k

Z
)上单调递减。
要点阐释
从图像也可看出余弦函数y=cosx(x
y
1
-
5 -
3
-
3
22
2
o 2
2
3
2
-1
R)的单调区间
y=cosx(x
2
5 2
(2)f(x)＝sin(34x＋32π)＝－cos34x，x∈R.
又 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)， ∴函数 f(x)＝sin34x＋32π是偶函数．
(3)函数应满足 1＋sin x≠0， ∴函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋ 32π，k∈Z}． 显然定义域不关于原点对称， 故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x为非奇非偶函数．
3
R)
x
7 2
4
增区间为[其+2值k 从,-21k增至],k1 Z
减区间为，[其2k值从,2k1减+至-1],k Z
典例剖析 题型一
1.函数y＝－sinx是________函数(填“奇”或“偶”)． 答案：奇 2.若函数y＝sin(φ－x)是偶函数，则φ的值可能是( ) A．30° B．60°C．90°D．180° 解析：选C.当φ＝90°时，sin(90°－x)＝cosx. ∵y＝cosx是偶函数， ∴φ的可能值是90°.
预习测评
2．函数 f(x)＝cos4x，x∈R 是( ) A．最小正周期为 π 的偶函数 B．最小正周期为 π 的奇函数 C．最小正周期为π2的偶函数 D．最小正周期为π2的奇函数
解析：T＝2ωπ＝24π＝π2，f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f(x)， 即 f(x)是偶函数．
答案：C
要点阐释
2.求函数 y＝3cos(3x－π4)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即2k3π＋51π2≤x≤2k3π＋34π，于是函数的单调递增区间为 [2k3π＋51π2，2k3π＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间为 [2k3π＋1π2，2k3π＋51π2]，k∈Z.
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第一章三角函数 §5．3正弦函数的性质
学习要求
1. 要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单 调性
2. 掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并 能求出正、余弦函数的单调区间。
自学导引
学习了正弦函数、余弦函数的值域、定 义域，周期性和对称性，对于函数，我们还 要探讨奇偶性和单调性。
详细解析：
(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°. 从而－sin14°>－sin70°，即 sin194°>cos160°.
课堂总结
题型二
判断下列函数的奇偶性：
(1)y=tan x＋sinx；
(2)f(x)＝sin34x＋32π；
(3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
【解】 (1)定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，关于原点 对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x) ＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴函数 y＝sin x＋tan x 是奇函数．
5
5
5
cos( 17 ) cos 17 cos
4
4
4
因为，且0 函数 3
y cos x, x [0, ]
45 是减函数，所以
cos cos3
45
正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法 ：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令 “z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的 单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为 正数．
自主探究
正弦函数为奇函数，关于原点对称，余弦函 数为偶函数，关于y轴对称。 在每个区间内，函数的单调性不同
预习测评
1．函数 y＝1－cosx 的图象关于( ) A．x 轴对称 B．y 轴对称 C．原点对称 D．直线 x＝π2对称 解析：函数 y＝1－cosx 是偶函数，其图象关于 y 轴对称． 答案：B
（1）函数y sin x, x R是奇函数；
在区间2k


2
,
2k


2

(k

Z
)上单调递增。
在区间2k


2
, 2k

3
2

(k

Z )上单调递减。
（2）函数y cos x, x R是偶函数；
在区间2k ,2k (k Z )上单调递增。
若a=sin460,b=cos460,c=cos360，则a、b、c的大小关系 是(A) (A)c>a>b(B)a>b>c(C)a>c>b(D)b>c>a
比较大小 比较下列各组中函数值的大小：
sin194°与 cos160°. 思路分析：利用诱导公式将异名三角函数转化为同名三 角函数，非同一单调区间上的角转化到同一单调区间上，利 用函数的单调性来比较．
∴函数 y＝cos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为 [－π2＋kπ，kπ]，k∈Z，[kπ，π2＋kπ]，k∈Z. (2)y＝2sin(π4－x)＝－2sin(x－π4)． 因为 y＝sin x，x∈R 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈ Z)；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ](k∈Z)．
23
5
)与
cos(
17
4
).
解：（1）因为 0
2 10 18
正弦函数在y区 间sin x
[ ,上0]是增函数，所以
2
sin( ) sin( ).
18
10
题型三
（2）cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
解： cos( 23 ) cos 23 cos 3