安徽省安庆市第一中学2017届高三第三次模拟数学(文)试题含答案

安庆一中2017届高三年级第三次模拟考试
数学(文科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|1}A x x =>-，则下列选项正确的是（ ）
A ．0⊆A
B ．｛0}⊆A
C ．错误！未找到引用源。

∈A
D ．{0}∈A
2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ） A ． 4 B ．4- C ．5
4
D ．
54-
3. 已知
112
2
log log a b
<,则下列不等式一定成立的是( ）
A ．1143a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．11a b >
C ．ln()0a b ->
D ．3
1a b
-<
4。

函数3
21x
x y =-的图象大致是(
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5。

已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上,且动圆恒与直线x ＝－1相切,则此动圆必过定点（ ） A ．(2,0) B ．（1,0） C ．（0，1)
D ．（0，－1)
6. 公元263年左右，我国数学家刘徽
发现当圆
内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术"．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率"．如图是利用刘徽的“割圆术"思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ） （参考数据：≈1。

732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 7．“若成立都有则0)(,0,21
≥≥∀≥
x f x a "的逆否命题是（
）
A ．21
,0)(,0<
<<∃a x f x 则成立有 B ．
21,0)(,0<
≥<∃a x f x 则成立有 C ．
21,0)(,0<
<≥∀a x f x 则成立有
D ．
21,0)(,0<
<≥∃a x f x 则成立有
8. 已知实数x ，y 满足条件001x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则
12x
z y ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭的最大值为（ ）
A ．
32-
B ．0
C ．1
2
D ．1
9．已知直线l 的斜率为2,M 、N 是直线l 与双曲线C ：22
221x y a b -=,(0,0)
a b >>的两个交点,设M 、N 的中点为P （2,1),则双曲线C 的离心率为（ )
A 2
B 3
C ．2
D ．2
210。

某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇
形，则该几何体的体积为( )
A ．29
π
B ．3π
C ．3
16π
D ．169π
11。

数列{}n
a 满足1
1a
=,且对于任意的n N *∈都有
11n n a a a n +=++，则122017
111a a a +++
等于（ ）
A ．20162017
B ．40322017
C ．20172018
D ．40342018
12. 定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时，12
log (1)[0,1)()13[1,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨--∈+∞⎪⎩，，
，则关
于x 的函数()(),(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）
A ．2
1a
-
B ．12a
- C ．2
1a
--
D ．12
a
--
第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分 13
已知向量()1,1=a
，),3(m b = , a ∥（a +b ），则m =
14.设数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且1
11,23n n a a S +==+，则通项n a =
15。

若直线220(,)ax by a b R -+=∈始终平分圆014222
=+-++y x y x 的周长,
则ab 的最大值是 16.已知函数3()3,[2,2]f x x x x =-∈-和函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，若对于1[2,2]x ∀∈-，
总0
[2,2]x
∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围为
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17。

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos ,cos ,cosA a C b B c 成等差数列，
（1）求B 的值；
（2）求
2
2sin cos()A A C +-的范围．
B
A
E D C
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．
）
某校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，按分层抽样的方法，从中抽取了100名学生,先统计了他们期中考试数学分数,然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．
（1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率;
（2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为“数学尖子生与性别有关"?
附：K2=
2
()
()()()()
n ad bc
a b c d a c b d
-
++++．
19．（本小题满分12分）（注意：在．试题卷上作答无效．．．．．．．．
)
如图，在四棱锥E ABCD
-中，AE⊥DE，
P
（K2≥
k0）
0。

100
0.05
0。

010
0.001
k0 2.7
06
3.84
1
6。

635
10。

828
CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1)求B到平面CDE的距离
(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF BCE
平面？
若存在，求出EF
ED的值；若不存在,说明理由．
20．(本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．
)
在直角坐标系XOY中，已知中心在原点，离心率为1
2的椭圆E的一个
焦点为圆C：22420
x y x
+-+=的圆心．（1）求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为1
2的直线1l，2l．当直
线1l，2l都与圆C相切时，求P的坐标．
21。

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．
）
已知函数()ln
f x ax x x
=+图象在点(,())
e f e（e为自然对数的底数)处的切线斜率为3．
(1）求实数a的值;
（2)若k Z∈,且()(1)0
f x k x
-->对任意1
x>恒成立，求k的最大值．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.
22。

（坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴
正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点(3,0)M ，倾斜角为6
π
．
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于AB 两点，求MA MB +．
23.（不等式选讲)（不小题满分10分） 已知函数()()f x x a a R =+∈．
(1)若1a =，解不等式()32f x x x +-≤；
(2）若不等式()13f x x +-≥在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.
答案
一、1B 2C 3A 4C 5B 6 B 7D 8C 9A 10D 11D 12B
13 3 , 14，15，16 ，
12【解答】解：∵当x≥0时，
f(x)=；
即x∈;
x∈时，f（x)=x﹣2∈；
x∈(3,+∞)时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x)的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线y=a，与y=f(x）的图象有5个交点,则方程f(x）﹣a=0共有五个实根，
最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6,
∵x∈(﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）,
∴f（﹣x)=（﹣x+1)，
又f（﹣x）=﹣f（x）,
∴f(x)=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，
解得x=1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
17【解答】解：(Ⅰ）∵acosC，bcosB,ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，
即：sin（A+C)=sin2B，
∴sinB=2sinBcosB，
又在△ABC中,sinB≠0,
∴,
∵0＜B＜π，
∴；…（6分)
(Ⅱ）∵，
∴
∴
=
=，
∵，
∴
∴2sin2A+cos（A﹣C ）的范围是．… （12分）
18【解答】解:(1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名,
分数小于等于110分的学生中，
男生人有60×0.05=3（人），记为A1,A2,A3；
女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…（2分)
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种,它们是:
（A1,A2），（A1，A3），（A2，A3）,（A1，B1），（A1，B2）,
（A2,B1）,（A2，B2），（A3，B1）,（A3，B2），（B1，B2）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1)，（A1，B2)，（A2，B1），
（A2,B2），(A3，B1），（A3，B2）；…（4分)
故所求的概率为P==… （6分）
（2)由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生60×0。

25=15(人），女生40×0。

375=15
（人）；…（7分）
据此可得2×2列联表如下：
数学尖子生非数学尖
子生
合
计
男
154560
生
152540
女
生
合
3070100
计
（9分）
所以得K 2==≈1。

79；…（11分)因为1。

79＜2.706，
所以没有90％的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12分）19【解答】（I）方法一解：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE ⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE,又AB∥CD，∴到平面
的距离为AE=…（6分）
方法二等积法求高
（II)解：在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=．
下面给出证明：设F为线段DE上的一点，
且=．过F作FM∥CD交CE于点M,则FM=,
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴,
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，又AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE．
∴AF∥平面BCE．…(12分)
20【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得(x﹣2）2+y2=2,∴圆心C（2，0）
设椭圆E的方程为：，其焦距为2c,则c=2，
∵，∴a=4,∴b2=a2﹣c2=12
∴椭圆E的方程为: …（5分）
(Ⅱ）方法一设P(x0，y0），l1,l2的斜率分别为k1,k2，则l1：y﹣y0=k1(x ﹣x0）
l2:y﹣y0=k2(x﹣x0），且k1k2=
由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得
∴
同理可得
从而k1,k2是方程的两个实根
所以①，且
∵，
∴，
∴x0=﹣2或
由x0=﹣2得y0=±3；由得满足①
故点P的坐标为（﹣2,3）或（﹣2，﹣3），或(）或(）21【解答】解：(1）由已知得f′（x）=a+lnx+1,故f′（e)=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；…(5分)
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx
等价于k＜对任意x＞1恒成立
令g（x）=，则g′（x）=
令h（x)=x﹣lnx﹣2，x＞1,
则h′(x）=1﹣=＞0
∴h（x）在(1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1﹣ln3＜0，h(4）=2﹣2ln2＞0，
∴h(x）在（1，+∞）上在唯一实数根x0,满足x0∈（3,4），且h（x0）=0
当x∈（1，x0)时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0;当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′(x)＞0，
∴g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增
∴g（x）min=g（x0）==∈(3，4），
∴k＜g（x）min=x0∈（3，4)，
∴整数k的最大值为3．…（12分）
22【解答】（本题满分10分）
解：（1）对于C：由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ，
∵，
∴x2+y2=4x，
∴对于l：有．…（5分）
(2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2
将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，
得，
化简得，
…（10分）
23解析(1）依题意，|x＋1|＋|x－3|≤2x。

当x〈－1时，原不等式化为－1－x＋3－x≤2x，解得x≥21，故无解；当－1≤x≤3时，原不等式化为x＋1＋3－x≤2x，解得x≥2，故2≤x≤3；
当x〉3时，原不等式化为x＋1＋x－3≤2x，即－2≤0恒成立．
综上所述，不等式f(x）＋|x－3｜≤2x的解集为[2,＋∞）．（5分)
(2）f(x)＋|x－1｜≥3⇔｜x＋a｜＋｜x－1｜≥3恒成立，
由｜x＋a｜＋｜x－1｜≥|a＋1｜可知，只需|a＋1|≥3即可,
故a≥2或a≤－4，即实数a的取值范围为{a|a≥2或a≤－4}．…（10分）。