数学专著与刊物知识摘抄

数学专著与刊物知识摘抄
《魔鬼数学》摘抄
魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量
乔丹·艾伦伯格
47个摘录笔记
◆引言数学知识什么时候能派上用场呢？
>> 如果不从事某些数学活动，就很难理解数学的真谛。

欧几里得（Euclid）告诉托勒密（Ptolemy），几何的学习没有捷径可言；门内马斯（Menaechmus）也曾经告诉亚历山大大帝要亲力亲为。

（古代科学家的一些名言有可能是人们杜撰的，但是同样有启迪作用。

我们还是坦然面对吧。

）
◆第1章要不要学习瑞典模式？
>> 这幅图被称作“拉弗曲线”（Laffer curve），在近40年时间里，拉弗曲线在共和党的经济政策中起到了极为重要的作用。

在罗纳德·里根（Ronald Reagan）的任期过半之前，拉弗曲线已经是经济学论文中一个老生常谈的话题了。

在电影《春天不是读书天》（Ferris Bueller's Day Off）中，本·斯坦（Ben Stein）在发表那篇令人震撼的著名演说时即兴说了下面这番话：>> 其他像曼昆一样的温和供应学派的经济学家认为，减税虽然会带来政府收入减少、赤字增加的即时效应，但是可以激励人们辛勤工作、创办企业，并最终增强国家的经济实力。

而支持建立福利型国家的经济学家则可能认为，减税会两头不讨好。

政府的开支能力减弱，基础设施的建设就会减少，制约诈骗行为的力度也会下降，并且在促进自由市场方面通常会不作为。

◆第3章到2048年，人人都是胖子？
>> 几十年来，针对儿童的数学教育一直是所谓的“数学战争”的战场。

一方面，有些老师强调熟记规则、解题过程流畅、遵从传统的运算法则，力求答案精准无误；另一方面，有些老师则认为在教学过程中应让学生掌握所学内容的含义，学会正确的思考方法，引导学生去发现，而不要求得出标准答案。

第一种方法被称作传统教学，而第二种则被称作教学改革，尽管这种被视为打破传统、鼓励发现的方法已经以某种形式存在了几十年，但人们对所谓的“改革”是否真的可以称作改革依旧争论不休。

>> 数学老师最不希望听到学生说“我明白这个概念，但是不会做题”。

其实，这句话的意思就是“我没弄明白这个概念”，只不过这名学生并不自知。

数学概念有时非常抽象，只有应用到具体计算当中才有意义。

威廉·卡洛斯·威廉姆斯（William Carlos Williams）说过一句简明扼要的话：凡理皆寓于物。

>> 这场较量在平面几何领域进行得最为激烈。

平面几何是教授证明方法的最后阵地，而证明是最基础的数学行为。

在众多专业的数学人眼中，平面几何是捍卫“真正的数学”的最后防线。

但是，我们在教几何学时，对证明过程的唯美、作用及意外发现应以怎样的度为宜呢？这个问题还没有明确的答案。

几何教学很容易变成重复性练习，就像一次性完成30道定积分练习题那么枯燥乏味。

这样的情形非常可怕，因此菲尔兹奖获得者戴维·芒福德（David Mumford）建议彻底放弃平面几何教学，代之以编程基础课程。

毕竟，计算机程序与几何证明有很多共通之处：两者都要求学生从多个可选项中找出若干非常简单的内容，依次将它们组合到一起，形成序列，用于完成某个有意义的任务。

◆第5章比盘子还大的饼状图
>> 在数字有可能是负值时，不要讨论它们的百分比。

>> 文艺复兴时期的意大利数学家们给出了各种各样的证明过程，在我们看来，有的证明与他们的宗教理论一样深奥难懂，而且相关性不强。

但是，他们的有些观点却不无道理：如果把负数与百分比等代数运算相结合，就会让人类的直觉无所适从。

如果你们违背我送给你们的这条箴言，各种稀奇古怪的不一致现象就会纷至沓来。

◆第8章美丽又神秘的随机性
>> 素数是数论的“原子”，是构成所有数字且不可整除的基本存在。

因为这个特点，从数论形成以来，人们一直在深入地研究素数。

数论中最先得到证明的定理之一就是欧几里得定理。

欧几里得定理告诉我们，无论我们把数轴延伸得多长，素数都是无穷多的。

>> 研究表明，素数的个数处于中游水平，比2的幂数更为常见，但是比偶数少。

在前N个数字中，大约有N/logN个素数，这就是素数定理。

19世纪末，数论学家雅克·阿达玛（Jacques Hadamard）与德·拉·瓦莱·普森（Charles-Jean de la Vallée Poussin）完成了该定理的证明。

◆第9章肠卜术与科学研究
>> 不过，现实情况并不完全如此。

统计调查人员发现，在政治科学、经济学、心理学及社会学等多个领域里，p值曲线在接近0.05这个临界值时会明显向上倾斜。

这就是p值操控造成的。

这种情况说明，大量本来位于p=0.05这个临界值之上而无法发表的实验结果，经过对数据的坑蒙拐骗、威逼利诱甚至严刑逼
供之后，变成了令人满意的结果。

这对急需发表论文的科研人员而言是好事，但对于科学研究来说则是噩耗。

◆第10章大数据与精准预测
>> 那么，什么样的想法会受到我们的青睐呢？相较于复杂想法以及以完全陌生的现象为基础的想法，我们往往更喜欢简单的想法和那些通过类比我们所熟知的事物而产生的想法。

这种喜好似乎是一种不公平的偏见，但是，如果没有任何偏见，我们就有可能整天都处于震惊的状态。

理查德·费曼（Richard Feynman）有一段非常有名的话，描述的正是这种心理状态。

大家知道吗，今晚我遇到了一件非常奇怪的事。

就在我来这儿的路上，当我从停车场经过时，一件令人难以置信的事情发生了，我看到一辆车的车牌号为ARW357。

大家想一想，我们州有好几百万个车牌号，今天晚上我看到这个车牌号的概率是多少？这太让人吃惊了！
如果大家服用过美国最流行的某种打法律“擦边球”的精神药物，就会知道一视同仁的先验概率会给我们带来什么样的感觉。

服用了那种药物之后，所有刺激都会让我们觉得意义深刻，无论这种刺激是多么平常。

每种体验都会激起我们的兴趣，让我们欲罢不能。

这样的精神状态非常有趣，但无助于我们做出正确的推理。

贝叶斯的观点可以解释费曼当时并没有真的感到吃惊的原因：对于“某种宇宙力量驱使他看到ARW357这个车牌号”的假设，他赋予了一个非常小的先验概率。

他的观点还可以解释为什么小球连续5次停在红色区域会让人们觉得其“随机程度小于”RBRRB这个结果：因为前者会触发某个想法（即红色论），所以我们赋予这个想法的先验概率并不是非常小，但是后者没有这种作
用。

而且，末位数为0的数字的随机程度似乎小于末位数是7的数字，原因是前者会使我们产生这样的想法：我们看到的这个数字不是精确的统计数字，而是粗略估计得出的结果。

◆第11章中彩票大奖与期望值理论
>> 从事一项独立研究项目的麻省理工学院大四学生詹姆斯·哈维（James Harvey），在比较该州各种彩票游戏的优缺点时发现，马萨诸塞州在不经意间创造了一个暴利投资项目，任何有一定数学知识的人都可以从中牟利。

2月7日是哈维发现这个秘密之后的第一个累积奖金向下分配日。

他召集了一群朋友（在麻省理工学院召集一帮善于计算期望值的大学生，并不是一件难事），购买了1 000张彩票。

不出所料，其中一张彩票中了概率为1/800的奖项，哈维这群人得到了2 000多美元的奖金。

他们还有很多彩票中了“6中3”奖项，他们获得的奖金总额大约是最初投资额的三倍。

哈维及其投资合伙人自然不会就此罢手，同时，他也没有足够的时间去完成那个独立研究项目，他至少没有凭此拿到课程学分。

实际上，他的研究项目迅速演变成了一桩发展势头迅猛的生意。

那年夏天，哈维及其合伙人购买了几万张彩票，在剑桥市晨星超市购买大量彩票的大学生就是他们中的一个。

尽管他们的这项活动不是漫无目的的行为，但是他们把自己的这个小团队称作“随机策略”（Random Strategies）团队，暗指麻省理工学院的本科生宿舍“兰登厅”（Random Hall）。

当初，哈维就是在兰登厅草拟了通过“Cash WinFall”赚钱的计划。

除了麻省理工学院的大学生以外，还有一些人在利用“Cash WinFall”赚钱，并且至少形成了两个博彩团队。

美国东北大学的医学研究人员张英（音）
博士建立了“张博士彩票俱乐部”，昆西的彩票销售出现井喷现象就是这个俱乐部造成的。

这群人曾在每次累积奖金向下分配时都购买30万美元的彩票，2006年，张博士放弃了医学研究，全身心地投入“Cash WinFall”博彩活动。

此外，还有一个博彩团队，它的领导人是杰拉德·塞尔比（Gerald Selbee），一位70多岁的拥有数学学士学位的老人。

塞尔比住在密歇根，这里是“WinFall”彩票的发源地。

他的这个团队有32名成员，其中大多是他的亲戚。

在2005年密歇根停止“WinFall”游戏之前的两年左右的时间里，他们一直在那里参与这种博彩活动。

2005年8月，塞尔比发现这种送钱上门的活动又开始在美国东部上演，于是他断然采取了行动，与妻子马乔丽（Marjorie）驱车前往马萨诸塞州西部的迪尔菲尔德市，开展了在那里的第一次博彩活动。

他们购买了6万张“Cash WinFall”彩票，获得了超过5万美元的收益。

塞尔比利用在密歇根积累的博彩经验，在购买彩票之余，还进行了另外一项活动，以赚取更多的利润。

马萨诸塞州的商场在销售彩票时会收取5%的佣金，塞尔比与一家商场达成协议，他在该商场一次性购买几十万美元的彩票，作为交换，商场与他均分5%的佣金。

凭此一项，塞尔比的团队在每次累积奖金向下分配时就可以多赚几千美元。

>> 缝衣针问题，是时至今日布封的名字仍然没有被数学界忘记的原因之一。

下面，我把布封的话用更准确的语言重新解释一遍：
布封的投针问题：假定地面是用细长木板条铺成的硬木地面，你手上正好有一根缝衣针，而且针的长度正好等于木板条的宽度。

把缝衣针扔到地面上，它骑在木板条缝上的概率是多少？
如果我们扔到地面上的是埃居，那么路易斯四世的脸是朝上还是朝下，对我们都没有任何影响。

圆从任何角度看都是一样的，因此，硬币骑缝的概率并不取决于它的朝向。

但是，布封使用的缝衣针却不同。

如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎平行关系，那么它骑缝的概率会非常低。

>> 相交木板条缝数的期望值就是2。

我们知道该期望值还等于πp，于是，我们算出p=2/π，这跟布封的计算结果不谋而合。

实际上，上述证明过程适用于所有缝衣针，无论它是多边形还是弯曲的，相交木板条缝数的期望值都是Lp，其中L是以木板条宽度为计量单位时缝衣针的长度。

即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面条会骑在几条地板缝上，我也能准确地告诉你它的期望值是多少。

这就是布封投针问题的一般形式，数学家们开玩笑说这是“布封的面条问题”。

>> 詹姆斯·哈维并不是第一个利用彩票的不合理设计牟利的人。

在密歇根州政府吸取教训并于2005年叫停“Cash WinFall”游戏之前，杰拉德·塞尔比的团队已经从中赚了几百万美元。

而且，类似行为早就存在。

18世纪初，法国通过销售债券为政府提供资金，但是由于利率的吸引力不够，这些债券的销售并不理想。

为了增加吸引力，政府在销售债券时搭售彩票。

每张债券的持有人有权购买一张彩票，彩票的奖金为50万里弗（livre），足够中奖者舒舒服服地生活几十年。

但是，由于财政部副部长米歇尔·勒佩尔蒂埃·福茨（Michel Le Peletier des Forts）在制订彩票计划时计算错误，导致彩票的奖金远远超过彩票销售所得。

换句话说，与累积奖金向下分配日的“Cash WinFall”一
样，彩票价值的期望值大于彩票售价，只要人们大量购买彩票，就肯定能大赚一笔。

数学家、探险家查尔斯–马利·拉孔达明（Charles-Marie de La Condamine）发现了这个秘密。

于是，他跟后来的哈维一样，召集了一帮人一起购买彩票，作家伏尔泰（Voltaire）也是其中一员。

在他们制订合作计划时，伏尔泰虽然在数学方面没有什么作为，但在其他方面做出了贡献。

当时，彩票玩家需要在彩票上写下一句箴言，以便在该彩票中大奖时流传开来。

伏尔泰觉得这是自我表现的大好时机（这也符合他的性格特征），因此他在自己的彩票上写下了“众生平等”“福茨万岁”等口号。

最终，政府发现了其中的秘密并且终止了这个计划，但是，拉孔达明与伏尔泰已经赚到了足以安享余生的钱。

否则，你以为伏尔泰仅凭那些文字优美的随笔与短剧就能维持生计吗？当时与现在一样，靠写作是不可能发大财的。

>> 政府每销售一张彩票，就会返还0.80美元。

还有0.40美元去哪儿了？这些钱变成了向下分配的奖金。

如果仅拿出0.80美元作为奖金，将无法清空奖池。

累积奖金越来越高，到达200万美元之后，就会产生向下分配的奖金。

此时，彩票从本质上发生了一些变化。

犹如打开了泄洪闸，累积奖金像洪水一样倾泻而出，流到那些翘首以盼的聪明人手中。

政府也许会遭受经济损失，但是我们需要放宽眼界。

玩家中奖所得的那些钱本来就不是马萨诸塞州政府的，从一开始这笔钱就要以奖金的形式返还给玩家。

政府从每张彩票中拿走0.80美元，然后把剩余的钱返还给玩家。

销售的彩票越多，政府的收益就越高。

政府不关心谁会中奖，他们关心的是有多少人参与这项活动。

因此，在那几个博彩团队通过参与向下分配日的博彩活动赚取丰厚利润时，他们拿走的也不是政府的钱，而是其他玩家的钱，特别是那些决策不当、在非向下分配日参与博彩活动的那些玩家的钱。

这些博彩团队没有击败庄家，因为他们就是庄家。

◆第12章效用理论、风险与不确定性
>> 因此，我们不应该问“政府为什么要浪费纳税人的钱”，正确的问题是“政府浪费纳税人的钱以多少为宜”。

用施蒂格勒的话说：“如果我们的政府没有浪费行为，那只能说明他们在反浪费方面花了太多的时间。

”
>> 帕斯卡把这页手稿缝到自己外套的衬里中，一直到他去世。

在经历了“熊熊火焰”之夜后，帕斯卡基本不再从事数学研究，而把全部智慧投入到宗教研究之中。

1660年，他的老朋友费马致信给他，提议面谈，但是帕斯卡回复道：
与你开诚布公地讨论几何学，对我来说是最好的学术活动。

但是，与此同时，我发现几何学毫无用处，在我看来，几何学家与心灵手巧的工匠几乎没有区别……我现在的研究与几何学思维方式相去甚远，我已经快忘记几何学是什么了。

两年之后，帕斯卡就去世了，年仅39岁，他留下了一些准备结集出版、捍卫基督教的笔记与简短随笔。

在他去世8年之后，这本书才得以出版，就是《思想录》。

这部伟大的著作里有大量的警句格言，内容深奥。

书中用简短的语句记录了帕斯卡种种灵光一现的想法，还带有编号：
199. 我们可以想象有一群人镣铐加身，都被判处了死刑。

每天他们之中都有一些人会在其他人的眼前被处死，而那些暂时活着的人则从被处死者身上看
到了自己的命运，等着被押上刑场。

他们面面相觑，眼睛里充满悲伤，看不到一点儿希望。

这就是人类境况的缩影。

209. 你被主人宠爱就不再是奴隶了吗？奴隶啊，你确实是交了好运，你的主人宠爱你，但他很快也会鞭打你。

《思想录》中最知名的是第233条想法，帕斯卡把它命名为“无限–无物”，但是现在人们普遍叫它“帕斯卡的赌注”（Pascal's wager）。

我们在前面讨论过，帕斯卡认为逻辑推理是无法解答上帝是否存在这个问题的，“‘上帝要么存在，要么不存在’。

但是，我们到底应该相信哪一种呢？在这个问题上，推理得不出任何答案。

”不过，帕斯卡没有就此止步。

他指出，信仰问题其实也是一种赌博游戏，它的风险很大，但是人们别无选择，只能参与。

至于对赌注的分析，以及对明智与愚蠢做法的区分，帕斯卡的理解比地球上其他人都更加深刻，他毕竟没有完全忘记他的数学研究。

那么，帕斯卡到底是怎么计算信仰上帝的期望值的呢？答案就在他的玄妙发现中：
尘世一天的劳作，换来的是持久的愉悦。

◆第13章祝你下一张彩票中大奖！
>> 对于法诺及其信徒而言，直线“看起来像”直线、圆、野鸭还是其他任何东西并不重要，重要的是这些直线遵从欧几里得及其后来者关于直线的定义。

只要它的特性与射影平面相似，我们就认为它是射影平面。

有人认为，这种行为会把数学与现实割裂开来，应当予以抵制。

但是，这种观点过于保守了。

研究发现，我们运用几何学方法思考那些看起来不像欧几里得空间的物体，甚至理直气壮地把它们称作“几何体”，这种大胆的做法，在我们理解相
对时空几何学时，发挥了非常重要的作用。

时至今日，我们在展望互联网前景时还会使用广义的几何学理论。

几何学理论的变化更大，如果欧几里得重生，估计他也无法辨认，这就是数学了不起的地方。

我们所定义的一系列概念，如果是正确的，即使它们被用到远远超出当初构建情境的更大范围中，也不会有问题。

>> 如果香农编码的代码块的位数为50，代码块的总数就是50个0、1构成的不同代码块的总数，即250个，这个数字略大于1 000兆。

卫星接收到的信号应该是（或者至少接近于）这些代码块中的一个，但是代码块一共有1 000兆个，它接收到的到底是哪一个代码块呢？如果我们必须从这1 000兆个代码块中逐一甄别，就太麻烦了，因为这又是一个组合爆炸问题。

因此，我们必须再次采取一种平衡的策略。

像海明码这种条理清晰的编码往往更易于解码，但是事实证明，这些非常特别的编码，其效率通常比不上香农研究的那些随机编码。

时至今日，几十年过去了，数学家一直在结构性与随机性这两个概念之间进退维谷，在绞尽脑汁地发明各种编码时，既希望其有足够的随机性，可以快速处理数据，又希望其有充分的结构性，以便降低解码的难度。

◆第14章我们为什么无法拒绝平庸？
>> 西克里斯特潜心记录美国的商业统计数据，并分析其规律。

经过几十年的努力，他认为自己找到了答案：竞争的本质就是打压成功企业，而扶持能力较弱的企业。

西克里斯特指出：
贸易准入没有任何限制，再加上竞争持续不断，平庸状态将会成为永恒现象。

新创建的公司相对来说“能力不足”，至少经验不足。

如果某些新公司取得了成功，它们就要面对市场竞争。

但是，在那些不择手段、不明智、信息不透
明以及欠考虑的经营方式面前，卓越的判断力、促销意识与诚信经营根本没有用武之地，其结果必然是零售业人满为患、店铺规模小且效率低下、营业额不高、开支相对较大、利润微薄。

只要所有人都可以进入自由市场（这是实情），“自由”地竞争，优势与劣势就不会长久地存在；平庸会成为常态，一般智力水平的经营者会占大多数，他们所采用的经营手段也会变成主流。

如今，商学院的教授会说这样的话吗？这是不可想象的。

现代的主流观点认为，自由市场竞争是一把手术刀，能像切除腐肉一样，把那些竞争力不强的企业，以及业绩比优秀企业低10%以上的企业一起淘汰。

这与西克里斯特的观点正好相反。

>> 一位作家在他的第一部小说大获成功之后，或者一个流行乐队在其第一张专辑销售火爆之后，第二部作品受欢迎的程度往往会下降，这是为什么呢？不是（至少不全是）因为大多数艺术家的能力只是昙花一现，而是因为艺术家跟所有人一样，他们的成功也是天赋与运气共同作用的结果，也会受到回归效应的影响。

◆第15章父母高，孩子不一定也高
>> 皮尔逊的公式里有许多平方根与比例，如果我们对笛卡儿几何学的掌握没有达到驾轻就熟的程度，皮尔逊的公式就不可能对我们有所启发，因此，我在这里就不列出这个公式了，大家也无须查阅相关资料。

不过，皮尔逊的公式有一个非常简单的几何描述方法。

从笛卡儿开始，数学家就热衷于在现实世界的代数描述与几何描述之间来回切换。

代数的优势在于形式严谨，易于输入电脑；而借助几何学，我们则可以凭直觉处理眼前的难题，当拥有绘图能力
时，这个优势会更加明显。

有很多数学知识我无法真正地理解，但是，一旦了解了它的几何含义之后，我就会豁然开朗。

>> 这就是用几何语言表述的皮尔逊公式，两个变量之间的相关性是由这两个向量之间的夹角决定的。

如果用三角学来描述，相关性就是夹角的余弦。

>> 如果夹角既不是锐角也不是钝角，而是直角，那么这两个变量之间不存在相关性。

在几何学中，我们把夹角为直角的两个向量叫作“垂直”（perpendicular）或“正交”（orthogonal）向量。

数学家以及那些对三角学情有独钟的人经常延伸“orthogonal”这个词的内涵，用它来表示某个东西与手头上的东西没有任何关系。

例如，“你可能以为你深受欢迎的原因与你的数学技能有关，但是，根据我的经验，这两者之间没有任何‘交集’（orthogonal）”。

慢慢地，为三角学痴迷者们所青睐的这种用法就变成了人们广泛使用的语言。

我从美国高等法院近期发生的口头辩论中摘选了一段，帮助你们了解这个现象。

>> 看看这幅图我们就能知道，两个坐标轴代表的变量之间不存在相关性，越靠近图的上部，这些点向左右两侧偏斜的趋势就越明显。

但是，这并不意味着这两个变量之间没有任何关系。

事实上，上图已经清楚地表现出它们之间存在某种关系。

该图呈“心形”，两侧各有一个叶瓣，底端形成一个顶点。

当选民得到的信息增多时，他们倾向于支持民主党或共和党的程度不会有显著变化，但是他们两极分化的态势却更加明显：左右两侧与中心的距离越来越远，而中间稀疏的部位变得更加稀疏。

在图的下半部分，对政治了解程度较低的选民往往会采取更加中立的态度。

这幅图反映了一个重要的政治事实：总体来说，某些选民摇摆不定并不是因为他们没有盲从某些政治信条，正在认真地。