(完整版)平行四边形及特殊平行四边形含答案

平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题
一、 选择题(每题3分，共30分)。

1．平行四边形ABCD 中，∠A=50°，则∠D=（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 130°
D. 不能确定 2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 一组对边相等
B. 对角线互相平分
C. 一组对角相等
D. 对角线互相垂直
3．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFCD 周长是（ ） A ．14 B. 11 C. 10 D. 17
4．菱形具有的性质而矩形不一定有的是( )
A ． 对角相等且互补
B ． 对角线互相平分
C ． 一组对边平行另一组相等
D ． 对角线互相垂直
5．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ） A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm
6． 如图在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则以下说法错误的是( )
A ．AB=
2
1AD B ．AC=BD
C ．ο90===∠=∠CDA BC
D ABC DAB D ．AO=OC=BO=OD
7．如图5连结正方形各边上的中点，得到的新四边形是 ( ) A ．矩形 B.正方形 C.菱形 D.平行四边形
8. 一矩形两对角线之间的夹角有一个是600, 且这角所对的边长5cm,则对角线长为( ) A. 5 cm B. 10cm C. 52cm D. 无法确定 9. 当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )
A. 菱形
B. 等腰梯形
C. 正方形
D. 无法确定. 10.如图所示，在
ABCD 中，E 、F 分别AB 、CD 的中点，连结DE 、EF 、BF ，则图中平行四边形共有
（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个 二、 填空题（每题3分，共24分 ）
11．□ABCD 中, AB ：BC=1：2，周长为24cm, 则AB=_____cm, AD=_____cm.
12．已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加__________，（只需填一个你认为正确的条件即可）你判断的理由是：_____________________________。

13．一个矩形的对角线长10cm ，一边长6cm ，则其周长是 ，面积是 。

14．已知菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm, 则其周长为 ,面积为 . 15．正方形的对角线是2，那么边长为_____，周长为____，面积为_______。

16．用两个全等的三角形，能拼成一个平行四边形，这样的平行四边形的周长取值最多有________个。

17．如图，宽为50cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中
一个小长方形的面积为_________。

图5
F
A
B
D
C
E
18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，PE ⊥AC 于点
E ，P
F ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为：_________。

三、解答题（共46分）
19．如图9平行四边形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：BE=DF
(提示：可以用AAS 定理证明：△CFD ≌△AED) (6分)
20如图8：某菱形的对角线长分别是6cm ，8cm ，求菱形周长和面积。

（6分）
22．（8分）已知四边形ABCD ，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得到四边形ABCD 是平行四边形的结论？试一试，并说明理由（至少写3组）。

①AB=CD ②AB ∥CD ③BC ∥AD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D
23．小红的房门做好了, 现要检测这房门是否成矩形, 你有什么办法帮他吗? 说说看.(6分)
A
B
F
E
1
2
图9
A
G
E
B
C
F D 提高训练
1．如图，四边形ABCD 是菱形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，分别交BD 、CD 于点E 、F ，
连接CE ．
（1）求证：∠DAE ＝∠DCE ；
（2）当AE ＝2EF 时，判断FG 与EF 有何等量关系？并证明你的结论？
2．如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上， CE ∥BF ，连接BE 、CF ． (1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB=AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．
3．(10分)如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD
的中点，AG ∥BD 交CB 的延长线于点G ． (1)求证：△ADE ∽≌△CBF ；
(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特 殊四边形？请说明你的理由．
4．已知：如图14，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC , EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G 。

求证：AE ＝ FG .
A
D
C
B
E
G
F
图14
5.如图11，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若
MF∥AD，FN∥DC，则∠B = °．
6.如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF
上，则AD= .
7.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落
在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．
8.探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AE⊥CD于点E．若AE=10,
求四边形ABCD的面积.
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC于点E.
若AE=19，BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为.
9.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求证：OE=OF
（2）若BC=23，求AB的长。

10.在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE. （1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形.
11.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一
个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．
12.如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时
BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
求证：BD⊥CF；
(3)在(2)小题的条件下,AC与BG的交点为M，当AB=4，AD=时，求线段CM的长．
13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t ≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t ≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ；
Q
P
N
M F
E D
C
B
A
（第9题）
答案
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CD ∴∠OAE=∠OCF, ∠OEA=∠OFC ∵AE=CF ∴△AEO ≌△CFO(ASA)∴OE=OF
(2)解：连接BO ∵OE=OF, BE=BF, ∴OB ⊥EF,且∠EBO=∠FBO ∴∠BOF=90° ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCF=90°又∵∠BEF=2∠BAC, ∠BEF=∠BAC+∠EOA ∴∠BAC=∠EOA, ∴AE=OE ∵AE=CF, OE=OF ∴ OF=CF ∵BF=BF ∴△BOF ≌△BCF(HL)
∴∠OBF=∠CBF ∴∠CBF=∠FBO=∠OBE ∵∠ABC=90° ∴∠OBE=30°∴∠BEO=60° ∴∠BAC=30°∵tan ∠BAC=BC:AB ∴tan30°
=23:AB ∴AB=6
探究：过点A 作AF ⊥CB ,交CB 的延长线于点F . ∵AE ⊥CD ，∠BCD ＝90︒，∴四边形AFCE 为矩形. ∴∠FAE ＝90︒.∴∠FAB ＋∠BAE ＝90︒.∵∠EAD ＋∠BAE ＝90︒，∴∠FAB ＝∠EAD . ∵AB ＝AD ，∠F ＝∠AED ＝90︒，∴△AFB ≌△AED . ∴AF ＝AE .∴四边形AFCE 为正方形. ∴ABCD S 四边形＝AFCE S 正方形＝2AE ＝210＝100.
解：当△CEB ′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，∴∠AB ′E=∠B=90°， 当△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C=90°，
∴点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，如图， ∴EB=EB ′，AB=AB ′=3，∴CB ′=5﹣3=2，设BE=x ，则EB ′=x ，CE=4﹣x ， 在Rt △CEB ′中，∵EB ′2+CB ′2=CE 2，∴x 2+22=（4﹣x ）2，解得x=，∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．
解：（1）证明：连结CE.∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE=1
2
AB=AE.∵△ACD是等边三角
形，∴AD=CD.在△ADE与△CDE中，AD=CD,DE=DE,AE=CE,∴△ADE≌△CDE.∴∠ADE=∠CDE=30°.
∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°.∴DE∥CB.
(2)∵∠DCB=150°,若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°.∴∠B=30°.
（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至
CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△DCE′中
，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；（3）解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，
α==135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，α=360°﹣=315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△
CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）证明：设BG交AC于点M．∵△BAD
≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．(3)过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴
AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN
中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．
∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM==。