人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，已知点D ，E 是AB 的三等分点，DF ，EG 将ABC 分成三部分，且////DF EG BC ，图中三部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 的值为（ ）
A ．1:2:3
B ．1:2:4
C ．1:3:5
D ．2:3:4 2．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，将它绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，A C ''与边AB 交于点
E ，则A E '的长为（ ）
A ．72
B ．4924
C ．8425
D ．9125
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ）
A ．()8,4-
B ．()10,3-
C ．()10,4-
D ．()8,3- 4．如图，矩形ABCD 中，AD m =，AB n =，要使BC 边上至少存在一点P ，使ABP △、APD △、CDP 两两相似，则m 、n 间的关系式一定满足（ ）
A ．12m n ≥
B ．m n ≥
C ．32m ≥
D ．2m n ≥ 5．如图，在正方形ABCD 中，
E 为BC 中点，3D
F FC =． 联结AE AF EF 、、．那么下列结果错误的是( )
A ．ABE △与ECF 相似
B ．ABE △与AEF 相似
C ．ABE △与ADF 相似
D ．AEF 与ECF 相似
6．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）
A ．5
B ．2
C ．4
D ．5 7．已知
a 3
b 4=，则下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b = C ．4a=3b D ．43b a = 8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=5：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．5：7
B ．10：4
C ．25：4
D ．25：49 9．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC 相似
的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）
A ．AD AC AC A
B = B ．AD CD CD BD =
C ．DE C
D CD DG = D ．EG BD EF BG = 12．如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（ ）
A ．2.5
B ．5
C ．22
D ．3
二、填空题
13．如图所示，在ABC ∆中，4BC =，E ，F 分别是AB ，AC 的中点．（1）线段EF 的长为_____；（2）若动点P 在直线EF 上，CBP ∠的平分线交CE 于点Q ，当点Q 把线段EC 分成的两线段之比是1∶2时，线段EP 、BP 之间的数量关系满足EP BP +＝_____．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21
AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．
15．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）
16．如图，直线////a b c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 相交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若2AB =，3BC =，3DE =，则EF =_______．
17．已知⊙O 的半径为2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以AP 为边作等腰Rt △APG ，P 点在圆上运动一周的过程中，OG 的最大值为____．
18．已知13x y =，则x y y
-的值为______ 19．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252-，则ABC 的面积是_______．
20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点E ，若10AB =，6BC =，则AE =_______．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数122
y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）过点P 作//PM y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标．
（3）当2PBA OAB ∠=∠时，求点P 的坐标．
22．如图，在边长为1的55⨯的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上．
（1）ABC 与DEF 是否相似？请说明理由．
（2）请在空白网格上画出MNP ABC △∽△，并指出相似比．（要求MNP △三个顶点都在格点上，并与ABC ，DEF 都不全等）
MNP ABC △∽△，相似比为__________．
23．已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（1）画出△ABC 向下平移4个单位得到的△A 1B 1C 1；
（2）以B 为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比2：1，直接写出C 2点坐标是 ；
（3）△A 2BC 2的面积是 平方单位．
24．综合与实践
将矩形ABCD 和Rt CEF △按如图1的方式放置，已知点D 在CF 上（2CF CD >），90FCE ∠=︒，连接BF ，DE ．
特例研究
（1）如图1，当AD CD =，CE CF =时，线段BF 与DE 之间的数量关系是_______；直线BF 与直线DE 之间的位置关系是_______；
（2）在（1）条件下中，将矩形ABCD 绕点C 旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
探究发现
（3）如图3，当2CF CE =，2CB CD =时，试判断线段BF 与DE 之间的数量关系和直线BF 与直线DE 之间的位置关系，并说明理由；
知识应用
（4）如图4，在（3）的条件下，连接BE ，FD ，若22CE CD ==，请直接写出22BE FD +的值．
25．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；
②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明；
（2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM
=，作直线HE ． ①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出
点P 的位置，若不存在，请说明理由；
②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．
26．已知ABC ，延长BC 到D ，使CD BC =.取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．
（1）求
AE AC
的值； （2）若18AB =，FB EC =，求AC 的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据题意易得ADF AEG ABC ，则有13AD AB =，23AE AB =．进而可求得119ABC S S =，213ABC S S =，359ABC S S =，最后即可求出结果．
【详解】
∵DF ∥EG ∥BC ，
∴ADF AEG ABC ，
∵D 、E 是AB 的三等分点， ∴13AD AB =，23
AE AB =， ∴119ABC S S =，49AEG ABC S S =．
∵21411993AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=，34599
ABC AEG ABC ABC ABC S S S S S S =-=-=． ∴123115::::1:3:5939ABC ABC ABC S S S S S S =
=．
故选C ．
【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
过点D 作DF ⊥AB 于F ，易证四边形EFDC´是矩形，可得C´
E=DF ,由勾股定理求得AB 的长，根据已知和相似三角形的判定可证明△ACB ∽△DFB ，可得AC AB DF BD
=，J 进而求得DF 值，由A´E=A´C´﹣C´即可求解．
【详解】
解：过点D 作DF ⊥AB 于F ，则∠DFB=90°，
∵△ABC 绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，
∴∠C=∠C´=∠A´EB=90°，AC=A´C´=7，CD=BD=12，
∴四边形EFDC´为矩形，
∴C´E=DF ，
∵在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=7，BC=24， ∴222272425AC BC +=+=，
∵∠C=∠DFE ，∠B=∠B ，
∴△ACB ∽△DFB ，
∴AC AB DF BD =即72512
DF =， ∴DF=8425
=C´E ， ∴A´E=A´C´﹣C´
E=7﹣8425=9125， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识的灵活运用，添加恰当的辅助线是解答的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据题意可求得CE 、OF 的长度，根据点E 在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．
【详解】
解：∵四边形ABCO 是矩形
∴90ECF FOA B ∠=∠=∠=︒
∵将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A
∴90AFE B ∠=∠=︒
∴90CEF CFE OFA CFE ∠+∠=∠+∠=︒
∴CEF OFA ∠=∠
∴Rt ECF Rt FOA ∽
根据题意可设CE x =，则8BE x =-，则8BE x =-
∵4CF =
∴在Rt ECF △中，()2
2248x x +=- ∴3x =
根据题意可设OF y =
∵Rt ECF Rt FOA ∽ ∴
CE CF OF OA = ∴348
y = ∴6y =
∴6OF =
∴10CO CF OF =+=
∴点E 的坐标为()10,3-．
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理、矩形的性质、翻折变换、坐标与图形变化（轴对称）、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．
4．D
解析：D
【分析】
由于△MNP 和△DCP 相似，可得出关于MN 、PC 、NP 、CD 的比例关系式．设PC=x ，那么NP=m-x ，根据比例关系式可得出关于x 的一元二次方程，由于NC 边上至少有一点符合条件的P 点，因此方程的△≥0，由此可求出m 、n 的大小关系．
【详解】
解：若设PC=x ，则NP=m-x ，
∵△ABP ∽△PCD ，
AB BP PC CD ∴=即,n m x x n
-= 即x 2-mx+n 2=0方程有解的条件是：
m 2-4n 2≥0，
∴（m+2n ）（m-2n ）≥0，则m-2n≥0，
∴m≥2n ．
故选：D ．
【点睛】
本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决． 5．C
解析：C
【分析】
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF 是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．
【详解】
解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：
54AE EF AF ======， ∴222552541616
AE EF AF +=
+==，∴△AEF 是直角三角形， ∴在RT △ABE 、RT △ECF 、RT △ADF 、RT △AEF 中， ∠B=∠C=∠AEF=∠D ，42,3
AB EC AE AD BE CF EF DF ====， ∴RT △ABE 、RT △ECF 、RT △AEF 两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A 、B 、D 正确，C 错误，
故选C ．
【点睛】
本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据位似图形的性质可得DF =2AC ，然后根据两点间的距离公式求出AC 即可解决问题．
【详解】
解：∵DEF 与ABC 是位似图形，且相似比为2:1，
∴DF =2AC ，
∵
AC ==
∴DF =
故选：A ．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】 解：由34
a b =得，4a=3b ， A 、由等式性质可得：ab=12，原变形错误，故这个选项符合题意；
B 、由等式性质得到4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；
D 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；
故选：A ．
【点睛】
本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】 根据题意证明DEF
BAF ，再利用相似比得到面积比． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//CD AB ，CD AB =，
∵:5:2DE EC =，
∴:5:7DE DC =，
∴:5:7DE AB =， ∵
DEF BAF ， ∴22::25:49DEF BAF S S DE AB ==．
故选：D ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形相似比和面积比的关系． 9．B
解析：B
【分析】
本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】
解：由勾股定理得：AB ，BC ＝2，AC ，
∴AC ：BC ：AB ＝1
A 、三边之比为1
，图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似； B 、三边之比：1
△ABC 相似；
C
3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似；
D 、三边之比为2
△ABC 不相似． 故选：B ．
【点睛】
此题考查三角形相似判定定理的应用，解答关键是应用勾股定理求出边长．
10．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理得到DE=
12
BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】 ∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点， ∴12
DE BC =
，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽， ∴2DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC
214S ∆=， 解得，8BOC S ∆=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
通过证明△ACD ∽△ABC ，可得AD AC AC AB =，通过证明△ACD ∽△CBD ，可得AD CD CD BD =，通过△ADE ∽△GDB ，△ACD ∽△CBD ，可得DE CD CD DG
=，通过证明△GEF ∽△GBD ，可得=EG BG EF BD
，即可求解． 【详解】
解：∵CD ⊥AB ，
∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，
∴∠BCD +∠ABC ＝90°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD +∠BCD ＝90°，
∴∠ACD ＝∠ABC ，
又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，
∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB
=， 故A 选项不合题意；
∵∠ACD ＝∠ABC ，∠ADC ＝∠BDC ，
∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD CD BD
= 故B 选项不合题意；
∵AF ⊥BG ，
∴∠AFB ＝90°，
∴∠FAB +∠GBA ＝90°，
∵∠GDB ＝90°，
∴∠G +∠GBA ＝90°，
∴∠G ＝∠FAB ，
又∵∠ADE ＝∠GDB ＝90°，
∴△ADE ∽△GDB ， ∴=AD DE GD BD
， ∴AD •BD ＝DE •DG ，
∵△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD
， ∴CD 2＝AD •BD ，
∴CD 2＝DE •DG ， ∴DE CD CD DG
=， 故C 选项不合题意；
∵∠G ＝∠G ，∠EFG ＝∠GDB ＝90°，
∴△GEF ∽△GBD ， ∴=EG BG EF BD
故D 选项符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．
12．B
解析：B
【分析】
如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得=OA OF BD BH
，即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．
∵菱形ABCD 的边AB=10，面积为80，
∴AB •DH=80，
∴DH=8，
在Rt △ADH 中，226AH AD DH =
-=， ∴HB=AB-AH=4，
在Rt △BDH 中，2245BD DH BH +=， 设⊙O 与AB 相切于F ，与AD 相切于J ，连接OF ，OJ ，则OF ⊥AB ，OJ ⊥AD ，OF=OJ ， ∴OA 平分∠DAB ，
∵AD=AB ，
∴AE ⊥BD ，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF ∽△DBH ，
∴=OA OF BD BH ， ∴4
45OF ， ∴5
故选：B ．
【点睛】
本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
13．22或8【分析】（1）运用中位线性质求解即可；（2）延长BQ交射线EF 于M根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC根据两直线平行内错角相等可得∠M=∠CBM再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠C
解析：2 2或8
【分析】
（1）运用中位线性质求解即可；
（2）延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而
得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=1
3
CE求出
EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】
解：（1）∵E，F分别是AB，AC的中点
∴1
=
2
EF BC
∵BC=4
∴EF=2；
（2）如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵点Q把线段EC分成的两线段之比是1：2，
∴CQ=1
3
CE，
∴EQ=2CQ，
由EF ∥BC 得，△MEQ ∽△BCQ ， ∴2EM EQ BC CQ
==， ∴EM=2BC=2×4=8，
即EP+BP=8，
当CQ=2EQ 时，同法可得，EM=2，EP+PB=EM=2．
故答案为：EP+BP=8或EP+PB=2．
故答案为：2；8或2．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
14．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD 中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定
解析：3
【分析】
证明DEF BCF ，可得31
BF CB DF ED ==，结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】
在平行四边形ABCD 中，AD BC =，//AD BC ， ∵
21
AE ED =，AE ED AD +=，∴13ED AD = ∵//AD BC ，13
DF ED ED BF BC AD ∴===． ∴3BCF DGF S BF S DF ==． 故答案为：3．
【点睛】
本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
15．②⑤【分析】根据相似图形的性质对各个选项逐个分析即可得到答案
【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等故不一定相似；两个等边三角形一定相似；两个菱形的内角不一定相等故不一定相似；两个矩形的相邻边长比例不
解析：②⑤
【分析】
根据相似图形的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【点睛】
本题考查了图形相似的知识；解题的关键是熟练掌握相似图形的性质，从而完成求解． 16．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后根据比例的性质求EF 的长
【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ∴即∴EF=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例 解析：92
【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到
AB DE BC EF =，然后根据比例的性质求EF 的长． 【详解】
解：∵直线a ∥b ∥c ， ∴AB DE BC EF
=，即23=3EF ， ∴EF=92
． 故答案为：
92． 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 17．【分析】连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O 于点H 连接AHHCOP 首先证明∠OAP ∽△HAG 推出由OP=2可得HG=2由OG≤OH+HG 推出O G≤2+2由此即可解决问题；【详解】解：连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O
解析：2+
【分析】
连接OA ，作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ，连接AH ，HC ，OP ．首先证明∠OAP ∽△HAG ，推出
2
OP OA HG AH ==，由OP=2，可得，由OG≤OH+HG ，推出，由此即可解决问题；
【详解】
解：连接OA ，作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ，连接AH ，HG ，OP ．
∵OA =OH ，∠AOH =90°，
∴AH 2OA ，
∴AP =PG ，∠APG =90°，
∴AG 2AP ， ∴22
OA AP AH AG ==， ∵∠OAH =∠PAG =45°，
∴∠OAP ∽△HAG ， ∴22
OP OA HG AH ==． ∵OP =2，
∴HG 2．
∵OG ≤OH +HG ，
∴OG 2，
∴OG 的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
18．【分析】可得y=3x 代入所求式子可得结论【详解】解：∵∴y=3x ∴=故答案是：【点睛】本题主要考查了比例的性质解题时注意：内项之积等于外项之积 解析：23
- 【分析】
可得y=3x ，代入所求式子可得结论．
【详解】
解：∵13
x y =， ∴y=3x ，
∴x y y -=3233
x x x -=-， 故答案是：23-
． 【点睛】
本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
19．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的
解析：2
【分析】
根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．
【详解】
解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），
∴13BD BC 122
=-=： ∵ABD △的面积是2
∴ABC 的面积()
22==
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．
20．5【分析】首先由勾股定理求出AC 再证明得到进而列方程求解即可【详解】
解析：5
【分析】
首先由勾股定理求出AC ，再证明~ABE CDE ∆∆，得到
AB AE CD CE
=，进而列方程求解即可．
【详解】 90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，
8AC ∴==，
∴设AE x =，则8CE x =-， BD 平分ABC ∠，
ABD DBC ∴∠=∠，
又//AB CD ，
ABD BDC ∴∠=∠，
DBC BDC ∴∠=∠，
6BC CD ∴==，
//AB CD ，
∴~ABE CDE ∆∆，
AB AE CD CE ∴
= 1068x x
∴=- 解得5x =，
5AE ∴=
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）2
722y x x =--；（2）3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】
（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A 、B 点坐标，代入列方程组可解答；
（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP ，可知相似存在两种情况：
①当∠CBP=90°时，如图1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，证明△AOB ∽△BNP ，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B 和P 是对称点，可得P 的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；
（3）设点A 关于y 轴的对称点为A′，求出直线A′B 的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．
【详解】
解：（1）令0x =，得1222y x =
-=-，则()0,2B -， 令0y =，得1022
x =
-，解得4x =， 则()4,0A ，
把()4,0A ，()0,2B -代入()20y ax bx c a =++≠中，
得
1640
2
b c
c
++=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
7
2
2
b
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴抛物线的解析式为：2
7
2
2
y x x
=--．
（2）∵//
PM y轴，
∴90
ADC
∠=︒，
∵ACD BCP
∠=∠，
∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：
①当90
CBP
∠=︒时，如图，过P作PN y
⊥轴于N，
∵90
ABO PBN ABO OAB
∠+∠=∠+∠=︒，
∴PBN OAB
∠=∠，
∵90
AOB BNP
∠=∠=︒，
∴Rt PBN Rt BAO
△△，
∴
PN BN
BO AO
=．
设2
7
,2
2
P x x x
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
．
∴
2
7
22
2
24
x x
x
⎛⎫
----
⎪
⎝⎭
=
，化简得2
3
2
x x
-=．
解得0
x=（舍去）或
3
2
x=．
当
3
2
x=时，
2
2
7373
225
2222
y x x⎛⎫
=--=-⨯-=-
⎪
⎝⎭
．
∴
3
,5
2
P
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；
②当90CPB ∠=︒时，如下图，则//PB x 轴，所以B 和P 是对称点，
所以当2y =-时，27222
x x --=-，解得0x =（舍去）或72x =． ∴7,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 综上，点P 的坐标是3
,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
（3）设点A 关于y 轴的对称点为'A ，则'A B AB =．
∴'BAO B AO ∠=∠．
直线'A B 交抛物线于P ．
∴'2PBA BAO BA O BAO ∠=∠+∠=∠．
∵()4,0A ，
∴()'4,0A -．
设直线'A B 的解析式为()0y kx b k =+≠．
∵()0,2B -．
∴4002k b k b -+=⎧⎨⋅+=-⎩
． 解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．
∴直线'A B 的解析式为122
y x =--， 由方程组2122722y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，得230x x -=． 解得0x =（舍去）或3x =．
当3x =时，117232222y x =--=-⨯-=-． 所以点P 的坐标是73,2⎛⎫-
⎪⎝⎭． 【点睛】 此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．
22．（1）ABC DEF ∽△，理由见解析；（2）画图见解析，相似比为2：1 【分析】
（1）先根据勾股定理求得每条边的长度，再根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）先画出MNP △，再根据似三角形的判定即可证明，由此可得答案．
【详解】
解：（1）ABC DEF ∽△，理由如下：
∵在边长为1的55⨯的正方形网格上，有两个三角形，它们顶点都在格点上． ∴22112AB =+=，2AC =，221310BC ，
22125DE =+=，221310DF =+=，5EF =， ∴
21055AB DE ==，10510AC DF ==，105BC EF =， ∴AB AC BC DE DF EF
==， ∴ABC DEF ∽△；
（2）如图，MNP ABC △∽△，理由如下：
由题意可知：22222MP =
+=2MN =，224225NP =+= ∴
2222MP AC ==，22MN AB ==25210NP BC == ∴2MP MN NP AC AB BC
=== ∴MNP ABC △∽△， 2：1，
21．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
23．（1）图见解析；（2）图见解析，2C （1，0）；（3）10
【分析】
（1）利用平移的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形；
（2）利用位似图形的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形，进而可得点C 2的坐标；
（3）根据所画图形判断出△A 2BC 2为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；
（2）如图所示：△A 2BC 2即为所求，C 2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A 2C 2=BC 2=224225+=，A 2B=2262210+=，
∴A 2C 22+BC 22= A 2B 2，
∴△A 2BC 2是等腰直角三角形，且∠A 2C 2B=90°，
∴△A 2BC 2的面积位为：
12
×（25）2＝10平方单位， 故答案为：10．
【点睛】
本题考查平移变换和位似变换的性质、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式，掌握变换性质，正确得出变换后的对应点的位置是解答的关键．
24．（1）BF DE =，BF DE ⊥；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3）2BF DE =，BF DE ⊥，理由见解析；（4）22BE FD +的值为25．
【分析】
（1）先证FBC EDC ∆∆≌，便可证得BF=DE ，∠BFC=∠CED ，再根据直角三角形两锐角互余及直角三角形判定不难证得BF ⊥DE ；
（2）方法同（1），问题易证；
（3）利用CED ∆∽CFB ∆证得∠BFC=∠CED ，再根据直角三角形两锐角互余及、对顶角相等及直三角形的判定即可证得结论成立；
（4）延长ED 交BF 于点G ，根据勾股定理求出EB 2，FD 2，FE 2，不难求出结果．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，∠BCD =90︒ ，BC=CD ，
在Rt CEF △，∠FCE=90︒，FC=CE ，
∴∠BCD=∠FCE ，
∴FBC EDC ∆∆≌，
∴BF DE =，∠BFC=∠DEC
∵∠BFC+∠FBC=90︒，
∴∠FBC+∠DEC=90︒，
∴BF DE ⊥
故答案为：BF=DE ，BF DE ⊥
（2）（1）中结论仍然成立．
理由如下：如图，延长ED 交FB 于点G ，交FC 于点H ，
四边形ABCD 是矩形，90BCD ∴∠=︒，AD BC =，
90BCF FCD ∴∠+∠=︒，
90FCE ∠=︒，90DCE FCD ∴∠+∠=︒，
BCF DCE ∴∠=∠．
AD CD =，BC CD ∴=，
在FBC ∆和EDC ∆中，BC DC =，BCF DCE ∠=∠，CF CE =，
()FBC EDC SAS ∴∆≅∆．
BF DE ∴=，BFC DEC ∠=∠．
90FCE ∠=︒，90DEC CHD ∴∠+∠=︒，
FHG CHD ∠=∠，90BFC FHG ∴∠+∠=︒，90FGE ∴∠=︒，
BF DE ∴⊥．
∴（1）中结论仍然成立．
（3）2BF DE =，BF DE ⊥．
如图，延长ED 交CF 于M ，交FB 于N ．
四边形ABCD 是矩形，90BCD ∴∠=︒，90BCF FCD ∴∠+∠=︒，
90FCE ∠=︒，90DCE FCD ∴∠+∠=︒，
BCF DCE ∴∠=∠．
2CF CE =，2CB CD =， 12CE CD CF CB ∴==． CED CFB ∴∠=∠，12
DE BF =． 2BF DE ∴=．
90CME CED ∠+∠=︒，90CME CFB ∴∠+∠=︒．
CME FMN ∠=∠，90FMN CFB ∴∠+∠=︒．
90FNE ∴∠=︒．
BF DE ∴⊥．
（4）如图，
延长ED 交BF 于点G ，则EG ⊥BF 于G ，
∵22CE CD ==，2CF CE =，2CB CD =
∴CD=1，CF=4，BC=2，
∵在RtFGD 中，GF 2+GD 2=FD 2，
在RtGBE 中，GE 2+GB 2=BE 2，
∴BE 2+FD 2=（GF 2+GE 2）+（GB 2+GD 2）=22EF BD +
连接BD ，则BD 2=225BC CD += ，
∵在Rt △FCE 中，EF 2=22222420CF CE +=+=
∴BE 2+FD 2=20+5=25．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及旋转变换等知识，侧重考查了对知识的综合应用．
25．（1）①见解析；②BH CE =，证明见解析；（2）①存在，点P 是边BC 的中点；②3
【分析】
（1）①按要求画出图形即可；
②根据全等三角形对应边相等来回答；
（2）①点P 为直线HE 与BC 的交点；
②通过△BPM ∽△BAP 问题可解；
【详解】
（1）①如图
；
②BH CE =
证明ABH ACE ∆≅∆即可
（2）①存在
点P 是边BC 的中点，
理由：设直线HE 与边BC 交于点P
可由60ACB AEP ︒∠=∠=
得点,,,A E C P 共圆， 因为90AEC ︒∠=，
所以90APC ︒∠=，
即P 是BC 的中点．
②如图， 当MP ⊥HE 时，MP 最大，
理由：4,2,1AB BP BM ===， BM BP BP AB
∴=， B B ∠∠=，
∴△BPM ∽△BAP ，
∴∠BMP=∠BPA=90︒ ，
2222213BP BP BP ∴=-=-
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．
26．（1）
2
3 AE AC
=
；（2）27．
【分析】
（1）如图，连接FC、AD．易证FC是△ADB的中位线，则FC∥AD，且FC=
1
2
AD；然后由“平行法”证得△EFC∽△EDA，则该相似三角形的对应边成比例：
AE AD
CE FC
==2，所以由比例的性质可以求得
AE
AC
的值；
（2）利用（1）中的比例式，把
1
2
AB=FB=EC=9代入，即可求得AC的长度．
【详解】
解：（1）如图，连接FC、AD．
∵点F是AB的中点，CD=BC，
∴FC是△ADB的中位线，
∴FC∥AD，且FC=1
2
AD．
∴△EFC∽△EDA，
∴AE AD
CE FC
==2，
∴
1
2
3
3
AC AC
AE AC EC
AC AC AC
-
-
===；
（2）∵点F是AB的中点，AB=18，FB=EC，
∴EC=1
2
AB=9．
由（1）知，
2AE CE =，则29
AE =，故AE=18， ∴AC=AE+EC=18+9=27．
【点晴】 本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似三角形对应边成比例即可求得线段的比,正确作出辅助线是解题的关键．。