学年第二学期高三年级质量调研测试数学试题

z ( y
x
， ， (1 n
x x ， 3)
)
x (1 n ) ( N 0 金山区 2016 学年第二学期高三年级质量调研测试数学试题
2017.04.05
（满分 150 分，答题时间 120 分钟）
考生注意：
1．本场考试时间 120 分钟．试卷共 4 页，满分 150 分．答题纸共 2页． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位 置．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上 作答一律不得分．
4．用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有
12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． ，则 A B _____
． B
x x 2， x R 1．已知集合
A x x
1，x R ，集合 z |
_______ _ . 2．已知复数
z 满足 (2 3i) 3 2i （ i 为虚数单位） ，则 | sin x 2cosx
f (x)
的最小正周期是 __________ ．
3．函数
2cosx sin x
2 2
x y 2x ，则 a ______ ．
4．已知双曲线
1(a 0)的一条渐近线方程为 a
2
a 2
3
5．若圆柱的侧面展开图是边长为
4cm 的正方形，则圆柱的体积为 ______ cm （结果精确
3
）．
到 0.1cm x y 0
z
2x y 的最大值是 ________ ．
6．已知 x ，y 满足 x y 2，则 x 2 0
x t 1 x 3cos （ 为参数）的交点个数是 ______ ．
（ t 为参数）与曲线
7．直线
y 2sin
y 2 t
2 x 0,
1
1
1
的反函数是 f (x)
f ( )= _______ .
8．已知函数
f (x)，则 2 lo
g 2 x 0 x 1
2
3
*
9．设多项式 1 x (1 x) )的展开式中 x 项的
T ( )
，，
， x )
( T n 系数为 n ，则
lim ________ .
n
n
2
10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为
0.01和 p ，
每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 0.9603，
则 p = _______ . f (x) x x a ，若对任意 11．已知函数
x 1
2,3 ， x 2 2,3 ， x 1
x 2，恒有
1 x
2 f x 1 f x 2)
f (
x
，则实数 a 的取值范围为 ___________ ．
2
2 k k 0，函数 的图像上总存在点 C ，使得以 C 为圆心， 1为半
f (x)
12．对于给定的实数 x
径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 1，则 k 的取值范围是 _______ ．
二、选择题（本大题共有
4 题，满分 20 分，每题
5 分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设 a ，b
R ，则“ a b 4”是“ a 1且 b 3”的（
）．
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条件
14．如图， P 为正方体 ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1中 A C 1与 B D 1的交点，则 Δ PAC 在该正方体各
个面上的射影可能是（
）．
D 1 C 1
B 1
A 1
P D
C A
B ①
②
③ ④
（A ）①②③④
（B ）①③
（C ）①④
（D ）②④
15．如图， AB 为圆 O 的直径且 AB 4， C 为圆上不同于 A 、 B
C 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 (PA PB) PC 的
P 最小值是（ ）． A
B
O
（A ） 4
（B ） 3
（C ） 2
（D ） 1
16．设 x 1 ，x 2， ，x 10 为1 2 10的一个排列，则满足对任意
第 15题图
正整数 m ，
n ，且 1 m n 10，都有 m
m x n n 成立的 不同排列的个数为（ ）．
（A ）512
（B ）256 （C ）255
（D ）64
、 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 8分，第 2小题满分 6 分）
如图，在正方体
ABCD A 1B 1
C 1
D 1中，
E
F 分别是线段 BC 、C D 1的中点． （1）求异面直线 EF 与 A A 1所成角的大小； D 1
C 1
（2）求直线 EF 与平面 A A 1B 1B 所成角的大小．
A 1
B 1
F
D
C
E
A
B
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6分，第 2小题满分 8 分）
某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室， 地面形状如图所
π π 示，已知已有两面墙的夹角为 （即 ACB ），墙 AB 的长度为 6米（已有两面墙的可
3
3
利用长度足够大） ，记 ABC
．
π （1）若
0.01米）；
4
，求 Δ ABC 的周长（结果精确到 ABC 的面积
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即 尽可能大．问当
为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．
A
B
C
2 n
S 19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6分，第 2小题满分 8 分）
已知抛物线
y
2
2px （ p 0），其准线方程为 x 1 0，直线 l 过点 T (t , 0)（t 0）
且与抛物线交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点．
（1）求抛物线方程，并证明：
OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关；
（2）若 P 为抛物线上的动点，记 | PT |的最小值为函数 d(t) ，求 d (t)的解析式．
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
对于定义域为 D 的函数 y f (x)，如果存在区间 [ m, n] D ，其中 m n ，同时满
足：① f (x)在[m,
n]内是单调函数； ②当定义域是 [m, n]时，f ( x)的值域也是 [m, n]．
则称函数 f ( x)是区间 [m,
n]上的“保值函数” ，区间 [m, n]称为“保值区间” ．
（1）求证：函数
g( x) x
2
2x 不是定义域 [0,1]上的“保值函数” ；
1 1 （2）若函数 f (x) 2
R ,a 0）是区间 [ m , n]上的“保值函数” ，
a
a 2
x
（ a 求 a 的取值范围；
（3）对（ 2）中函数 f ( x)，若不等式 |a 2
f ( x) | 2x 对 x 1恒成立，求实数 a 的取值
范围．
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
*
已知数列 { a n } 中， k (a 2 )对任意 n a 1
1，a a ， a n
a n N 成立， 数列 { a } 1
n 的前 n 项和为 S n ．
（1）若 { a n } 是等差数列，求 k 的值； 1 （2）若 a 1， k
2
，求 n ；
（3）是否存在实数 k ，使数列 { a n }是公比不为 1的等比数列且任意相邻三项
a m ， a m ，
1 k 的值；若不存在，请说明理由．
a m 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有
2 2016 学年第二学期高三质量调研数学
参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评
分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评
阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题
的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给
分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．
4．给分或扣分均以1分为单位．
一. 填空题（本大题满分54 分）本大题共有12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．( 1,2)；2．1；
3．π；4．3；
5．5.1；6．3；
7．2；8．1；
9. 1
；10. 0.03；2
11．3, ；12. 0,2 .
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
13. B ；14. C ；15．C ；16. A .
三．解答题（本大题满分74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.( 本题满分14分）本题共 2 小题，第（1）小题8 分，第（2）小题 6 分.
解：（1）设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，D D1为x，y ，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0 , 0 , 0) ，B(2 , 2 , 0)，C (0 , 2 , 0) ，D1(0 , 0 , 2)，
故E(1, 2 , 0)，F (0 ,1,1) ，
,,,,,,,,,,,,,,, 4 分
EF { 1, 1,1} ，A A1 {0,0,2}
设异面直线EF 与A A1所成角的大小为，向量EF 与A A1所成角为
，则
EF A A1
cos cos ,,,,,,,,,,,,,,,, 6 分
EF A A
1
1 3 3
arccos
3 3
3
3
,,,,,,,,,,, 8 分
即异面直线EF 与A A1所成角的大小为arccos
3
A A1B1B的一个法向量是n (1, 0 , 0)，,,,,
（2）由（1）可知，平面10 分
设直线EF 与平面，则
A A1B1B所成角的大小是，向量EF 与n所成角为
EF n
sin cos ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分
EF n
3 3
sin ，
arcsin
3 3
3
即直线EF 与平面 A A1B1B所成角的大小为arcsin ．,,,,,,,, 14分
3
(不用建立空间直角坐标来解相应给分)
18．（本题满分14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分8 分.
解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得
sin sin AC BC sin 1
1 x A 2
y ky
y y x x OB
OA 4
2
2
1 2
1 2
1 2 1 sin y kt π AB AC BC
，,,,,,,,,,,,,,,,,
2分
π π π π
sin 3 4 3 4
7π 化简得， AC 2 6， BC 4 3 sin
6 3 2 ，,,,,,,,
4分
12
所以， c
AC BC AB 3( 6 2) 17.59米， 即Δ ABC 的周长为 17.59米；,,,,,,,,,,,,,,,,
6 分 1 π
（2） S 8分 ABC 2 3
,,,,,,,,,,,,,,,,
π
,,,,,,,,,,,,,,,,,, 10分
=12 3 sin sin
3 1 3 12 3 sin
cos
2
2
1 cos2
3
2
6 3(sin 3 sin cos ) 6 3 sin 2 2
2
π
12 分
6 3 sin 2
3 3 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,
6 2π π π 因为 0 2
，所以当 3
6
2
，
π 即
取到最大值
9 3平方米． ,,,,,,,,,,
14 分
3
时， S ABC 19.( 本题满分 14分）本题共 2 小题，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分. 解：（1）由题意， p
2，所以抛物线的方程为 y
2
4x ．,,,,,,,
2 分
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x
t ，则 A(t , 2 t )， B(t , 2 t )，
OA OB t
2
4t ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
3 分
当直线 l 的斜率 k 存在时，则 k
0，设 l 的方程为 y k(x t) ， ( , )， B( x 2, y 2)， 4
y
2
4x ,
y 1 y 2
,
由
消去 x ，得 4 4 0，故
k
y k (x t ) ,
y 1 y 2
4t ,
y 2 y
2
所以， y y t
t ．,,,,,,,, 5 分
16
综上， OA OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关． ,,,,,,,,,,, 6 分
2 2
（2）设 P( x 0, y 0)，则 | ( x 0
t )
2
y
[ x 0 (t 2)]
2
4t 4 ，
y
4 x 0， | PT
2
2 a
x x
2
a ,,,,,,,,,,,,,,,,
8 分 2 t 1 , t 2 , 因为 0，所以 x 0
d (t )
,,,,,,,,,,,,,,
14 分
t ,
0 t 2 .
20.( 本题满分 16分）本题共 3 小题，第（ 1）小题 4分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分.
解：（1）函数 g (x)
x 2 2x 在 x [0,1]时的值域为 [ 1,0]，,,,,,
2 分
不满足“保值函数”的定义， 因此函数 g (x)
x
2
2x 不是定义域 [0,1]上的“保值函数” ．,,,,,,
4 分
1 1 （2）因为函数 f (x) 2
2
x
在[ m, n]内是单调增函数，
a
a 因此 f (m)
m, f (n) n ，,,,,,,,,,,,,,,,,
6 分
1 1 因此 m, n 是方程 x 的两个不相等的实根，
a
a x
等价于方程 (2 2
a )x 1 0有两个不相等的实根 a 2 x
2
,,,,,,,
8 分 3
1
2
2
由
(2a
a ) 2
4a
0解得 a
或 a ．,,,,,,,,,, 10 分
2
2
2
1
2a a
1 a
2 f (x) 2
（3） a 2
f (x)
2a
2
a
，| a f (x) | 2x
2
2
2，
x
x
x
2
2a
a 2x 1
,
x 即为
对 x 1恒成立． ,,,,,,,,,,,,,,,, 12分
1 2
2a
a 2 x ,
x
1 1
令 h ( x)
2x h( x) 在[1,
)单调递增，同理 g (x)
2x 在 [1, )单调递减．
x
，易证 因此， h( x )min h (1) 3, g( x)max
g (1) 1．,,,,,,,,,,,,,
14分
2
2a a 3, 3 所以
解得
1．,,,,,,,,,,,,,,,,
15 分
a 2
2
2a
a
1,
3 1 又 a
或 a
，所以 a 的取值范围是
1 1．,,,,,,,,
16 分
2
2
21.( 本题满分 18分）本题共 3 小题，第（ 1）小题 4分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 8 分.
2 a 2
a
k
*
解：（1）若{ a n } 是等差数列， 则对任意 n N ， ，a a n a n
a n 1，即 2 a n a n a n n 1
2
1 2 1 故 k
4 分
2
．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1 （2） k
a n 1
( a n a n 2) ，即 2 a n
a n a n ， 1
1
2 2
时， 2
a n
a n (a a n )，故 a n a n
(a n
a n 1) a n a n ．,,
5 分
2
1 n 1 3
2
2
1 所以，当 n 是偶数时，
n
S n a 1 a 2 a 3 a 4 a n a n
(a 1 a ) n ；,,,,,,,,, 7 分
1 2
( a 2) 2，
当 n 是奇数时， a 2 a 3
a 1 S n
a 1 a 2
a 3 a 4
a n a n
a 1 (a a 3) (a a 5) (a a n ) 1 2 4
n 1
n 1 1
( 2) 2 n ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
8分
2
2 n , n 2k 1, *
综上， ( k N )．,,,,,,,,,,,,,,,
10 分
S n
n ,
n 2k
a 2 a 1，
（3）若 { a n } 是等比数列，则公比 q
a ，由题意 a 1
1
1
故 a m
a
m a m 1
a
m ，
a m a
m ， ．,,,,,,,,,,,,,,
11分
2
m
m 1
m 1
2
① 若 1为等差中项，则 ，即 2a
a
a
， 2a 1 a ， a m 2a a m a m m 1 2 解得 a 1（舍去）；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 13 分
m 1
m
m 1
2
② 若 m 为等差中项，则
2，即 2a a
a
， 2 a a ，
2a a m a m m 1 a m a
m
a
2
1
因为 a ；, 15 分 1，解得 a
2， k
1
1
2
a m a m
a
m a
m 1 a
5
2
m 1
m
m 1
③ 若 1，即 2a
a
a
， 2a
2
a 1，
a m 为等差中项，则 2 a m a m a m 2 2 1 因为 a 1，解得 a
17 分
2
， 1 a 5
2
．,,,,,,,,,,,,
2
综上，存在实数 k 满足题意， k ．,,,,,,,,,,,,
18 分
5。