高考热身卷(一).docx

A
B
C
G （第12题）
高中数学学习材料
鼎尚图文*整理制作
2015年江苏高考热身卷（一）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合A ={x |x 2＜1，x ∈R)，B ={x |x 2－x ＞0，x ∈R}，则A ∩B = ▲ ． 2． 已知复数z 满足z
i
=1+i(i 是虚数单位)，则z = ▲ ．
3． 某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的
成绩如下表：
分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) 人数
1
3
6
6
2
1
1
由此可估计200名应聘者中达到80分及以上的有 ▲ 人．
4． 如图是一个算法流程图，若输入n 的值是6，则输出S 的值是 ▲ ． 5． 已知4本不同的教科书中有2本是数学书，从这4本书中随机取
2本，则所取的两本书中至少有一本是数学书的概率是 ▲ ．
6． 一个正四棱锥的底面边长和高都为2，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ． 7． 顶点在原点且以双曲线x 2
3－y 2=1的左准线为准线的抛物线方程是
▲ ．
8． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 8=2a 3a 6，S 5=－62，则a 1的值是 ▲ ．
9．设集合A ={(x ，y )|x 2+y 2+2x －1=0}，B ={(x ，y )|(x +t )2≥y 2}．若A ⊆B ，则实数t 的取值范围为 ． 10．若θ∈(0，π4)，且sin2θ=14，则sin(θ－π
4
)的值为 ▲ ．
11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足当x ≥0时，f (x )=⎩⎨⎧2x 2
， 0≤x ≤1，
3x －x 3
， x ＞1，
若(第4题) 开始 否 输出S 是 S ←0 n < 3 S ←S +n n ←n - 1
结束
输入n
函数g (x )=f (f (x ))－c 在闭区间[－2，2]上有9个不同的零点，则实数c 的取值范围为 ▲ ． 12．如图，点G 为△ABC 的重心，GA ⊥GB ，AB 6=，则AC BC ⋅的值为 ▲ ．
13． 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x
， 0≤x ≤1，
－e 2x +32
e ，1＜x ≤3．若方程
f (x )=m 有2个不同的解x 1，x 2，且x 1
x 2，则x 1
f (x 2)
的
取值范围是 ▲ ．
14．已知实数α，β，γ，cos2α+cos2β+cos2γ=1，sin α+sin β+sin γ=0，则tan γ的最大值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答． 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
已知△AB C 的面积为S ，且2S =AB →2－BA →·BC →
． （1）求角A 的大小；
（2）若S =1，BC =5，求△ABC 的最短边的长．
16．(本小题满分14分)
如图四棱锥P-ABCD 中，PB PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，∠ABC =60°，DC =1，AD =3．
（1）求证：AB ∥平面PCD ； （2）求证：P A ⊥BC ．
17．(本小题满分14分)
如图，某城市有一个五边形的地下污水管网主通道ABCDE ，四边形BCDE 是矩形，其中CD =8km ，BC =3km ；△ABE 是以BE 为底边的等腰三角形，AB =5km ．现欲在B ，E 的中间点P 处建地下污水处理中心，为此要过点P 建一个“直线型”的地下水通道MN 接通主管道，其中接口处M 点在矩形BCDE 的边BC 或CD 上．
A
B P
C
D
P
P
（第16题）
x
y
O
B
A
C
D
P （第18题）
（1）若点M 在边BC 上，设∠BPM =θ，用θ表示BM 和NE 的长；
（2）点M 设置在哪些地方，能使点M ，N 平分主通道ABCDE 的周长？请说明理由．
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，点A (13，23
)在椭圆E
上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点P (－4t ，t )在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交
点分别为C ，D ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）求证：直线CD 的斜率为定值．
19．(本小题满分16分)
已知函数f (x )=(x +1)e x (x ∈R)． （1）求函数f (x )的极小值；
（2）已知函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =－2对称，证明：当x ＜－2时，f (x )＜g (x )； （3）若函数y =f (x )的图象与直线y =m 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0， 证明：f ′(x 0)＜0．
20．(本小题满分16分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +S n =pn 2+qn +r ，其中p ，q ，r 是常数，n N *∈． （1）若数列{a n }是等差数列且p =5，q =13，r =－2，求数列{a n }的通项公式；
A
N
E
D
C
M B P
Q
(第17题)
D
C
B
A
（2）①求证：数列{a n }为等差数列的充要条件是3p －q +r =0；
②若r =0，且{a n }是首项为1的等差数列，设T i =
1+1a i 2+ 1a i +12
，Q n =∑n
i =1
(T i －1)． 试问：是否存在非零函数f (x )，使得f (n )Q 1Q 2…Q n =1，对一切正整数n 都成立，若存在，求出f (x )的解析式；否则，请说明理由．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．
内作答．．．
． A ．（选修４－１：几何证明选讲）
如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直 平分线．已知AB =6，CD =25，求线段AC 的长度．
B ．（选修４－２：矩阵与变换） 若点A (2,1)在矩阵M =⎣⎡⎦⎤
1 a b －1对应变换的作用下得到点B (4,5)，求矩阵M 的逆矩阵．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，设圆C 经过点P (3，π6)，圆心是直线ρsin(π3－θ)= 3
2
与极轴的交点，求圆C 的
极坐标方程．
D ．（选修４－５：不等式选讲）
设a ，b ，c 均为正数，abc =1．求证：1a +1b +1
c
≥a +b +c ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）
如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，BA ⊥ACC ，AB ＝AC ＝A 1B ＝2，A 1B ⊥平面ABC ．
（1）求异面直线AA 1与BC 所成角的大小；
z
y
x
C 1
B 1
B C
A A 1
（第22题）
（2）若P 是棱B 1C 1上一点，且AP ＝14，求二面角P －AB －A 1的余弦值．
23．（本小题满分10分）
设有限集合A n ={a 1，a 2，…，a n } (n ≥3)同时满足下列两个条件： ①对于任意的i ，j (1≤i ＜j ≤n )，1≤a i ＜a j ；
②对于任意的i ，j ，k (1≤i ＜j ＜k ≤n )，a i a j ，a j a k ，a i a k 三个数中至少有一个数是集合A n 中的元素． （1）若n =3，且a 1=2，a 3=6，求a 2的值； （2）求n 的最大值，并证明你的结论．
2015年江苏高考热身卷（一）
参考答案及评分标准
1． {x |－1＜x ＜0}； 2．－1+i ； 3．40； 4．18； 5．5
6； 6．45； 7．y 2=6x ；
8．－2； 9．t ≥3或t ≤－1； 10．－
64； 11．(－2,2)；12．72； 13．[0,1
e
)； 14． 2 15．【解】（1）法一：设角，，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
因为2S =AB →2－BA →·BC →
即2×12ac sin B =c 2－ac cos B ， …………… 2分
由正弦定理化得sin A sin B sin C =sin 2C －sin A cos B sin C ，
三角形中sin C =sin(A +B )＞0，即有sin A sin B = sin(A +B )－sin A cos B ， ……………… 4分 亦即sin A sin B =cos A sin B ，由sin B ＞0，得tan A =1，
因为A ∈(0，π)，即A =π
4． ………………… 7分
法二：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
因为AB →2－BA →·BC →=AB →2+AB →·BC →=AB →(AB →+BC →)=AB →·AC →， ………………… 3分 所以2S =AB →2－BA →·BC →可化为bc sin A =bc cos A ，即sin A =cos A ， ………………… 5分 因为A ∈(0，π)，即A =π
4． ………………… 7分
（2）因为a =5，S =1，所以1
2bc sin A =1，即bc =22， ………………… 9分
由余弦定理得a 2= b 2+ c 2－2bc cos A ，得b 2+c 2=9． ………………… 11分
由⎩⎨⎧bc =22，b 2+c 2=9得⎩⎨⎧b =22，c =1或⎩⎨⎧b =1，c =22．
………………… 13分 所以最短边的长为1． ………………… 14分
16．【证】（1）因为AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，
CD ⊂平面PCD ，
所以AB ∥平面PCD ． ……………………… 6分 （2）过C 点作AB 的垂线交AB 于E 点，
因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，∠ABC =60°，DC =1，AD =3． 易
得
AC
=CB =AB =2， …………………………… 7分
取BC 中点M ，连接AM ，PM ． 因为，PB =PC ， 所以PM ⊥BC ， 因为AC =AB ，
所以AM ⊥BC ， ……………………… 9分 又因为AM ∩PM =M ，
AM ，PM ⊂平面P AM ， …………………………… 12分 所以BC ⊥平面P AM ． …………………………… 13分 因为AP ⊂平面P AM ，所以P A ⊥BC ． …………………………… 14分 17．解：（1）当点M 在边BC 上，
设∠BPM =θ(0≤tan θ≤3
4)，在Rt △BPM 中，BM =BP tan θ=4tan θ． ……………………… 2分
在△PEN 中，不妨设∠PEN =α，其中sin α=35，cos α=4
5；
则 PE sin(π―θ―α)=NE
sin θ， 即NE =
4sin θsin(θ+α) = 20sin θ4sin θ+3cos θ = 20tan θ
4tan θ+3
； …………… 6分
（2）若点M 在边BC 上，
由BM +AB +AN =MC +CD +DE +EN ，得BM －EN =2； 即2tan θ－10tan θ4tan θ+3=1；
所以8tan 2θ－8tan θ－3=0，
解得tan θ=2－104＜0或tan θ=2+104＞3
4
，
A
B P
C
D
P
P
M
（第16题）
A
N
E
D
C
M B P
Q
(第17题)
A
N
E
D
C
M B
P
Q
(第17题)
与0≤tan θ≤3
4
矛盾，所以均不符合题意； …………… 9分
当点M 在边CD 上时，令CD 中点为Q ，由对称性，不妨设点M 在线段CQ 上； 设∠QPM =θ(0≤tan θ≤3
4)，在Rt △QPM 中，QM =QP tan θ=3tan θ．
在△P AN 中，设∠P AE =β，其中sin β=45，cos β=35；P A sin(π―θ―β)=AN
sin θ，
由
P A sin(π―θ―β) = AN sin θ，得AN =3sin θsin(π―θ―β)=15sin θ3sin θ+4cos θ=15tan θ
3tan θ+4
；
由MC +CB +BA +AN =MQ +QD +DE +EN ，得AN =MQ ；即3tan θ=15tan θ3tan θ+4；
所以 3tan 2θ+4tan θ=5tan θ，即3tan 2θ－tan θ=0，
所以tan θ=0或tan θ=1
3，符合题意． ……………………………………… 12分
当tan θ=0，CM =4，M 位于CD 中点Q 处；
当tan θ=1
3，CM =4－1=3，M 在到C 距离为3km 处；由对称，M 在到C 距离为5km 处也可；
答：当M 位于CD 中点Q 处，或M 在到C 的距离为3km 或5km 处时，
M ，N 平分总通道ABCDE 的周长． ……………………………………… 14分 18．解：（1）A 点坐标代入得19a 2 +4
9b
2=1，且
1－b 2a 2 = 22
， 解得a 2
=1，b 2
=1
2
，
所以椭圆E 的方程为：x 2+2y 2=1； ………………………………… 6分
（2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，
，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=， ……………………… 8分 又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则10131
10131
(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧
=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2221x y +=并整理得，
22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，
从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-， ① ……………………… 12分 同理可得，2220002021(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-，②
①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=， ……………………… 14分
因为220021x y +<,所以12λλ=，
从而//AB CD ，故2CD AB k k ==． ……………………… 16分 19．【解】（1）()e (1)e (2)e x x x f x x x '=++=+，令()0f x '=，则2-=x ， ………………1分
当x 变化时，()f x '，)(x f 的变化情况如下表：
x
)2,(--∞
-2 ),2(+∞- ()f x ' - 0 +
)(x f
减
极小值
增
所以函数)(x f 在2-=x 处取得极小值2(2)e f --=-． ……………………3分 （2）因为函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于2-=x 直线对称，
所以4()(4)(3)e x g x f x x --=--=--． ……………………4分 当2-<x 时，
记4()()()(1)e (3)e x x F x f x g x x x --=-=+++，
4()(2)(e e )x x F x x --'=+-， ……………………5分 令44
1()e e e e x x x x
h x --+=-=-，可知)(x h 在)2,(--∞上是单调增的， 所以0)2()(=-<h x h 又02<+x ，所以4()(2)(e e )0x x F x x --'=+->，
于是函数)(x F 在区间(]2,-∞-上是增函数． ……………………8分 因为22(2)e (e )0F ---=---=，所以，当2-<x 时，0)2()(=-<F x F ．
因此)()(x g x f < ……………………9分 （3）方法一：设1(,)A x m ，2(,)B x m ，由（1）不妨设212x x <-<， 由（2）得)()(11x g x f <，又11()()f x g x -
-=４， 所以)4()(11x f x f --<，即)4()(12x f x f --<， 又因为21-<x ，所以241->--x ，而22->x ，
且)(x f 在),2(+∞-单调递增，所以124x x --<， ……………………14分 所以
22
2
1-<+x x ，即02x <-，
所以0()0f x '< ……………………16分 方法二：不妨设1(,)A x m ，2(,)B x m ， 且12x x ≠， 要证0()0f x '<，只要证02x <-，即证
22
2
1-<+x x ，即证124x x --<， (*) ① 若12(2)(2)0x x ++= ，由（1）及12()()f x f x m ==，
得12x x =与12x x ≠矛盾； ②若12(2)(2)0x x ++>，由（1）及12()()f x f x m == ，
得 12x x =与12x x ≠矛盾； ……………………12分 由①②可知12(2)(2)0x x ++<．不妨设212x x <-<． 由（2）得)()(11x g x f <，又)()4(11x g x f =--， 所以)4()(11x f x f --<，即)4()(12x f x f --<， 又因为21-<x ，而22->x ，
且f (x )在),2(+∞-单调递增，所以124x x --<,所以(*)式成立． …………………16分 20．【解】（1）方法一：由题意，25132n n a S n n +=+-， 设数列{a n }的公差为d ，则有211(1)
(1)51322
n n a n d na d n n -+-++
=+-， 即
2211()()513222
d d
n a n a d n n +++-=+-， ……………………………3分 因为上式对任意正整数n 均成立，所以⎩⎪⎨⎪
⎧d
2 =5，a 1－d =－2，a 1
+ d 2 =13，
解得1
8a =，10d =，
所以102()n a n n N *=-∈． ……………………………5分 方法二：由题意，25132n n a S n n +=+-（*）， 令1n =得，18a =，
令2n =得，2244a S +=，所以218a =． ……………………………2分 因为数列{a n }是等差数列，所以102()n a n n N *=-∈． ……………………………4分
所以21()
532
n n n a a S n n +=
=+， 代入（*）式检验，符合题意，
所以102()n a n n N *=-∈． ……………………………5分 （2）①充分性：
方法一：已知3q p r =+，
211(1)(1)n n a S p n q n r +++=++++， ① 2n n a S pn qn r +=++， ②
①－②得，12(21)n n a a p n q +-=++， ③ 又 212(23)n n a a p n q ++-=++， ④
④－③得，21232n n n a a a p ++-+=， ……………………………7分 即有2112()()2n n n n a a a a p +++---=， 令1n n n b a a +=-，则122n n b b p +-=， 所以 12(2)2n n b p b p +-=-， 令1n =，代入②得12a p r =+， 令2n =，代入②得24a p r =+， 所以1212b a a p =-=，即120b p -=，
所以20n b p -=，2n b p =为常数，即12n n a a p +-=为常数，
所以数列{a n }是以2p r +为首项，2p 为公差的等差数列． ……………………………9分 方法二：因为30p q r -+=，所以2(3)n n a S pn p r n r +=+++， 当1n =时，1142a S p r +=+，12a p r =+，
当2n n N *∈，
≥时，211(1)(3)(1)n n a S p n p r n r --+=-++-+， 两式相减得，12(21)3n n a a p n p r --=-++
22pn p r =++， ……………………………7分
两边同乘以12n -得，111222(2)2n n n n n n a a pn p r ----=++， 叠加得，11212122[2(1)222(2)(222)]n n n n n n a a p n n p r ----=+-+
+⨯++++
+，
化简得，12(1)2(2)(22)n n n n a p n p r +=-++-， 所以2n a pn r =+，从而，12n n a a p +-=为常数，
所以，数列{a n }为等差数列． ……………………………9分 必要性：
因为{a n }为等差数列，设公差为d ，由2n n a S pn qn r +=++，
得2111
(1)(1)2
a n d na n n d pn qn r +-++-=++，
即2111()()()022d d p n a q n a d r -++-+--=对任意正整数n 都成立．
所以⎩
⎪⎨⎪⎧1
2d －p =0，a 1+12
d －q =0，a 1―d ―r =0，
所以30p q r -+=． ……………………………12分 ②因为{a n }是首项为1的等差数列，由①知，公差d =1，所以a n =n ． …………………13分 所以2222
2222
11(1)(1)1(1)(1)i i i i i T i i i i ++++=++=++
(1)1111
11(1)(1)1
i i i i i i i i ++=
=+=+-
+++， 所以1
111111111
(1)(1)(1)(1)112233411
n
i i T n n n n ==+-++-++-+
++
-=+-++∑， 因此1111
n n
Q n n =-=
++． ……………………………15分 于是12
1
1
n Q Q Q n =
+，即12
(1)1n n Q Q Q +=，所以f (x )=x +1． …………………16分
21． A ．连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，
所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得 CE 2＝AE ·EB ，又5CE =，即有(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x = 所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，30AC =． ……………………………10分
21．B ．2415⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,3.a b =⎧⎨=⎩，∴1231M ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦， 解法一：1
2
det()731
M ∴=
=--， 1
1
21
2777731317777M ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
． ……………………………10分 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1
M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e f
e f +-⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦
∴31,30,20,2 1.
c d e f c d e f +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,
71.
7c d e f ⎧
=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪
⎪=-⎩
1127
73177M -⎡⎤
⎢⎥
∴=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． ……………………………10分 21．C ．因为圆心为直线2sin(
)sin
3
3
π
π
ρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)， 又圆C 经过点36
P π（，）
， ∴圆的半径3123cos 16r π
=+-=，∴圆过原点， ∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=． ……………………………10分
（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）
21．D ．由,,a b c 为正数，根据平均值不等式，得112a b ab +≥，112b c bc
+≥，11
2a c ac
+≥
． 将此三式相加，得1112222()a b c ab bc ac ++≥++，即11111
1a b c ab bc
ac
++≥++
．
由1abc =，则有1abc =． 所以，
111abc abc abc a b c a b c ab bc ac
++≥++=++．……………………………10分 22． 解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则C (0, 2, 0)，B (2, 0 , 0)，A 1(0,－2, 2)，B 1(4, 0 , 2)．
从而，AA 1→＝(0,－2, 2)，BC →＝B 1C 1→
＝(－2, 2, 0)． 记AA 1→与BC →
的夹角为θ，则有cos θ＝AA 1→·BC →
|AA 1→|·|BC →|
＝－48·8＝－12．
又由异面直线AA 1与BC 所成角的范围为（0，π），
可得异面直线AA 1与BC 所成的角为60º． ……………………………5分
（2）记平面P AB 和平面ABA 1的法向量分别为m 和n ，则由题设可令m ＝(x , y , z )，且有平面ABA 1的
法向量为n ＝(0,2,0)．
设B 1P →＝λB 1C 1→
＝(－2λ, 2λ, 0)，则P (4－2λ, 2λ, 2)．
于是AP ＝(4－2λ)2＋(2λ)2＋22＝14，解得λ＝12或λ＝3
2
．
又题设可知λ∈(0, 1)，则λ＝32舍去，故有λ＝1
2
．
从而，P 为棱B 1C 1的中点，则坐标为P (3, 1, 2)． ………………………6分 由平面P AB 的法向量为m ，故m ⊥AP →且m ⊥PB →
．
由m ·AP →
＝0，即(x , y , z )·(3, 1 ,2)＝0，解得3x ＋y ＋2z ＝0； ① 由m ·PB →
＝0，即(x , y , z )·(－1,－1,－2)＝0，解得－x －y －2z ＝0，② 解方程①、②可得，x ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，z ＝1，
则有m ＝(0,－2, 1) ． ………………………8分 记平面P AB 和平面ABA 1所成的角为β，
则cos β＝m ·n |m |·|n |＝(0,－2, 1)·(0, 2, 0) 5·2＝－425
＝－255．
故二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值是25
5
． ……………………………10分
23．解：（1）由①，得2＜a 2＜6．
由②，2a 2，6a 2，12中至少有一个是集合A 3={2，a 2，6}中的元素， 因为6a 2，12＞6，故2a 2=6，所以a 2=3．
经检验，当a 2=3时，符合题意． ……………………………………3分 （2）n 的最大值为4，证明如下： ……………………………………4分 ①令A 4={1，2，3，6}，则A 4符合①、②． ……………………………………6分
②假如A n 符合①、②，其中有4个元素大于1，a l 为A n 中最大元素，a k 为A n 中第二大元素， 设为a i ，a j ，a k ，a l ，且1＜a i ＜a j ＜a k ＜a l ， 则a i a l ＞a l ，a j a l ＞a l ，a k a l ＞a l ，
故a i a l ，a j a l ，a k a l 不属于A n ，
由②，a j ，a k ，a l 三个元素里，a j a k 属于A n ，a j a k ＞a k ，a j a k =a l ． 同理：a i ，a k ，a l 三个元素里，a i a k 属于A n ，a i a k ＞a k ，a i a k =a l ．．
所以 a j a k = a i a k =a l ．所以 a j = a i ，与①矛盾．
所以可知A n中至多只有3个元素大于1，A n至多只有4个元素．
即n的最大值为4．………………………………………10分。