2014线性代数实验 第1次演示课
线性代数试讲教案
线性代数试讲教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，能够运用线性代数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过试讲，培养学生的逻辑思维能力、表达能力和合作能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对线性代数的兴趣，提高学生对数学学科的认识和尊重。
二、教学内容1. 第一章：矩阵及其运算1.1 矩阵的概念与性质1.2 矩阵的运算规则1.3 矩阵的逆2. 第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义2.2 高斯消元法解线性方程组2.3 克莱姆法则3. 第三章：向量空间与线性变换3.1 向量空间的概念与性质3.2 线性变换的概念与性质3.3 线性变换的矩阵表示4. 第四章：特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的求解方法4.3 矩阵的对角化5. 第五章：二次型5.1 二次型的概念与性质5.2 二次型的标准形5.3 二次型的判定定理三、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
2. 通过举例、解决问题，引导学生理解和掌握线性代数的基本概念和方法。
3. 利用数学软件或板书，展示线性代数运算过程，提高学生的直观理解能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在试讲过程中的表达、思考和合作能力。
2. 作业与练习：检查学生对线性代数概念、方法和应用的掌握程度。
3. 阶段性测试：评估学生在一段时间内对线性代数的总体掌握情况。
五、教学资源1. 教材：线性代数教材，如《线性代数及其应用》等。
2. 课件：制作与教学内容相关的课件，辅助学生理解和记忆。
3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等，用于展示线性代数运算过程。
4. 板书：用于在课堂上展示线性代数运算步骤和关键公式。
六、第六章：线性空间与线性映射6.1 线性空间的概念与性质6.2 线性映射的概念与性质6.3 线性映射的例子与性质七、第七章：内积与正交性7.1 内积的概念与性质7.2 正交性的概念与性质7.3 施密特正交化与格拉姆-施密特正交化八、第八章：特征值与特征向量的应用8.1 特征值与特征向量的应用概述8.2 矩阵的对角化与应用8.3 二次型与应用九、第九章：线性代数在工程与科学中的应用9.1 线性代数在工程中的应用9.2 线性代数在科学研究中的应用9.3 线性代数在其他领域的应用10.2 线性代数在实际问题中的应用案例分析10.3 线性代数的进一步学习与研究建议六、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
第2章线性方程组求解方法第一1讲
(1) 非负性， 即‖A‖≥0，‖A‖=0当且仅当A=0；
(2) 齐次性，即对任意实数α∈R，有
‖αA‖=|α|‖A‖；
(3) 三角不等式性， 即对任意A，B∈Rn×n，有 ‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖； (4) 对任意A，B∈Rn×n，有‖AB‖≤‖A‖‖B‖。
计算方法
线性代数方程组求解方法
进一步，若对给定的矩阵范数‖·‖M，它与某个向量范
a
0,
,a
(n) nn ( n 1) n 1
0 以及上述消去过程中假设 a11 0,
(1)
,, an…, 1 0
( n 1)
0 ，则可得xn, xn-1, …，x2，x1
(n) bn xn ( n ) (k=n－1，n－2，…，2，1) ann n ( k ) (k ) (k ) x (b a x ) / a k k kj j kk j k 1 (2.6)
2.1.3
(2) 若当|i-j|>1时，有aij=0，则A为三对角矩阵。
计算方法
线性代数方程组求解方法
特殊矩阵
2.1.3
设A=(aij)∈Rn×n， i，j=1，2，…，n，有下列特殊矩阵：
(3) 若当j>i(i>j)时，有aij=0，则A为上(下)三角矩阵。
计算方法
线性代数方程组求解方法
特殊矩阵
1. 直接法
直接法就是不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次
的运算得到方程组精确解的方法。本章将阐述这类算法中最 基本的高斯顺序消去法及其某些变形，这类方法是解低阶稠 密线性代数方程组及某些大型稀疏线性代数方程组(例如大 型带状线性代数方程组)的有效方法。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线性代数实验课
线性代数实验课一、行列式与矩阵的运算1.实验目的①掌握行列式计算的Mathematica命令。
②掌握矩阵基本运算的Mathematica命令。
③掌握逆阵及矩阵的秩的求法。
2.内容与步骤（1）计算行列式的值在Mathematica中计算行列式的命令为Det[A].（求方阵A的行列式，即Det[A]=|A|）例1计算行列式-5解首先把矩阵用表的形式表示，即输入A={ {2,8,-5』},{1,9,0,・6},{0,・5,・1,2},{ 1,0,・7,6}};Det[A]Out[l>-108例2计算行列式b b2 b4d d: d A解求解命令为Det[{{1,1』』},{a,b,c,d},{a A2,b A2,c A2,d A2),(a A4,b A4,c A4,d A4})]Out[2]= a4b2c — a2b4c -------------- ac2d4 + bc2d4 (共有4! = 24 项)Factor[%]Out[3]—(—ci + b)(—ci + c、)(一b + c、)(—ci + d)(—b + d)(—c + d)(a + Z? + c + d)(2)矩阵的基本运算命令为A+BC*A Transpose[M] A.B MatrixForm[M] 矩阵A和B相加常数c和矩阵A相乘矩阵M的转置矩阵A和B相乘用标准形式表示矩阵11 1 ~ 123 例3已知A = 1 1 -1 ,B = -1 -24 ，求 3A8—2A 及 AB1 -1 1 0 5 1解输入A={{1,1,1},{1,1,・1},{1,.1,1}};B={{l,2,3},{.l,.2,4},{0,5,l}};3*A.B-2*AOut[ 1 ]={{-2,13,22}, {-2,-17,20},{4,29,・2}}M=Transpose[A]Out[2]={{l,l,l},{l,l,-l},{l,.l,l}}P=M.B0ut[3]={{0,5,8},{0,-5,6},{2,9,0}}MatrixForm[P]0 5 8Out[4]=0 -5 62 9 0⑶求逆阵命令为Inverse[A]（求方阵A 的逆阵）"3 -2 0 心 0 2 2例4求万阵A = 1 -2 -3 *0 1 2解输入A= {{3,-2,0,-1},{ 0,2,2,!}, {1,-2,-3,2}, {0,1,2,1}};Det[A]Out[l]=lB=Inverse[A]Out ⑵={{1,1,-2,4},{0,1,0,-1},{.1,-13,6},{2,1,-6,-10}}MatrixForm[B]1 1 -2 -40 1 0 -1Out[3]=-1 -1 3 62 1 -6 10 -1，-2的逆阵。
线性代数第一课
观察特性
抽得的号码
可能结果 1，2，3，4， 5，6
标有1，2，… ， 6一个数字（4张 红色，2张白色） 任取一张
E2 同上 E3 某人向靶射击一
枪
取得卡片的颜 红色、白色 色 命中靶的环数 0，1，„ ，10 两人中靶情况
AB ， B A AB A B ，
E4 甲、乙两人同时
向某一目标射击 一枪
随机现象：在一定条件下，重复进行实验或观察，
它的结果未必是相同的现象。即：在一定条件下，可
能发生，也可能不发生的现象。 其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下 实验或观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前 无法预测出现哪一个结果，而实验或观察后必然出现
一个可能结果。
例如：掷硬币出现正面反面情况；在一定条件下，
三 随机事件 定义1.1.1 随机试验的E的每一种结果称为随机事件
（简称事件）
随机事件一般用大写字母A，B，C，D等表示。 如E1:A= “抽得号码为1”,B=“抽得号码大于等于3”
C=“抽得号中，一定会发生的结果。用 S表示。 如E1:S=“抽得号码小于6”
三 事件的运算性质 （1）交换律 （2）结合律
（3）分配律
（4）德.摩根律（对偶原理）:
A B A B A B A B
对于一个具体事件，要学会用数学符号表
示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清
楚其具体含义是什么.
例1：从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 问： A ? A={两件产品都是合格品}，
某射手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。
随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定
条件下对其进行大量重复实验或观察，它的结果会
李林2014基础班线性代数讲义
).(11111)(00.)1()()()()(6.)(5.0)(4)(.)(3)(),(2)(1)()()1()()1()(.2.111131211223222132122111221112121)()(21)(2212222111211212121212121、范德蒙行列式：一些重要的结论：四则：的代数余子式为设展开：列行列式按行三式值不变。
的对应元素上，该行列上列加到另一行各元素乘以同一个数后列：把行列式的某一行性质相应两个行列式之和，则此行列式等于的元素都是两个数之和列：若行列式某一行性质式的元素成比例，则行列列：行列式中如果有两行性质的所有元素。
列用此数乘行列式某行即一个数乘行列式等于以提到行列式外面的所有元素的公因子可列：行列式中某一行性质。
完全相同，则其值为零列行列式有两行行列式变号。
因此，若列：互换行列式两行性质的转置表示：性质行列式的性质二的逆序数。
为排列其中中的项写成：或代数和个元素之积的为所有不同行，不同列个元素组成由（一）行列式的定义：定理计算行列式。
行列式按行（列）展开会应用行列式的性质和握行列式的性质。
了解行列式的概念，掌考试要求：第一章行列式i j nj i n nn n n n nnknj k j k j ik ij ni knin k i k i kj ij nj ij ij j i ij T Tn n injij ij j j J i i i nj j j j j j j j j nnn n n na a a a a a a a a a a a a a k j kj D A a A a A a A a k i k i D A a A a A a A a a M A D D D D j j j j j j a a a D mn a a a n a a a a a a a a a D nn n nn n-=⎩⎨⎧≠==+++=⎩⎨⎧≠==+++=-===--==∏∑∑∑≤≤≤----==++ττττ00211111(][333222111][10)(.1,01det )det()det(det ,det det )det()det(,)1()det(,)det(,)(5.)1(00004.,.,13).(,.2.01111222221222121211111爪形或箭形）计算例计算例、数字型证抽象型参数型数字型是本章的重点掌握三种行列式的计算典型例题五设阶方阵为阶方阵，为其中：，，的代数余子式为阶阵为注意：，但，一般：反对称，则，若n n nnn n n n n n n ij mn ij ij nnn n n n n n T T n n nD A AA E AA A A AA A A A A A A A A A k kA a A nB m A B A A BB A BC A B A B CA a A A A A A A A A A A A AA AA n A A k kA A k kA BA AB B A BA AB B A B A A A A A A===∴≠===⋅==⋅=⋅=-=-==-======≠=≠==+≠±=-==---⨯*-*-41341003410034][][000000][.0.2443214==---+=D xa aaa x a aa a x a a a a x D xx x x x x a a a x a D n 计算例计算例计算例推法）线行列式用（递如行（列）加法三对角展开，另外常用的方法”较多，再按行（列）中“角形或某行（列）利用行列式性质化为三基本方法是根据特点，参数形（行列式计算的.,54321.3._______0111111][0000000000000][21111--⨯-*⨯⨯⨯⨯=======-------+++++=∏A A AA A AA AB A AB B A A k kA A aaaba b a b a b a ba ab a ba b a D ni n n n n n n n n n n n n n n 则，，，的特征值为）设（可逆，则）设（，则）设（，则，）设（，则）设矩阵（）列式，常用到以下结论抽象型（计算抽象型行，则若例计算例λλλλλλλλ340420086420][.5043200100.4.32][.][3313332221132133=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=<===-+-+=+=+=⨯⨯）（，有如子式的最高阶数中非的秩是矩阵说明）证（的特征值是）证（））证秩（（）反证法（解有非）证，常用的方法：（证明证不可逆，求，，，矩阵设例求，，，线性无关，且，，，设例A A A A A A A n A AX A A E A E A E A A A A A A A A γαααααααααααα. 2.01,][.0 ][112=-===+≤+===≠=++⇔=⨯⨯EAAEAAAAnAnBAAXBABBAAEAAAAATTsnnn，证明且），阶正交阵（即为设例）（）（）（的列向量是齐次方程组）（，则若结论：设说明，证明，设例阶子式）（如果有阶子式全为且任意阶子式不为中有）（一般地，γγγγγγγ.01.12][.,:7.,;,:6.,,:5:4)(:,3.)()(:2.,,,:1.1..,:7.,;,:6.,,:5.)(:.,:4.)(,:3.,0,1:2).(1),(,1:.1..2.,).(.)(.:.1...4.3.2.1111211212222111211为正交矩阵称满足若方阵正交矩阵为反对称矩阵称若为对称矩阵称若对称矩阵可逆称若逆矩阵转置减法加法数乘称且为同型矩阵设相等矩阵的运算基本理论与方法二为正交矩阵称满足若方阵正交矩阵为反对称矩阵称若为对称矩阵称若对称矩阵可逆称若逆矩阵三角矩阵对角矩阵矩阵数量标量单位矩阵在方阵下有如下关系角矩阵全为零的方阵称为下三主对角线上方元素阵零的方阵称为上三角矩主对角线下方元素全为三角矩阵矩阵为零的方阵称为下三角若主对角线上的元素全，记为零的方阵主对角线以外的元素全对角矩阵或记其他元素为主对角线的元素都是单位矩阵列向量矩阵为列矩阵行向量矩阵为行矩阵列矩阵行矩阵几种特殊矩阵的行列式称为称为方阵称为矩阵记列的数表行排列个元素定义基本概念一方法。
线性代数 第1节 二次型及其矩阵
(2)对称性：若A ~B ，则有 B ~A ；
(3)传递性：若 A ~B ,且 B ~ C,则有 A ~C . 证明 只证(3)，其余留作练习.
B C AC1 , C C BC2 ,
T 1
T 2
T T C C2 (C1 AC1 )C2 (C1C2 )T A(C1C2 ) ,
由于 C1 , C2 均可逆，所以C1C2 也可逆.
5
f ( x1 , x2 ,, xn )
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 ,, xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
C 称为该线性替换的矩阵.
X CY .
若 | C | 0 ，则此线性变换称为可逆线性替换.
如果C 为正交矩阵，则此线性替换称为正交替换.
x x cos y sin 容易验证，转轴公式 y x sin y cos 是一个正交替换.
13
三、矩阵的合同关系
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵.
7
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
T
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵. A的秩称为该二次型的秩. A是一个实对称矩阵. 事实上， 由一个实对称矩阵也可构造唯一的实 二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相 唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为 研究它的矩阵A所具有的性质.
线性代数实验报告
线性代数实验报告一、实验目的线性代数是一门重要的数学基础课程，它在工程、科学、计算机等领域都有着广泛的应用。
本次实验的目的是通过实际操作和计算，加深对线性代数基本概念和方法的理解，提高运用线性代数知识解决实际问题的能力。
二、实验环境本次实验使用了软件名称软件进行计算和绘图。
三、实验内容（一）矩阵的运算1、矩阵的加法和减法给定两个矩阵 A 和 B，计算它们的和 A ＋ B 以及差 A B。
观察运算结果，验证矩阵加法和减法的规则。
2、矩阵的乘法给定两个矩阵 C 和 D，其中 C 的列数等于 D 的行数，计算它们的乘积 CD。
分析乘法运算的结果，理解矩阵乘法的意义和性质。
（二）行列式的计算1、二阶和三阶行列式的计算手动计算二阶和三阶行列式的值，熟悉行列式的展开法则。
使用软件验证计算结果的正确性。
2、高阶行列式的计算选取一个四阶或更高阶的行列式，利用软件计算其值。
观察行列式的值与矩阵元素之间的关系。
（三）线性方程组的求解1、用高斯消元法求解线性方程组给定一个线性方程组，将其增广矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵。
求解方程组的解，并验证解的正确性。
2、用矩阵的逆求解线性方程组对于系数矩阵可逆的线性方程组，计算系数矩阵的逆矩阵。
通过逆矩阵求解方程组，并与高斯消元法的结果进行比较。
（四）向量组的线性相关性1、判断向量组的线性相关性给定一组向量，计算它们的线性组合是否为零向量。
根据计算结果判断向量组的线性相关性。
2、求向量组的极大线性无关组对于给定的向量组，通过初等行变换找出极大线性无关组。
（五）特征值和特征向量的计算1、计算矩阵的特征值和特征向量给定一个矩阵，计算其特征值和对应的特征向量。
验证特征值和特征向量的定义和性质。
2、利用特征值和特征向量进行矩阵对角化对于可对角化的矩阵，将其化为对角矩阵。
四、实验步骤（一）矩阵的运算1、首先在软件中输入矩阵 A 和 B 的元素值。
2、然后使用软件提供的矩阵加法和减法功能，计算 A ＋ B 和 A B 的结果。
线性代数课件-正定二次型 15页PPT文档
是否正定.
解
fx1,x2,x3的矩阵 52 为 12
4 2
,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5
2 10,
5 2
2 4 1 2 10,
2 1
4 2 5
故上述二次型是正定的.
例2 判别二次型 f 5 x 2 6 y 2 4 z 2 4 x 4 y xz
第二节 正定二次型
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
fx1 23x2 2
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理 1 实二次f 型xT Ax为正定的充分必要条
件是 :它的标准n形 个的 系数全.为正
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶主子式为正，即
a11 a1n
, a110,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
正定矩阵具有以下一些简单性质
1.设 A 为正定,则 实 A T,A 对 1,A 称 均阵 为 定矩 ; 阵
2.若 A ,B 均n 阶 为正,则 定 A B 也 矩是 阵正 矩. 阵
例1 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
大学线性代数最全知识点省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
16/286
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
14/286
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
D a11 a12 , a21 a22
6/286
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
7/286
aa1211
x1 x1
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵初等变换及线性方程组 第四章 向量组线性相关性 第五章 相同矩阵及二次型
1/286
第一章 行列式Βιβλιοθήκη §1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
aa1211
x1 x1
线性代数方程组解法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第18页
列主元高斯-约当消去法求解线性方程组举例
例 求解方程组Ax=b,其中 1 2 3
A 2 4 5
解：增广矩阵为
3 4 6
1 b 4
3
1231
3463
[A,b] = 2 4 5 4 (1) (3) 2 4 5 4
3463
1231
1 4/3 2 1 (2)-(1)*2 1 4/3 2 1
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5
5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解
0.01 2 - 0.5 - 5
5 - 4 0.5 9
[A,b] =
- 1 - 0.5 2 5 (1) (3) -1 - 0.5 2 5
5 - 4 0.5 9
0.01 2 - 0.5 – 5
(2)+(1)*1/5 5 - 4 0.5 9
第11页
一、列主元高斯消去法
列主元消去法主要思想是：在第k次消元时， 从k列以下各个元素中选出绝对值最大元素，然 后经过行交换将其交换到k行上，再做第k次消元 （同次序高斯消去法）；回代过程与次序高斯消 去法完全相同。
第12页
用列主元高斯消去法解线性方程组举例
例
0.01x1 + 2x2 - 0.5x3 = - 5
x1 = (4 + 4x3 + 6x2 )/2= (4+4×(-1/3)+6×0)/2 = 4/3
第6页
三、普通线性方程组求解过程(第一次消元过程)
第一次消元过程:
(1) * (a2(11)
/
a (1) 11
)
(2)
(1)
*
(
2014线性代数课件-§1.1
a11 【注】2阶行列式 a21
a12 表示一个代数式。 a22
行列式记忆方法：对角线法则
主对角线 (main diagonal) 副对角线 (minor diagonal)
a11
a21
a12 a22
= a11a22-a12a21
主对角线上两元素之积-副对角线上两元素之积。
a11 x1 a12 x2 b1 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 当 a11a22-a12a210时，方程组有唯一解：
a22b1 a12b2 a11b2 a21b1 x1 ， x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
如果某个集合S中任意两个元素a, b经过某种运算得到 的结果仍属于S，就称S对这种运算封闭(closed)。 数域F对加、减、乘、除(除数不为0)运算封闭。
例1 任意一个数域都包含有理数域作为子域。 【证】设K为数域，则K至少包含元素0和1，从而 2=1+1K, 3=2+1K,…, n=(n-1)+1K， -n=0-nK， 因此K包含全体整数，即ZK(Z为整数集)。 又设a为有理数，则存在n, m(m0)Z，使 a=n/mK， 因此QK。
综合上例结论 1、任意一个数域都包含整数集作为子集。 2、任意一个数域都包含有理数域作为子域。
【注】有理数域是最小数域，复数域是最大数域。
二、2阶、3阶行列式 1、2阶行列式 用消元法解二元线性方程，其中系数都来自某数域F， a11 x1 a12 x2 b1 (1) a21 x1 a22 x2 b2 (2) (1)a22：a11a22x1+a12a22x2=b1a22 (2)a12：a12a21x1+a12a22x2=b2a12 两式相减消去x2，得 (a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2 类似地，消去x1，得 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1
《线性代数》说课ppt课件
1.教学内容 2.教学重、难 点 3.教学设计 4.学法设计
22
说课结束，欢迎大家批评指正，谢谢！
2011年5月
23
6
1.3课程目标
本着“基础理论以应用为目的，以必需够用
为度”的指导思想，一方面通过线性代数的教学,不
仅使学生掌握线性代数的相关的基础知识、基本理
课 论,有较熟练的运算技能一方面使学生获得该课程的
程
基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习有关 专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础，
目 另一方面通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象
段学习成绩差，学习态度学不端法
正，有的甚至自暴自弃。
学习态度不端正 水平参差不齐
符合学生实际情况
教学方法
16
3.2制订大纲
学情分析
学法
必须
够用
实用
教学大纲
17
3.3教学手段
目前来说，线性代 数的教学方式还是以黑 板加粉笔为主，在今后 的教学中要逐步加入多 媒体教学、网上共享教 学资源或线上教学，这 是教学发展的一个趋势， 但是也要注意网络化教 学手段与传统教学的衔 接过度，以达到最佳教 学效果为依据进行改革 创新。
线上教学
教学资源上网
多媒体教学 黑板加粉笔
18
3.4教学过程实施
12
3
4
5
6
问
历
概例
课
归
布
题
史
念题
堂
纳
置
提
介
介讲
练
总
作
出
绍
绍解
习
结
业
19
3.4.6布置作业
作业是课堂教学中不可缺少的环节
线性代数课件
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
线性代数课件第一章
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
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2
2
>> z=x.^2/9-y.^2/4;
>> mesh(x,y,z)
实验一
x2 y2 . 例1.2.4 绘制椭圆抛物面z 9 4
>> ezmesh('x^2/2+y^2/4')
>> ezsurf('x^2/2+y^2/4')
实验一
二、矩阵的运算
1. 矩阵A的秩 2. 矩阵A的转置
rank(A) A’ inv(A)
det(A)
3. 方阵A的逆
4. 方阵A的行列式
实验一
例2.1.2 生成元素为0到1间的随机矩阵 A33 ， 生成元素 为0到100并且元素全是随机整数的矩阵 B33 (1)求出矩阵 A 与 B 的行列式. >> A=rand(3,3) >> B=round(rand(3,3)*100) >> det(A)
3 5
求x的绝对值 求x的平方根 求x的指数函数
求x的正、余函数，x为弧度 求x的正、余切，x为弧度
Note 注意括号的配对；
9 ,e ,sin(2.3 )如何表达？
pi为系统变量，圆周率
线性代数实验导论
MATLAB变量命名规则 1. 区分大小写 2. 第一个字符为字母 3. 可以包含下划线和数字，不能为标点和空格
0 < u < 2p , u ¹
, p 2 2 0 £ v < p,
p 3
实验一
例如：取 a 2, b 3, c 4
x 2 tan( u) cos( v ) x y z 1 y 3 tan( u) sin( v ) 4 9 16 x 4 sec( v )
%查看当前变量 %清除当前变量
>> clear
六、群运算
3 例如：一次求出 sin0,sin ,sin ,sin ,sin 4 2 4
>>A=[0,0.25*pi,0.5*pi,0.75*pi,pi]; >> sin(A) ans = 0 0.7071 1.0000 0.7071 0.0000
八、如何取出矩阵的某一行（列）
>> A=[1,2,3;4,5,6] >> A(:,1) >> A(2,:)
% A的第一列元素 %A的第二行元素
线性代数实验导论
总结标点符号在矩阵输入 中的作用，完成第二题3 （3分钟）
实验一
实验一
常见图形绘制
实验一
1.1 二维常见图形绘制
1. 具有解析表达式的二维曲线
2 2 2
>>ezmesh('2*tan(u)*cos(v)','4*tan(u)*sin(v)','4*sec(u)',[0,2* pi,0,pi])
x = 2 tan(u) cos(v), y = 3 tan(u) sin(v), z = 4 sec(u) 30 20 10
z
0 -10 -20 20 10 0 -10 y -20 -20 -10 x 10 0 20
方法：描点作图 >> X=linspace(0,2*pi,30); >> Y=sin(X); >> plot(X,Y) %以X向量为横坐标，Y向量纵坐标绘图
>> xlabel('X')
>> ylabel('Y')
%给X轴，Y轴添加标题
>> title('Y=sinX') %给图添加标题 >> grid on %开启图像网格
实验一
x y z 例1.2.7 绘制单叶双曲面 2 2 2 1. 2 3 4
>> [t,z]=meshgrid(0:pi/20:2*pi,-10:.5:10); >> x=2*sqrt(z.^2/16+1)*cos(t); >> y=3*sqrt(z.^2/16+1)*sin(t); >> mesh(x,y,z)
a1
所构成的平行六面b3
c1 c2 c3
a3
u v w
的绝对值。
o y
x
实验一
例2.2.2 如图所示，求向u=[1,2,3],v=[3,1,0],w=[0,5,1] , 所构成的四面体的体积。
>> u=[1 2 3];v=[3 1 0];w=[0 5 1]; >> A=[u;v;w]; >> v=abs(det(A))/6
实验一
2 y x ( x [1,1]) 的图像 例1.1.2 绘制
>> ezplot('x^2',[-1,1])
实验一
2 4 例1.1.3 绘制 x y 0 ( x [6,6], y [4,4])的图像
>> ezplot('x^2-y^4',[-6,6,-4,4])
四、如何赋值
>> x=18
>> y=3*x^2-3 >> u=x+y;
Note：注意括号和标点
%分号含义
>> v=x-y;
>> tan(2*u/3*v)
线性代数实验导论
五、如何输入矩阵 >> A=[1 2 3 4 5 ]
>> B=[1;2;3;4]
>> who
% ;换行符
>> C=[3 0 2 1;-1 4 5 2;3 5 8 7]
O
z
u w x v
y
实验一
四、方程组简单求解
1. 回顾利用初等变换求解方程组过程
A [ A, b]
行阶梯型 (有没有解)
行最简型 (解是什么)
化矩阵A为行最简型
rref(A)
实验一
例2.3.1 利用初等变换求线性方程组
x1 3 x2 x3 2 x4 1 3 x 4 x 2 x 3 x 2 1 2 3 4 x1 5 x2 4 x3 x4 3 2 x1 7 x2 x3 6 x4 4
2
2
2
实验一
例1.2.8 绘制平面 x y z 1 >> ezmesh('X+Y+1')
实验一
例1.2.9 双叶双曲面绘制
x y z 2 2 1,(a , b, c 0). 2 a b c
参数方程：
2
2
2
ì x = a × tan(u) × cos( v ) ï í y = b × tan(u) × sin( v ) , ï x = c × sec( v ) î
y sin x, y cos x, y ax
2. 隐函数确定的二维曲线
2
x y 0
2 2
3. 参数形式的二维曲线—摆线
x a( t sin t ), y a (1 cos t )
4. 极坐标下的二维曲线，心脏线、星形线等
实验一
例1.1.1 绘制 y sin x ( x [0,2 ]) 的图像.
实验一
2 2 2 x y z 1. 例1.2.5 绘制单位球面
>> sphere(50)
实验一
( x 1) y ( z 1) 2 1. 例1.2.6 绘制单位球面 2 2 4 3 2
2 2 2
>> [x, y, z] = ellipsoid(1,0,-1,4,3,2); >> surfl(x, y, z) >> colormap copper >> axis equal
表1 MATLAB预设变量
ans
预设结果
eps inf NaN i， j
小误差=2.2204e-016，可以理解为微积分中的ε，16位
无穷大 {not a number},类似未定型（0/0）
默认虚数单位，i=j=0+1.0000i
线性代数实验导论
2分钟完成第一次预 习报告第二题2
线性代数实验导论
总
结
• plot(X,Y) 常用于描点作图的方法 • ezplot 可用于显示函数、隐函数、 参数方程表达的曲线作图
实验一
例1.1.7 极坐标绘图 1) 心脏线 r a (1 cos ), a 1. 2) 阿基米德螺线 r .
>> subplot(1,2,1) >> t = 0:0.01:2*pi; >> polar(t,1-cos(t),'--r')
线性代数实验导论
七、如何构造一个等差数列
3 sin 0,sin ,sin ,sin ,sin 4 2 4
从初值0，公差0.25*pi，到终值pi结束
>> A=[0:0.25*pi:pi] >> A=linspace(0,pi,5)
%[初值：增量：终值]，
%[起点，终点，等分份数]
线性代数实验导论
>> subplot(1,2,2)
>> polar(t,t,'-g')
实验一
1.2 三维常见图形绘制
1.2.1 实验目的
掌握MATLAB软件绘制常见的三维曲线图形的