6.3 AR,MA,ARMA模型

E(
t
)

0,Var
(

t
)


2

,
E(
t
s
)

0,
s

t
Exst 0,s t
特别当 0 =0 时，称为中心化 ARMA(p, q) 模型
qtq
。 中心化模型可以简记为 (B)xt (B)t
其中，p阶自回归系数多项式 (B) 11B 2B2 p B p
自相关系数图
偏自相关系数图
二阶截尾
拖尾
ARMA模型（Auto Regression Moving Average Model）
具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为 ARMA(p, q):
xt 0 1xt1 p xt p t 1t1
p 0, q 0
(B)xt t
其中自回归系数多项式
(B) 1 1B 2B2
p B p
由AR(p)模型有： Ext E(0 1xt1
若序列为平稳序列，εt 为白噪声序列
可推导出
Ext , E(t ) 0

0
11
p
,t T
p xt p t )
时间序列分析
之AR，MA，ARMA模型
AR模型
M A 模型
ARM A 模 型
AR模型 (Auto Regression Model)
具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR( p)
xt 0 1xt1 2xt2 p xt p t
p 0

q阶移动平均系数多项式 (B) 11B 2B2 q Bq
A R M A 模型的统计性质： 自相关系数拖尾 偏自相关系数拖尾
例3. 观察如下ARMA(1,1)模型的自相关和偏自相关系数图 。
xt 0.5xt1 t 0.8t1
自相关系数拖尾
偏自相关系数拖尾
AR模型的统计性质： 自相关系数拖尾 偏自相关系数截尾
例1. 观察如下AR模型的自相关和偏自相关系数图 。
(1)xt 0.8xt 1 t (2)xt 0.8xt 1 t (3)xt xt 1 0.5xt 2 t (4)xt xt 1 0.5xt 2 t
自相关系数图
偏自相关系数图
自相关系数不规则衰减
二阶截尾
M A 模型（Moving Average Model） 具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型，t2 qtq

q 0

E(
t
)

0,Var
(

结论：
模型 AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
自相关系数 拖尾
q阶截尾 拖尾
偏自相关系数 p阶截尾 拖尾 拖尾
t
)


2

,
E(
t
s
)

0,
s

t
θ0, θ1,..., θ q 称为移动系数。特别当 μ =0 时，称为中心化 MA(q) 模型 。
中心化MA(q)模型又可以简记为 xt (B)t 其中移动平均系数多项式 (B) 11B 2B2 q Bq
M A 模型的统计性质
(1)xt 0.8xt1 t
自相关系数图
偏自相关系数图
按复指数单调收敛到零
一阶截尾
(2)xt 0.8xt1 t
自相关系数图
偏自相关系数图
正负相间的衰减
一阶截尾
(3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数图
偏自相关系数图
呈现出“伪周期” 性
二阶截尾
(4)xt xt1 0.5xt2 t
E(
t
)

0,Var
(

t
)


2

,
E(
t
s
)

0,
s

t
Exst 0,s t
其中0, 1,..., p为未知参数，称为自回归系数。
特别当 0 =0 时，称为中心化 AR(p) 模型。
使用延迟算子：B p xt xt p (B为延迟算子)，
中心化AR(p)模型又可以简记为
：
自相关系数截尾
偏自相关系数拖尾
例2. 观察如下M A 模型的自相关和偏自相关系数图 。
(1)xt t 0.5t1
(2)xt t 4 t1 16t2
5
25
(1)xt t 0.5t1
自相关系数图
偏自相关系数图
一阶截尾
拖尾
(2)xt t 45t1 1265t2