高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集：数列 第2课 数列的概念及其通项公式(教师版)

听课随笔 第2课时 数列的概念及其通项公式 【学习导航】
知识网络 学习要求
1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．了解地推数列的概念；
【自学评价】
1．数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为 {}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

4．数列的分类：
按n a 的增减分类：
（i ） 递增数列：n N *
∈任意，总有1n n a a +>；
（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<； (iii) 摆动数列 l N *
∈任意k,
， 有1k k a a +>，也有1l l a a +<，
例如1,2,4,6,8,---L ；
（iv ） 常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；
（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；
（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >． 5．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式． 【精典范例】
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）;5
15;414,313;2122222---- 5
44,433,322,211)2( （3）9，99，999，9999
【解】(1)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的
一个通项公式是： 2(1)11
n n a n +-=+； (2) 这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1
n n +的和, 所以它的一项数 数列
数列定义
项 数列有关概念
数列与函数的关系 数列通项公式
通项
个通项公式是：1n n a n n =++ (3) 这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000.所以它的一个通项公式是：101n n a =-
【例2】已知数列｛a n ｝的递推公式是
a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式.
【解】由a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1－2a n 得
a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×1＝7 a 4＝3 a 3－2a 2＝3×7－2×3＝15 a 5＝3a 4－2a 3＝3×5－2×7＝31
……可推测a n ＝2n －1.
【例3】设12n n S a a a =+++L ，其中n S 为数列的前n 项和，已知数列{}n a 的前n 项和251n S n =+，求该数列的通项公式。

分析：由于n a 与n S 的关系是11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩因而已知n S 求n a 时，常用的解题策略是先求1a 再将n a 用1n n S S --表示，但由于n a =1n n S S --只能求出数列的第二项及以后各项，故特别要注意验证1n =的情形是否满足n a =1n n S S --，若满足，则n a 是关于n 的一个式子，否则写成分段函数的形式．
【解】6,1105,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
【追踪训练一】
1．已知a n +1=a n +3，则数列{a n }是（ A ）
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
2．已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n +1=2
1a n ,则数列{a n }是 （ B ） A.递增数列 B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
3．数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（ B ）
A.⎩⎨⎧∈+==+*`,11
1N n n a a a n n B.⎩⎨⎧≥∈+==-2*,,111n N n n a a a n n
C.⎩⎨⎧≥∈++==+2*,),1(11
1n N n n a a a n n D.⎩⎨⎧∈-+==-*),1(111N n n a a a n n
4．设凸n 边形的对角线条数为f (n ),则f (3)=______;f (n +1)=______(用f (n )表示).
【解析】显然f (3)=0f (n +1)=f (n )+(n －1)
【答案】0 f (n )+n －1
【选修延伸】
【例4】已知数列{}n a 的通项为
254n a n n =-+,问:
(1).数列中有多少项为负数？
(2).n 为何值时,n a 有最小值？并求此最小值．
分析：数列的通项公式254n a n n =-+可看成2*()54,()f n n n n N =-+∈，利用二次函数的性质解决问题． 【解】（1）n=2或3共2项
（1）n=2或3时有最小值-2
点评:数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．
【追踪训练二】
1.已知数列{a n }的首项，a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2),则a 5为（ D ）
A.7
B.15
C.30
D.31
2.数列｛－2n 2+29n +3｝中最大项的值是（ B ）
A.107
B.108
C.108
81 D.109 3.若数列{a n }满足a 1=2
1,a n =1－11-n a ,n ≥2，n ∈N *,则a 2003等于（ B ） A.21 B.－1 C.2 D.1
4.已知数列{a n }的递推公式为⎪⎩
⎪⎨⎧+==+12111n n n a a a a n ∈N *,那么数列{a n }的通项公式为______. 【解析】由a 1=1,且a n +1=12+n n a a 知a 2=31,a 3=51,a 4=71∴a n =1
21-n 【答案】a n =
121-n
【师生互动】。