重庆一中2017届高三上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年重庆一中高三(上）期中数学试卷（理科)
一、选择题(本大题共12个小题,每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案,将正确答案填涂在答题卡的相应位置）
1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）
A．3πB．πC．2πD．4π
2．已知向量=（1，2）,=（x，﹣2），且⊥，则|+｜=（）
A．5 B．C．4D．
3．已知x，y均为非负实数，且满足,则z=x+2y的最大值为（)
A．1 B．C．D．2
4．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题:某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺,则该女子织布每天增加（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
5．设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成
为函数y=g(x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
6．已知函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横
坐标等于（）
A．ln2 B．2ln2 C．2 D．
7．若“∃x∈[,2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立"是假命题,则实数λ的取值范围为（)
A．（﹣∞，2]B．［2，3]C．［﹣2,3]D．λ=3
8．若函数f（x)=﹣x+λ在[﹣1，1］上有两个不同的零点,则λ的取值范围为（)
A．［1，）B．(﹣，） C．（﹣,﹣1]D．[﹣1，1］
9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9,则｜｜
•|｜的值为（)
A．8 B．10 C．12 D．15
10．已知函数f（x）=+满足条件f(log a（+1））=1，其中a＞1，则f（log a（
﹣1)）=（)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知x∈（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为(）
A．［1，2）B．［，+∞）C．（1，］D．［1，+∞）
12．设A，B在圆x2+y2=1上运动,且|AB｜=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动,则|+｜的最小值为（）
A．3 B．4 C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）
13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．
14．已知α∈（，π)，且sinα=，则tan（2α+）=．
15．设正实数x，y满足x+y=1,则x2+y2+的取值范围为．
16．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1,cosBcosC=
﹣，则△ABC的周长为．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分,将解答过程填写在答题卡上的相应位置）
17．已知等比数列｛a n}单调递增，记数列｛a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=a n﹣2n，求数列｛b n}的前n项之和T n．
18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1)已知［30,40）、[40，50）、［50，60）三个年龄段的上
网购物者人数成等差数列,求a,b的值；
（2）该电子商务平台将年在［30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50
元的代金券,潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人,现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形,且∠BAD=，AA1⊥平面
ABCD，AA1=1，设E为CD中点
（1）求证:D1E⊥平面BEC1
(2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．
20．已知椭圆C: +=1（a＞0，b＞0）的离心率为,椭圆C和抛物线y2=x交于M，N
两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．
（1)求椭圆C的标准方程；
（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．
21．已知函数f（x）=ln（ax+）+．
（1）若a＞0，且f(x）在（0，+∞）上单调递增,求实数a的取值范围；
（2)是否存在实数a,使得函数f(x）在（0,+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[选修4-4：极坐标与参数方程］
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）
(1）求曲线C的普通方程；
（2)在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin(﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A,B两点,求｜AB|．
[选修4—5：不等式选讲]
23．设函数f(x）=|2x﹣1｜
(1)解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）
（2）若实数a，b满足a+b=2,求f(a2）+f（b2）的最小值．
2016—2017学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案，
将正确答案填涂在答题卡的相应位置）
1．函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为（）
A．3πB．πC．2πD．4π
【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．
【分析】先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论．
【解答】解：由题意，函数f(x）=sinxcosx=sin2x
∴
故选B．
2．已知向量=（1，2)，=（x，﹣2）,且⊥,则|+|=(）
A．5 B．C．4D．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．
【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长．
【解答】解：向量=（1，2），=（x,﹣2)，
且⊥，
∴x+2×（﹣2）=0，
解得x=4;
∴+=（5,0），
∴｜+｜=5．
故选：A．
3．已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（）
A．1 B．C．D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】由已知画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式方程，利用其在y在轴的截距
最大求z 的最大值．
【解答】解：由已知得到可行域如图：则z=x+2y变形为y=﹣x，
当此直线经过图中的C时，在y 轴的截距最大，
且c(0，1),所以z 的最大值为0+2×1=2；
故选D．
4．《张丘建算经》卷上第22题﹣﹣“女子织布"问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式能求出结果．
【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺,
由题意知,
解得d=．
故该女子织布每天增加尺．
故选：B．
5．设函数f(x）=2sin(2x+），将f(x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函
数y=g(x）,则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式
为y=g(x）=2sin（4x+),再利用正弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方
程．
【解答】解：函数f(x）=2sin(2x+）,
将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为
函数y=g（x）=2sin(4x+）．
令4x+=kπ+，k∈Z，可解得函数对称轴方程为：x=kπ+,k∈Z，
当k=0时，x=是函数的一条对称轴．
故选:D．
6．已知函数f（x)=e x+ae﹣x为偶函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐
标等于（）
A．ln2 B．2ln2 C．2 D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由偶函数的定义可得f(﹣x）=f（x），可得a=1，求出导数,设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．
【解答】解：函数f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，
可得f（﹣x）=f（x）,即e﹣x+ae x=e x+ae﹣x，
即（e x﹣e﹣x）（a﹣1）=0,
可得a=1，
即f（x)=e x+e﹣x,
导数为f′（x）=e x﹣e﹣x，
设切点为（m,n），
则e m﹣e﹣m=，
解得m=ln2,
故选：A．
7．若“∃x∈[，2］，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为()
A．（﹣∞，2］B．[2,3］ C．［﹣2,3]D．λ=3
【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．
【分析】若“∃x∈［，2］,使得2x2﹣λx+1＜0成立"是假命题，即“∃x∈[，2],使得λ＞2x+成立”是假命题,结合对勾函数的图象和性质，求出x∈［，2]时,2x+的最值，可得实数λ的取值范围．
【解答】解：若“∃x∈［，2］，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，
即“∃x∈[，2］，使得λ＞2x+成立”是假命题,
由x∈［，2］，当x=时，函数取最小值2，
故实数λ的取值范围为(﹣∞,2］,
故选：A
8．若函数f（x)=﹣x+λ在[﹣1，1］上有两个不同的零点，则λ的取值范围为(）
A．[1，）B．（﹣，）C．（﹣,﹣1］D．[﹣1，1]
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】构造函数函数f(x）=﹣x+λ在［﹣1,1］上有两个不同的零点，
转化为直线y=x﹣λ与y=有2个交点，画出图象判断即可．
【解答】解：∵函数f（x)=﹣x+λ在[﹣1，1］上有两个不同的零点，
∴直线y=x﹣λ与y=有2个交点,
即1
∴λ≤﹣1
故选:C
9．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上,且满足•=9，则|｜
•｜|的值为（）
A．8 B．10 C．12 D．15
【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．
【分析】根据椭圆的定义可判断｜PF1｜+|PF2｜=8,平方得出|PF1｜2+|PF2｜2，再利用余弦定理求解即可．
【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
∴｜PF1|+｜PF2｜=8,|F1F2|=4，•=9，即|｜•|｜cosθ=9，
16=｜|2+｜|2﹣2｜｜•||cosθ
=(｜｜+｜｜）2﹣2|PF1|•｜PF2|﹣18=64﹣2｜PF1｜•｜PF2｜﹣18=16,
∴|PF1|•|PF2|=15,
故选:D．
10．已知函数f（x）=+满足条件f（log a（+1））=1，其中a＞1，则f(log a（
﹣1)）=()
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数的值．
【分析】化简可得f(x)+f（﹣x）=+++=3，从而求得．
【解答】解：∵f（x）=+,
∴f（﹣x)=+=+，
∴f（x）+f(﹣x)=+++=3，
∵log a（+1）=﹣log a(﹣1），
∴f（log a（+1）)+f（log a（﹣1))=3，
∴f（log a（﹣1））=2，
故选:B．
11．已知x∈（0，）,则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（)
A．［1,2) B．［，+∞）C．（1,]D．［1，+∞）
【考点】三角函数的最值．
【分析】化简函数f（x），用换元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t∈（1，]；把f（x)化为f（t)，利用导数判断单调性,求出它的最值，即可得出f(x）的值域．
【解答】解：x∈（0，)时，
函数f(x）=sinxtanx+cosxcotx
=+
=
=
=;
令sinx+cosx=t，
则t=sin（x+）,sinxcosx=；
∵x∈（0，)，
∴sin(x+）∈(，1]，t∈(1，］；
∴f(x）可化为f（t）==，
∴f′（t）=＜0,
∴t∈（1,］时，函数f（t）是单调减函数；
当t=时,函数f（t）取得最小值f(）==，且无最大值；
∴函数f（x）的值域是[，+∞）．
故选：B．
12．设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动,则｜+|的最小值为（）
A．3 B．4 C．D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时,｜+｜取得最小值,此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB．
【解答】解：设AB的中点为D，则
由题意， +=+++=2+2=2，
∴当且仅当O，D，P三点共线时，｜+｜取得最小值,此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP ⊥AB，
∵圆心到直线的距离为=，OD==，
∴｜+|的最小值为2（﹣）=．
故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置）
13．点P(1,3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设点P(1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．
【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a,b）,则由
，
解得a=﹣1，b=﹣1，
故答案为（﹣1，﹣1）．
14．已知α∈（，π），且sinα=，则tan（2α+）=﹣．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值,利用二倍角公式求得tan2α的值,再利用两角和差的正切公式求得tan(2α+）的值．
【解答】解：∵α∈（，π）,且sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，
∴tanα==﹣,
∴tan2α==﹣，
则tan（2α+）==﹣，
故答案为:﹣．
15．设正实数x，y满足x+y=1,则x2+y2+的取值范围为．
【考点】基本不等式．
【分析】正实数x,y满足x+y=1,可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，﹣2xy+=﹣2+，即可得出．
【解答】解：∵正实数x，y满足x+y=1，
∴1,可得．
则x2+y2+=1﹣2xy+，∵﹣2xy+=﹣2+∈．
故x2+y2+的取值范围为．
故答案为：．
16．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a,b,c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为+．
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理求出角A，利用两角和的余弦公式求出sinBsinC的值，
结合正弦定理求出△ABC外接圆的半径R与边长a，再求出b+c即可．
【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2=bc=1，
∴cosA===,
∴A=，
∴B+C=，
即cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣；
又cosBcosC=﹣，
∴sinBsinC=cosBcosC+=﹣+=，
∴bc=4R2sinBsinC=4R2×=1,
解得R=，其中R为△ABC的外接圆的半径;
∴a=2RsinA=2××sin=，
∴b2+c2﹣2=1，
解得b2+c2=3，
∴（b+c）2=b2+c2+2bc=3+2×1=5，
∴b+c=,
∴△ABC的周长为a+b+c=+．
故答案为: +．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）
17．已知等比数列｛a n}单调递增，记数列｛a n}的前n项之和为S n，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列｛a n｝的通项公式；
（2）设b n=a n﹣2n，求数列{b n}的前n项之和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1)设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1，由a2=6,S3=26．可得a1q=6，
=26，解得a1，q，再利用单调性夹角得出．
（2)b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设单调递增的等比数列{a n}的公比为q≠1,∵a2=6，S3=26．
∴a1q=6，=26，解得a1=18,q=，或a1=2,q=3．
当a1=18，q=,等比数列{a n}单调递减，舍去．
∴a1=2,q=3．
∴a n=2×3n﹣1．
（2)b n=a n﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，
∴数列{b n｝的前n项之和T n=﹣2×=3n﹣1﹣n2﹣n．
18．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．(1）已知［30，40)、［40，50)、[50,60)三个年龄段的上
网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
（2）该电子商务平台将年在［30，50）之间的人群定为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0。

015×10+10a+10b+0。

015×10+0。

01×10=1，且a﹣b=b﹣0。

015，联立解出即可得出．
（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0。

6，潜在消费人群的比例为0。

4．由分层抽样的性质知抽出的10人中,高消费人群有6人，潜在消费人群有4人．随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．再利用“超几分布列"的概率计算公式及其数学期望即可得出．
【解答】解：（1）由于五个组的频率之和等于1,故：0。

015×10+10a+10b+0。

015×10+0.01×10=1，且a﹣b=b﹣0。

015
联立解出a=0.035,b=0.025
（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6,潜在消费人群的比例为0。

4，
由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人,
随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为:240，210，180,150．
；；
列表如下:
X 240 210 180 150
P
数学期望
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形,且∠BAD=，AA1⊥平面
ABCD,AA1=1,设E为CD中点
（1)求证：D1E⊥平面BEC1
（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1,求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出BE⊥D1E，D1E⊥C1E，由此能证明D1E⊥平面BEC1．
（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB，从而DG⊥DC，以DC，DG,DD1为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．
【解答】证明：(1）由已知该四棱柱为直四棱柱，且△BCD为等边三角，BE⊥CD
所以BE⊥平面CDD1C1,而D1E⊆平面CDD1C1，故BE⊥D1E
因为△C1D1E的三边长分别为,故△C1D1E为等腰直角三角形
所以D1E⊥C1E，结合D1E⊥BE知：D1E⊥平面BEC1
解:（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形
知DG⊥AB，从而DG⊥DC
以DC,DG，DD1为坐标轴，建立如图所示的坐标系
此时，
，设
由上面的讨论知平面BEC1的法向量为
由于AF⊄平面BEC1，故AF∥平面BEC1
故（λ+1，0，1）•（1，0，﹣1）=（λ+1)﹣1=0⇒λ=0，故
设平面ADF的法向量为,
由知,取，故
设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ,则
即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为．
20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，椭圆C和抛物线y2=x交于M，
N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且=，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】(1)由题意可知：e=知，即a=c,由b==c,设
，其中λ＞0，将代入,即可求得λ的值，求得椭圆C 的标准方程；
（2)由题意可知=,即（x1,y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2）,由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8
上，故有：，整理可
得:x1x2+2y1y2=﹣2，设直线l方为x=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理可知代入：，解得,即可求得故直线l的斜率为．
【解答】解：（1）由椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）,焦点在x轴上,
由e=知,即a=c,由b==c，
可设，其中λ＞0
由已知，
代入椭圆中得:，即，
解得,
从而，
故椭圆方程为
（2）设A（x1，y1）,B（x2，y2），P（x0，y0）,=（x1,y1）,=（x0﹣x2，y0﹣y2）, 由=，
∴(x1，y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2)
从而，
由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8上，故有：
第三个式子变形为：，
将第一,二个式子带入得：x1x2+2y1y2=﹣2（*）
分析知直线l的斜率不为零，故可设直线l方为x=my+2，
，整理得：(m2+2）y2+4my﹣4=0，
由韦达定理，
将(＊）变形为：（my1+2）（my2+2)+2y1y2=﹣2,
即（m2+2）y1y2+2m（y1+y2）+6=0，
将韦达定理带入上式得：，解得，
∵直线的斜率，
故直线l的斜率为．
21．已知函数f（x）=ln(ax+）+．
（1）若a＞0，且f（x)在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0,+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）首先对f（x）求导，f（x）在（0，+∞）上单调递增,即f'（x）在x＞0上恒有f’(x)≥0;利用分离参数法求出a的范围；
（2）利用反证法假设a存在，则f（x）≥1在x＞0上恒成立可得a＞；利用导数判断出函
数f（x）min=1时,可求出参数a的值；
【解答】解：(1）对f（x）求导：f’（x）=﹣；
∵f(x）在（0,+∞）上单调递增，即f’（x)在x＞0上恒有f'（x）≥0；
即：≥；
∵a＞0，x＞0；
∴⇒≤x2+；
故x2+在x＞0上最小值为；
所以：≤；
解得：a≥2．
（2）假设存在这样的实数a,则f(x)≥1在x＞0上恒成立，即ln（a+）+≥1；
⇒ln（a+）≥＞0=ln1，解得a＞；
从而这样的实数a必须为正实数，当a≥2时,由上面的讨论知f(x）在(0，+∞)上递增．
f（x）＞f(0）=2﹣ln2＞1，此时不合题意，故这样的a必须满足0＜a＜2；
此时：f'（x）＞0得f（x）的增区间为(）；令f’（x）＜0得f（x）的减区间为（0，）；
故f（x）min=f()=ln（a•+）+=1；
整理即:ln（）﹣=0;
⇒ln()﹣=0；
设t=∈(,1];
则上式即为lnt﹣=0,构造g（t）=lnt﹣，则等价于g（t）=0；
由于y=lnt为增函数，y=为减函数，故g（t）为增函数；
观察知g（1）=0，故g（t）=0等价于t=1，与之对应的a=1，
综上符合条件的实数a是存在的，即a=1．
[选修4—4:极坐标与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数)
(1)求曲线C的普通方程；
（2)在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ)+1=0,已知
直线l与曲线C相交于A,B两点，求|AB｜．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1)把参数方程中的x,y平方相加即可得普通方程；
(2）把直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，然后根据弦长公式计算即可．
【解答】解：(1）曲线C的参数方程为（α为参数），
x，y平方相加可得：x2+y2=2，①
（2）直线l方程为ρsin（﹣θ)+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，②
由②得：y=x+1，③
把③带入①得：2x2+2x﹣1=0，
∴,
∴｜AB｜=|x1﹣x2|
=
=
=
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x)=|2x﹣1｜
(1）解关于x的不等式f(2x）≤f（x+1）
（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义;绝对值不等式的解法．
【分析】（1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．
（2）利用已知条件化简所求的表达式,通过柯西不等式求解即可．
【解答】解：（1)|4x﹣1|≤|2x+1｜⇔16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1⇔12x2﹣12x≤0, 解得x∈[0,1］,故原不等式的解集为[0，1］．
(2）f(a2）+f（b2）=｜2a2﹣1|+|2b2﹣1｜≥|2（a2+b2)﹣2｜，
由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．
从而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等条件为a=b=1．
故f（a2）+f（b2）的最小值为2．
2016年12月21日。