(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．定积分= A ．
B ．
C ．
D ．
2．若函数()32n
x
f x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．3
3．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02
x π
≤≤
时，
()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）
A ．48π-
B ．24π-
C ．2π-
D ．36π-
4．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：
A ．
2π5
B ．
32
C ．
43
D ．
π2
5．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3
30
4S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）
A ．1-或12
-
B ．1或12
-
C ．12
-
D ．1
6．已知1
(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角
形的面积为 A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 7．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230
S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ） A ．1
B ．1
2
-
C ．1或12
-
D ．1-或12
-
8．定义{},,min ,,,
a a
b a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直
线4x =所围成的封闭图形的面积（ ）
A ．
1
2ln 26
+ B ．
1
2ln 24
+ C ．
1
ln 24
+ D ．
1
ln 26
+ 9．已知函数2
0()cos 0
x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知1
1
e
m dx x
=
⎰
，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a < D ．01a <<或0a <
11．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1
B ．﹣2
C ．﹣2或4
D ．4
12．若函数3
1()log ()(01)(,0)3
a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的
取值范围是( )． A ．2[,1)3
B ．1[,1)3
C ．1[,1)
(1,3]3
D ．(1,3]
二、填空题
13．
021
1
4e
dx x dx x
-+-=⎰
⎰______________.
14．已知函数()[)
[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪
=∈⎨⎪∈⎩
则()22f x dx π-=⎰___________
15．曲线2y x x 和2y
x x 所围成的封闭图形的面积是_______.
16．
1
20
21sin x dx xdx π
--=⎰
⎰______
17．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________. 18．已知(1
2
1
11,a x dx -=
-⎰则9
32a x x π⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________
19．由直线0x =， 23
x π
=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________． 20．曲线2y
x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.
三、解答题
21．已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >，设()g x 是()f x 的
导函数，讨论()g x 的单调性和极值。

22．计算： （1）7
10C （2）
()
2
22
24x x dx -+
-⎰
23．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为
274
.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[]
,m m -上的最大值. 24．计算下列各式的值． （1） ()0
sin cos d x x x π
-⎰；
（2）
21
32d x x x +-⎰
．
25．已知2
1()3cos cos 2
f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666
y f x x y x x y πππ=≤≤
=≤≤=-≤≤ 以及1
0(0)2
x y =-
≤≤ 围成的平面图形的面积． 26．已知函数2
1()12
f x x =-
+，x ∈R . （1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；
（2）求函数()f x 的图像与直线1y =-所围成的封闭图形的面积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B
【解析】 由题意得
，故选B.
2．A
解析：A
【解析】由题意，得()1
3ln32n x f x nx
-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以
1n =；故选A.
3．A
解析：A
【解析】
由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[]
,0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数
(),0,2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

容易算得函数
(),0,2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣⎦
的图像与
x
轴所围成的面积是
()2
011122S cosx dx π
ππ
⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭⎰，故借助函数图像的对称性求得函数
()[],2,2y f x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的面积是848S π=-，应选答案A 。

点睛：解答本题的思路是充分依据题设条件与函数图像的对称性，借助定积分的计算公式先求得函数(),0,
2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
的图像与x 轴所围成的面积，再乘以8即可得到函数()[],2,2y f x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的面积是848S π=-。

整个求解过程中体
现了数学中等价转化与化归的数学思想的巧妙、灵活运用。

4．C
解析：C
【解析】
试题分析：由图像可知函数解析式为()2
1f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积
()
1
23111
1114
1|113333S x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：解：∵3
30
4S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=
32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12
-，
故选B
考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算
点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为
()
0,1-，切线斜率(0=2k f '=）
，则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
和()0,1-，则
切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224
S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线
7．C
解析：C 【分析】
先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】
23312333
133|2727003
S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，
即
333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2
q =． 【点睛】
本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列
的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.
8．B
解析：B 【解析】
由31
x x
=
，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()3
1min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为
14
3
401
141111
|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B
9．C
解析：C 【分析】
由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩
，根据定积分的运算性质，得
1
01
2
2
()cos 2f x dx xdx dx π
π-
-=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨
<⎩
， 根据定积分的运算性质，可得
1
01
0100
2
2
2
()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x π
ππ-
--=+=+=+=⎰⎰⎰，
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10．C
解析：C 【分析】
利用积分求解出1m =；根据a 的符号和a -与1-之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到()f x 的单调性，符合在x a =-处()f x 左增右减时的a 的取值范围是满足题意的，从而得到所求范围. 【详解】
1
1
ln ln ln111e
e dx x e x ==-=⎰，即1m = 则()()()1
f x a x x a '=++
当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时
(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '<，此时()f x 单调递减
()1,x a ∈--时，()0f x '>，此时()f x 单调递增
则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 当01a <<时
(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 ()1,x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减
则()f x 在x a =-处取得极小值，不满足题意 当1a >时
(),x a ∈-∞-或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增
(),1x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减
则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 综上所述：1a >或0a < 【点睛】
本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调性.
11．D
解析：D 【解析】
∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，
∴若2
(22)(2)
t
t x dx x x -=-⎰
=t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.
12．B
解析：B 【解析】
由题意得0y '≥1
,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
在区间恒成立，即
210(3)ln x a a ≥-1,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在区间恒成立， 当1a > 时2
min (3)0a x a <⇒≤ ，舍；当01a << 时
2min 111
(3)3=1933
a x a a ，>⇒≥⨯∴≤< ，选B.
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
二、填空题
13．【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以＝故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析：21π+
【分析】
根据1(ln )x x
'=以及定积分的几何意义可得答案. 【详解】
1
1
e
dx x
⎰
=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，
因为2
-⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，
所以2
-⎰
21
222
ππ=⨯⨯=，
所以
11e
dx x
⎰2-+⎰＝12π+. 故答案为：21π+.
【点睛】
本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.
14．【分析】利用定积分的计算法则可得由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解【详解】因为函数所以故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题 解析：24π-
【分析】
利用定积分的计算法则可得()22f x dx π
-=
⎰2
23
2
2
2cos x dx xdx xdx ππ
π
-++⎰
⎰⎰，由基本初等函
数的求导公式求得原函数即可求解.
【详解】
因为函数()[)[)
[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪
=∈⎨⎪∈⎩
,
所以()22f x dx π
-=
⎰2
232
2
2cos x dx xdx xdx ππ
π
-++⎰
⎰⎰
422
22
2
1sin 4x x x
π
π
π
-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
24π=-,
故答案为:24π- 【点睛】
本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题.
15．【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为：故答案为【点睛】本题考查几何中面积
解析：1
3
【解析】 【分析】
本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然
后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。

【详解】
如图所示，曲线2y
x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积为：
22
22
3
221
3
331
1
12210
x x x
x dx
x x dx x
x
，故答案为13。

【点睛】
本题考查几何中面积的求法，考查利用微积分以及定积分的相关性质求解面积，考查数形结合思想，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。

16．【分析】利用定积分的几何意义可求的值再由微积分基本定理求得的值从而可得结果【详解】根据题意等于半径为1的圆的面积的四分之一为所以则；故答案为【点睛】本题主要考查定积分的几何意义属于中档题一般情况下定 解析：
22
π
-
【分析】
利用定积分的几何意义可求1
⎰
的值，再由微积分基本定理求得
sin xdx π
⎰
的值，
从而可得结果. 【详解】
根据题意，
1
2=⎰
⎰，
⎰等于半径为1的圆的面积的四分之一,为21144
ππ⨯⨯=，
所以10242
ππ=⨯=⎰， ()
sin cos 2xdx x π
π=-=⎰
，则10
sin 22
xdx π
π
-=
-⎰⎰；
故答案为
22
π
-．
【点睛】
本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰的几何意义
是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在
x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,
所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.
17．【解析】由题设曲线与所围成的平面图形的面积为应填答案
解析：16
【解析】
由题设曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为
2
2232
11
31251(32)(2)|23366S x x dx x x x =--=--=-+=⎰，应填答案16。

18．－1【解析】表示圆上半圆的面积所以那么原二项式为的展开式中各项系数和令那么故填：-1
解析：－1
【解析
】1
1
1
1
1a dx --=+
⎰
， 11
1
1|21dx x -==-⎰ ，
1
- ，表示圆
2
2
1x y += 上半圆的面积2π，所以22a π=+ ，那么原二项式为9
32x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 的展开式中各
项系数和，令1x = ，那么9
32111⎛
⎫⨯-=- ⎪⎝
⎭ ，故填：-1.
19．【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为考点：定积分的几何意义 解析：3
【解析】
试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为
223
30
2sin 2cos |
123S xdx x ππ=
=-=+=⎰．
考点：定积分的几何意义．
20．【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形
解析：4
3
【解析】
由2 2y x y x
⎧=⎨
=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2
4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是
()
2
223200
14233S x x dx x x ⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
三、解答题
21．见解析 【解析】
试题分析：先求()g x 的导数 ，根据导函数零点进行讨论：当1
4
a ≥
时，导函数无零点，()g x 在区间()0,+∞上单调递增，无极值. 当1
04
a <<
时，导函数有两零点，函数先增后减再增，有两个极值点。

列表根据导函数符号变化规律确定极值
试题
由已知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫
==--+'- ⎪⎝⎭
，
所以()2
22
112222242x a a g x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝'⎭=-+=
. 当1
04a <<时，()g x 在区间1141140,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递增， 在区间114114,22a a ⎛⎫
--+- ⎪
⎪⎝⎭
上单调递减，114114,22a a x x --+-=
=当时有极大值当时有极小值； 当1
4
a ≥
时，()g x 在区间()0,+∞上单调递增，无极值. 22．(1)120；(2)2π 【分析】
（1）根据组合数的对称性计算；
（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算. 【详解】 （1）7
3
10101098
C =C ==1203⨯⨯！
； （2）
(
)
2
22
222
2
2
24=24x x dx xdx x dx ---+-+-⎰
⎰⎰
，其中2
2
2xdx -⎰中()2f x x =是奇函
数，所以 2
2
20xdx -=⎰
；2
22
4x dx --⎰
表示圆心在原点半径等于2的圆在x 轴上方的面
积，故
(
)
2
2
2
222
2
2
424=24022
x x dx xdx x dx π
π---+-+-=+
=⎰
⎰⎰
. 【点睛】 （1）计算()a
a
f x dx -⎰
（0a >）时，若()f x 为奇函数，则()0a
a
f x dx -=⎰；若()f x 为偶
函数，则
()2()2()a
a
a
a
f x dx f x dx f x dx --==⎰
⎰⎰.
（2）组合数对称性：C =C ()m
n m
n n
m n -≤.
23．（1）32()3f x x x =-；
（2）当03m <≤时,max ()(0)0f x f ==；当3m >时,32
max ()()3f x f m m m ==-.
【分析】
（1）第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0，第二步，计算出图形与轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出；（2）根据（1）求出32()3f x x x =-，第一步：求函数的导数，第二步：求函数的极值点，和判断单调区间，第三步，根据区间，并极大值，并求
出
，因为，
，所以分
或
两种情况进行讨论，得出最大值.
【详解】
（1）由(0)0f =得0c
，
2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =，
∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为
27
[()]4
a
f x dx --=
⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. （2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：
又,①当03m <≤时,max ； ②当3m >时,32
max ()()3.f x f m m m ==- 综上可知：当03m <≤时,max ()(0)0f x f
==； 当3m >时,3
2
max ()()3.f x f m m m ==- 24．（1） 2
；（2） π 【分析】 （1）由题得
()0
sin cos d (cos sin )|x x x x x π
π
-=--⎰，计算即得解；
（2）如图，先求出扇形ACB 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】 （1）由题得
(
)00sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos0sin 0)x x x x x π
π
ππ-=--=-----⎰ =10102-++=；
（2）令22(1)4(13,0)y x y x y =∴-+=≤≤≥，
因为
1
x ⎰
等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，
如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为21
2=4
ππ⨯⨯， 所以
1
x π=⎰
.
【点睛】
本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
25．(1) π (2) 3
2
4
-
【解析】
【分析】
（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期函数求得函数的最小正周期．
（2）利用（1）中()
f x 的解析式，运用定积分求得面积．
【详解】
（Ⅰ）∵
,
∴.
∴的最小正周期为.
（Ⅱ）设由，，，以及围成的平面图形的面积为，
∵，
∴
3
12
12
sin23sin(2)
66
S x dx x dx
π
π
π
ππ
⎛⎫
=--+-
⎪
⎝⎭
⎰⎰.
∵
，
∴
.
∴由
，
，
以及
围成的平面图形的面积为
.
【点睛】
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，定积分在求面积中的应用，三角函数图象与性质等知识．综合考查了学生分析和推理的能力． 26．(1) 切线方程为1y =或23y x =-+(2) 163
【分析】
（1）设切点为2001,12P x x ⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
，切线斜率()00k f x x ==-'，即可求得曲线在P 点处的切线方程，把点()1,1代入解出0x 即可；（2）联立函数()f x 与直线1y =-的方程，从而可得函数()f x 的图象与直线1y =-所围成的封闭图形的面积：
()222112222f x dx x dx ⎛⎫
⎡⎤+=-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭
，利用微积分基本定理即可得出． 【详解】
（1）设切点为2001,12P x x ⎛
⎫
-+ ⎪⎝⎭
，切线斜率()00k f x x ==-'，所以曲线在P 点处的切线方程为()()2000112y x x x x ⎛⎫
--
+=-- ⎪⎝⎭
，把点()1,1代入，得()0001200
2x x x -=⇒=
或02x =，所以切线方程为1y =或23y x =-+.
（2）由21212
11
x y x y y ⎧
=-=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩或2
1x y =⎧⎨=-⎩ 所以所求的面积为()2322211161222220263f x dx x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=-+=-+= ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题. 应用导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.。