专题41 菱形的折叠问题(解析版)
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专题 41 菱形的折叠问题
1、在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，BC＝2cm，M 为 AB 的中点，N 为 BC 上一动点（不与点 B 重合），将△BMN 沿直线 MN 折叠，使点 B 落在点 E 处，连接 DE，CE，当△CDE 为等腰三角形时，线段 BN 的长为_____．
【解析】 【分析】 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如图 1 所示． 连结 AC，先利用勾股定理计算出 AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时， 只能得到∠EB′C=90°，所以点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，则 EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出 CB′=2，设 BE=x，则 EB′=x，CE=4-x，然后在 Rt△CEB′中运用勾股定理可 计算出 x． ②当点 B′落在 AD 边上时，如图 2 所示．此时 ABEB′为正方形． 【详解】 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如图 1 所示． 连结 AC，
tan M
tan 30
D'F FM
y 2x
y
3 ，解得 x 3
3 1 y ，所以 CF x
2
FD y
3 1
.
2
【点睛】
本题考查菱形的性质以及三角函数的基本应用，本题关键在于作出准确的辅助线
4、如图，菱形纸片 ABCD 中，A 60 ，将纸片折叠，点 A 、 D 分别落在 A ' 、 D ' 处，且 A' D' 经过 B ，
A． 5
【解析】
B． 7
C． 8
13
D．
2
【分析】
延长 DC 与 A' D' 交于点 M .根据折叠的性质，可得 A' D ' F D 120 ，利用角度的变换得到 CBM M ，所以 BC CM ，设 CF x ， D ' F DF y ，则 BC CD x y ，所以 FM CM CF 2x y . RtD ' FM 中， tan M tan 30 D ' F y 3 ，解出 x、y 的关系
∴x2+22=（4-x）2，解得 x= 3 ， 2
3
∴BE= ；
2
②当点 B′落在 AD 边上时，如图 2 所示．
2
此时 ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3．
3
综上所述，BE 的长为 或 3．
2
故选 D． 【点睛】 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾 股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 2、如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点 E 是射线 DA 上一动点，把△CDE 沿 CE 折叠， 其中点 D 的对应点为点 D′，若 CD′垂直于菱形 ABCD 的边时，则 DE 的长为_____．
【解析】 【分析】
作 CH AB 于 H ，如图，根据菱形的性质可判断 ABC 为等边三角形，则 CH 3 AB 4 3 ， 2
AH BH 4 ，再利用 CP 7 勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点 A ' 在以点 P 为圆心， PA 为半径
3
的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点 A ' 在 PC 上时， CA ' 的值最小，然后证明 CQ CP 即可．
FM 2x y 3
即可
5
【详解】
如图，延长 DC 与 A' D' 交于点 M .由已知可得 DCB A 60 ，D 180 A 120 .根据折叠的 性质，可得 A' D ' F D 120 ，所以 FD ' M 180 A' D ' F 60 .因为 D ' FM 90 ，所以 M 90 FD ' M 30 .因为 BCM 180 BCD 120 ，所以 CBM 180 BCM M 30 ，即得 CBM M ，所以 BC CM .设 CF x ， D ' F DF y ，则 BC CD x y ，所以 FM CM CF 2x y .在 RtD ' FM 中，
4
故选：B． 【点睛】 考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定 A′在 PC 上时 CA′的长度最 小．
3、如图，菱形 ABCD 的边， AB 8 ， B 60 , P 是 AB 上一点， BP 3 ，Q 是 CD 边上一动点，将梯 形 APQD 沿直线 PQ 折叠， A 的对应点 A ' ．当 CA ' 的长度最小时， C 'Q 的长为（ ）
1
在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，
∴AC= 42 32 =5，
∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设 BE=x，则 EB′=x，CE=4-x， 在 Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2，
【详解】
解：作 CH AB 于 H ，如图， 菱形 ABCD 的边 AB 8 ， B 60 ， ∴ABC 为等边三角形， CH 3 AB 4 3 ， AH BH 4 ，
2 PB 3 ， HP 1 ， 在 RtCHP 中， CP (4 3)3 12 7 ， 梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠， A 的对应点 A ' ， 点 A ' 在以点 P 为圆心， PA 为半径的弧上， 当点 A ' 在 PC 上时， CA ' 的值最小， APQ CPQ ， 而 CD / / AB ， APQ CQP ， CQP CPQ ， CQ CP 7 .
EF
为折痕，当
D'
F
CD
时，
CF FD
的值为（
）.
A． 3 1 2
【解析】 【分析】
B． 3 6
C． 2 3 1 6
D． 3 1 8
1、在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，BC＝2cm，M 为 AB 的中点，N 为 BC 上一动点（不与点 B 重合），将△BMN 沿直线 MN 折叠，使点 B 落在点 E 处，连接 DE，CE，当△CDE 为等腰三角形时，线段 BN 的长为_____．
【解析】 【分析】 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如图 1 所示． 连结 AC，先利用勾股定理计算出 AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时， 只能得到∠EB′C=90°，所以点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，则 EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出 CB′=2，设 BE=x，则 EB′=x，CE=4-x，然后在 Rt△CEB′中运用勾股定理可 计算出 x． ②当点 B′落在 AD 边上时，如图 2 所示．此时 ABEB′为正方形． 【详解】 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如图 1 所示． 连结 AC，
tan M
tan 30
D'F FM
y 2x
y
3 ，解得 x 3
3 1 y ，所以 CF x
2
FD y
3 1
.
2
【点睛】
本题考查菱形的性质以及三角函数的基本应用，本题关键在于作出准确的辅助线
4、如图，菱形纸片 ABCD 中，A 60 ，将纸片折叠，点 A 、 D 分别落在 A ' 、 D ' 处，且 A' D' 经过 B ，
A． 5
【解析】
B． 7
C． 8
13
D．
2
【分析】
延长 DC 与 A' D' 交于点 M .根据折叠的性质，可得 A' D ' F D 120 ，利用角度的变换得到 CBM M ，所以 BC CM ，设 CF x ， D ' F DF y ，则 BC CD x y ，所以 FM CM CF 2x y . RtD ' FM 中， tan M tan 30 D ' F y 3 ，解出 x、y 的关系
∴x2+22=（4-x）2，解得 x= 3 ， 2
3
∴BE= ；
2
②当点 B′落在 AD 边上时，如图 2 所示．
2
此时 ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3．
3
综上所述，BE 的长为 或 3．
2
故选 D． 【点睛】 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾 股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 2、如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点 E 是射线 DA 上一动点，把△CDE 沿 CE 折叠， 其中点 D 的对应点为点 D′，若 CD′垂直于菱形 ABCD 的边时，则 DE 的长为_____．
【解析】 【分析】
作 CH AB 于 H ，如图，根据菱形的性质可判断 ABC 为等边三角形，则 CH 3 AB 4 3 ， 2
AH BH 4 ，再利用 CP 7 勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点 A ' 在以点 P 为圆心， PA 为半径
3
的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点 A ' 在 PC 上时， CA ' 的值最小，然后证明 CQ CP 即可．
FM 2x y 3
即可
5
【详解】
如图，延长 DC 与 A' D' 交于点 M .由已知可得 DCB A 60 ，D 180 A 120 .根据折叠的 性质，可得 A' D ' F D 120 ，所以 FD ' M 180 A' D ' F 60 .因为 D ' FM 90 ，所以 M 90 FD ' M 30 .因为 BCM 180 BCD 120 ，所以 CBM 180 BCM M 30 ，即得 CBM M ，所以 BC CM .设 CF x ， D ' F DF y ，则 BC CD x y ，所以 FM CM CF 2x y .在 RtD ' FM 中，
4
故选：B． 【点睛】 考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定 A′在 PC 上时 CA′的长度最 小．
3、如图，菱形 ABCD 的边， AB 8 ， B 60 , P 是 AB 上一点， BP 3 ，Q 是 CD 边上一动点，将梯 形 APQD 沿直线 PQ 折叠， A 的对应点 A ' ．当 CA ' 的长度最小时， C 'Q 的长为（ ）
1
在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，
∴AC= 42 32 =5，
∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设 BE=x，则 EB′=x，CE=4-x， 在 Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2，
【详解】
解：作 CH AB 于 H ，如图， 菱形 ABCD 的边 AB 8 ， B 60 ， ∴ABC 为等边三角形， CH 3 AB 4 3 ， AH BH 4 ，
2 PB 3 ， HP 1 ， 在 RtCHP 中， CP (4 3)3 12 7 ， 梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠， A 的对应点 A ' ， 点 A ' 在以点 P 为圆心， PA 为半径的弧上， 当点 A ' 在 PC 上时， CA ' 的值最小， APQ CPQ ， 而 CD / / AB ， APQ CQP ， CQP CPQ ， CQ CP 7 .
EF
为折痕，当
D'
F
CD
时，
CF FD
的值为（
）.
A． 3 1 2
【解析】 【分析】
B． 3 6
C． 2 3 1 6
D． 3 1 8