2019版高考数学大一轮复习 第九章第9节 第1课时 直线与圆锥曲线学案 理 新人教B版

第1课时 直线与圆锥曲线
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
知 识 梳 理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量
y )的一元方程，
即⎩
⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.
(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|
＝
1＋1
k
2·|y 1－y 2|[常用结论与微点提醒]
1.直线与椭圆位置关系的有关结论
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论
(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( ) (4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2
|y 1－y 2|.( )
解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.
(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A
3.(教材习题改编)已知与向量v ＝(1，0)平行的直线l 与双曲线x 2
4－y 2
＝1相交于A ，B 两点，
则|AB |的最小值为________.
解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 2
4－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2
)，
所以x 1＝4（1＋m 2
）＝21＋m 2
，
x 2＝－21＋m 2，
所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2
， 所以|AB |＝41＋m 2
≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案 4
4.过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1x 2等于________.
解析 易知抛物线y ＝2x 2
的焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，18，设过焦点的直线的斜率为k ，则其方程为y ＝kx
＋1
8，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2
，y ＝kx ＋18 得2x 2
－kx －18＝0，故x 1x 2＝－116.
答案 －1
16
5.已知F 1，F 2是椭圆16x 2
＋25y 2
＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________.
解析 由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，
|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝4c 2
＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2
－2|PF 1|·|PF 2|＝202
－2|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝128，
所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝1
2×128＝64.
答案 64
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，
0)，且点P (0，1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2
＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P (0，1)在曲线C 1上，
∴0a 2＋1b
2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2
＝2，
所以椭圆C 1的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2＋y 2＝1，y ＝kx ＋m
消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，
所以Δ1＝16k 2m 2
－4(1＋2k 2
)(2m 2
－2)＝0. 整理得2k 2
－m 2＋1＝0.①
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝4x ，y ＝kx ＋m 消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，
所以Δ2＝(2km －4)2
－4k 2m 2
＝0，整理得km ＝1.② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－22，
m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x － 2. 规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2
项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.
【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 2
9
＋y 2
4＝1的交点个数为( )
A.至多一个
B.2
C.1
D.0
解析 ∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2＝4没有交点，
∴4
m 2＋n 2
>2，∴m 2
＋n 2
<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 2
4＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y
2
4＝1的
内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝1的交点有2个，故选B.
答案 B
考点二 弦长问题
【例2】 (2018·黄山二模)设F 1，F 2分别是椭圆D ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2
作倾斜角为π
3的直线交椭圆D 于A ，B 两点，F 1到直线AB 的距离为23，连接椭圆D 的四个
顶点得到的菱形的面积为2 5. (1)求椭圆D 的方程；
(2)设过点F 2的直线l 被椭圆D 和圆C ：(x －2)2
＋(y －2)2
＝4所截得的弦长分别为m ，n ，当
m ·n 最大时，求直线l 的方程.
解 (1)设F 1的坐标为(－c ，0)，F 2的坐标为(c ，0)(c >0)， 则直线AB 的方程为y ＝3(x －c )，即3x －y －3c ＝0， ∴
|－3c －3c |（3）2
＋（－1）
2
＝23，解得c ＝2.
∵1
2·2a ·2b ＝25，∴ab ＝5， 又a 2
＝b 2
＋c 2
，∴a 2
＝5，b 2
＝1， ∴椭圆D 的方程为x 2
5
＋y 2
＝1.
(2)由题意知，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2t |
t 2＋1
，
∴n ＝222
－d 2
＝
4
t 2＋1
，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，x 2
5
＋y 2
＝1得(t 2＋5)y 2
＋4ty －1＝0， 设直线l 与椭圆D 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝－
4t t 2
＋5，y 1y 2＝－1
t 2＋5
， ∴m ＝1＋t 2
|y 1－y 2|＝25（t 2
＋1）
t 2＋5
，
∴m ·n ＝85·t 2
＋1
t 2＋5
＝
85
t 2
＋1＋
4
t 2＋1
≤25
⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当t 2＋1＝4t 2＋1，即t ＝±3时，等号成立，
∴直线l 的方程为x －3y －2＝0或x ＋3y －2＝0. 规律方法 弦长的三种常用计算方法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.
(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离
公式求弦长.
(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.
【训练2】 (2018·郑州一模)已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2
＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，
由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，
得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，
∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16. 答案 16
考点三 中点弦问题(多维探究)
命题角度1 利用中点弦确定直线或曲线的方程
【例3－1】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E
于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 2
27＝1 C.x 2
27＋y 2
18
＝1
D.x 2
18＋y 2
9
＝1 (2)(一题多解)已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 2
2＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平
分，则此弦所在的直线方程为________.
解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，
所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2
a 2＋y 2
b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a
2
4＋b 2x 2－32a 2x ＋94a
2－a 2b 2
＝0，
所以AB 的中点的横坐标为32
a 2
2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2
，
又a 2
＝b 2
＋c 2
，所以b ＝c ＝3，a ＝3 2.
(2)法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，此弦的两端点
坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 24＋y 2
2＝1，消去y 整理得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2
－2k －1)＝0，∴x 1＋
x 2＝
4k （k －1）
2k 2
＋1
， 又∵x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2
＋1＝2，解得k ＝－1
2
. 故此弦所在的直线方程为y －1＝－1
2(x －1)，即x ＋2y －3＝0.
法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， 此弦的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 22
2
＝1②， ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，
∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2＝0，
∴k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2
. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1
2(x －1)，即x ＋2y －3＝0.
答案 (1)D (2)x ＋2y －3＝0 命题角度2 利用中点弦解决对称问题
【例3－2】 若抛物线y ＝2x 2
上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－1
2
，则实数m 的值为________.
解析 由题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝2x 2
得2x 2
＋x －b ＝0， ∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－b 2＝－1
2，
∴b ＝1，即直线AB 的方程为y ＝－x ＋1. 设AB 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝
x 1＋x 2
2＝－1
4
，代入y 0＝－x 0＋1， 得y 0＝54，则M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，54，
又M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，54在直线y ＝x ＋m 上， ∴54＝－1
4＋m ， ∴m ＝32.
答案 32
规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋
x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2
x 1－x 2
三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求
得斜率.
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用.
【训练3】 若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________.
解析 因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，则a 2
－b 2
＝4，所以可设椭圆方程为
y 2
b 2＋4
＋x 2
b
2＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋7，
y 2b 2＋4＋x 2
b
2＝1，消去x ，整理得 (10b 2
＋4)y 2
－14(b 2
＋4)y －9b 4
＋13b 2
＋196＝0，
设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系得： y 1＋y 2＝14（b 2
＋4）
10b 2
＋4＝2. 解得：b 2
＝8.所以a 2
＝12. 则椭圆方程为x 28＋y 2
12＝1.
答案 x 2
8
＋y 2
12
＝1
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的交点个数是( )
A.1
B.2
C.1或2
D.0
解析 由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝b
a
x 平行，故直线与双曲线的交点个
数是1. 答案 A
2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的
中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.2x ±y ＝0
D.x ±2y ＝0
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1①，x 22a 2－y 22
b 2＝1②，由①－②得
（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2
＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2
，结合题意化简得4b 2
a 2＝1，即
b a ＝1
2
，所以双曲线C 的渐近线方程为x ±2y ＝0.
答案 B
3.抛物线y ＝x 2
上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2 B.72
8
C.2 2
D.526
解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝
|x －y －2|2
＝
|－x 2
＋x －2|2
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742
，
∴x ＝12时， d min ＝728.
答案 B
4.经过椭圆x 2
2＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐
标原点，则OA →·OB →
等于( ) A.－3 B.－13
C.－1
3
或－3
D.±13
解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 2
2＋y 2＝1并整理得3x 2
－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交
点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也
可得OA →·OB →
＝－13.
答案 B
5.(2018·太原一模)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，
O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )
A.6
B.8
C.12
D.16
解析 由题意知抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△
AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联
立，消去x 得ky 2
－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k
，y 1y 2＝－4，
所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为1
2×1×16
k
2＋16＝
6，解得k ＝±2， 所以|AB |＝1＋1
k
2|y 1－y 2|＝6，故选A.
答案 A 二、填空题
6.(2018·赣州调研)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.
解析 易知直线OM 的方程为y ＝－2x ，则线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0， 把焦点坐标⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2代入2x －4y ＋5＝0可求得p ＝52，从而得到准线方程为y ＝－54.
答案 y ＝－54
7.(2018·龙岩二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________.
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2
，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. 答案 x 24＋y 22
＝1 8.(2018·福建四地六校模拟)过椭圆x 216＋y 24
＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________.
解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，
由于A ，B 两点均在椭圆上，
故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224
＝1， 两式相减得
（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4
＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，
∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34
. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34
(x －3). 即3x ＋4y －13＝0.
答案 3x ＋4y －13＝0
三、解答题
9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.
(1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.
解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，
又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43
a ，
l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得(a 2＋
b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(
c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2
）a 2＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2
a 2＋
b 2，故a 2＝2b 2
， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22
. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知
x 0＝x 1＋x 2
2＝－a 2
c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0
＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.
故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.
10.如图，已知椭圆x 2
2＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12
对称.
(1)求实数m 的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).
解 由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为 y ＝－1
m x ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2＋y 2＝1，
y ＝－1m x ＋b 消去y ， 得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 2
2＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m
2＞0，① 则x 1＋x 2＝4mb m 2＋2，y 1＋y 2＝2m 2b m 2＋2， (1)将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2
＋22m 2，②
由①②得m ＜－63或m ＞63
. 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－
63∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫63，＋∞. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，则 |AB |＝t 2
＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝
t 2＋
12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，
所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12
时，等号成立. 故△AOB 面积的最大值为22
. 能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·河北百校联考)已知抛物线y 2
＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B
两点(A 在第一象限内)，AF →＝3 FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则△ABG
的面积为( )
A.839
B.1639
C.3239
D.6439 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，
所以y 1＝－3y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝4x ，x ＝my ＋1消去x 得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧y 1＝23，y 2＝－233，∴y 1＋y 2＝4m ＝433， ∴m ＝33，∴x 1＋x 2＝103，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，233，过AB 中点且垂直于直线l 的直线方
程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53，令y ＝0，可得x ＝113，所以S △ABG ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋233＝3239
. 答案 C
12.已知椭圆x 24＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________.
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，
所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.
由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a
＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 3
13.(2018·海口调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12
，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3. (1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交
于点P ，当PB →·PD →＝0时，求点P 的坐标. 解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，
所以椭圆方程为x 24＋y 23
＝1. (2)由(1)知B (2，0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，
把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 2
3
＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，
所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2⇒x 1＝8k 2－63＋4k
2， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，
所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
3＋4k 2，－6k
3＋4k 2，
则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k
3＋4k 2＝
－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k
2
3＋4k 2，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2k
3＋4k 2.
又PB →·PD →＝0，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2k
3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
－63＋4k 2，－14k
3＋4k 2＝0，
化简得64k 4＋28k 2
－36（3＋4k 2）2＝0⇒64k 4＋28k 2
－36＝0，
解得k ＝±34.
故P ⎝⎛⎭⎫0，27或⎝⎛⎭⎫0，－27.。