2025届重庆江北区高三六校第一次联考数学试卷含解析

2025届重庆江北区高三六校第一次联考数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(2)3,(ln 2)
()32,(ln 2)x
x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的
取值范围是（ ） A ．1,
2
e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(,1]-∞
C ．1,12e -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．[ln 2,1]
2．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．
1
2
B ．
45
C ．38
D ．
34
3．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x π
π+=-（
）（），且58
f π
=（），则b =（ ） A ．3
B ．3或7
C ．5
D ．5或8
4．曲线2
4x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-
B ．23y x =-
C ．3y x =-+
D ．25y x =-+
5．已知函数()()2,2
11,2
2x a x x f x x ⎧-≥⎪
=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有
()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞
B ．13,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．13,8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．13,8⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．24π+
B ．24π-
C ．242π-
D ．243π-
7．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在
20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．()2
112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭
B ．(2)0()f f t ->>
C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
8．若23455
012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）
A ．
54
B ．
58
C ．
516
D ．
532
9．已知，
都是偶函数，且在上单调递增，设函数
，若
，则（ ）
A ．且
B ．且
C ．且
D ．
且
10．设集合{}1,2,3A =，{}
2
20B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}2,3-
C ．{}1,2,3--
D ．{}3
11．已知复数21
i
z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1
B ．i -
C ．1
D ．i
12．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④
B ．①③
C ．②③
D ．①②
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若复数z 满足23z z i +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =________.
14．若tan 2α=，则
cos 24sin 24παπα⎛
⎫- ⎪
⎝⎭=⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭____. 15．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是棱1CC 靠近
1C 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______．
16．设()f x 为偶函数，且当(]
2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：
①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，
，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，
，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列． 其中，正确命题的序号是_______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知集合(){}
2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ；
（2）若A
B B =，求实数m 的取值范围.
18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒，现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达
点P ，点M ，N 分别在直线PC ，PD 上，且A ，B ，M ，N 四点共面.
（1）求证：MN BD ⊥；
（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，二面角M AB D --平面角大小为30，求直线PC 与平面BMN 所成角的正弦值. 19．（12分）已知函数()|1|||f x x x a =+-+. （1）若1a =-，求不等式()
1f x -的解集；
（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.
20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD 是等腰三角形，且顶角
120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.
（1）求证：//DM 平面PBC ；
（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小.
21．（12分）已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为3
112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）已知点()1,0M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求
||MA MB -‖‖. 22．（10分）设椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知椭圆离心率为12，过点F 且与x 轴
垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若
BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 斜率的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果. 【详解】
当ln2x ≥时，()()()
'12x
f x x e =---，
令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(]
,2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤
又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即
1x ln22
e
-≤<， ∴
1e
22
m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 故选C. 【点睛】
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题. 2、C 【解析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x y
y x ≤⎧⎨-≤⎩
，在平面直角
坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：
11
10101010553221010
8
P
. 故选：C 【点睛】
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 3、B 【解析】
根据函数的对称轴8
x π=以及函数值，可得结果.
【详解】
函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，
若88f x f x π
π
+=-（
）（），则()f x 的图象关于8x π
=对称，
又58
f π
=（
），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】
本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 4、A 【解析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】
曲线2
4x y =，即2
14
y x =
， 当2x =时，代入可得2
1124
t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，
求得导函数可得1
2
y x '=
， 由导数几何意义可知1
212
k y ='=
⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 5、B 【解析】
由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()2
12212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭
，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()2
2012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫
-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,
8⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
．
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题. 6、B 【解析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18
， 如图，故其表面积为2
124342248
πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 7、D 【解析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．
由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=
∴函数()f x 关于直线1x =-对称；
()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；
又
(2)(0)f f -=
()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；
22311
2()0224t t t ++-
=++>，21t t ∴++比12
离对称轴远， ∴可得21
(1)()2
f t t f ++>，∴选项A 成立；
22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；
20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8、C 【解析】 根据5
51
[(21)1]32
x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551
[(21)1]32
x x =
-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有
3
2255111545323232216
C C a ⨯=
⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 9、A 【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，
， ∵，∴
，∴，
∴若：
，
，∴
，
若：
，，∴
，
若：
，，∴， 综上可知
，同理可知
，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致
与
大小不明确的讨论，从
而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上. 10、A 【解析】
根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B . 【详解】
依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-. 【点睛】
本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题. 11、A 【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】
2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2
z +-+=
===----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 12、C 【解析】
①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的
两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时.
【详解】
①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；
②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；
③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；
④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.
故选:C.
【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1i +
【解析】
设z a bi =+，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得,a b 的值.
【详解】
设z a bi =+，由23z z i +=+，得2233a bi a bi a bi i ++-=+=+，所以1,1a b ==，所以1z i =+.
故答案为：1i +
【点睛】
本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.
14、17
【解析】
由tan 2α=， 得出4tan 23α=-
，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果. 【详解】
因为tan 2α=， 所以4tan 23
α=-， 所以4cos 21cos 2cos sin 2sin 1tan 2143444tan 217sin 2cos cos 2sin 1sin 24434πππααααπππαααα⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭====-⎛⎫---- ⎪⎝
⎭. 故答案为：17
.
【点睛】
本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.
15、12
【解析】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的BC a =，且BC 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【详解】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的AB a ，且AB 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ， 则直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh abh ==，
又由三棱锥1A AEF -的体积为1111111123326A AEF F AA E V V S h ah b abh --==
=⨯⨯==， 解得12abh =，即直四棱柱的体积为12。

【点睛】
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

16、①②③
【解析】
根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.
【详解】
解：当4a =时()()[)()()[)
20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪
=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数 ∴可画出()f x 的图象，如下所示：
可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确；
若[]01m ∀∈，
，函数()g x 的零点不超过4个， 即[]01m ∀∈，
，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立 又当[)2x ∈+∞，
时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，
上恒成立 a x ∴≤在[)2x ∈+∞，
上恒成立 2a ∴≤
由于偶函数()f x 的图象，如下所示：
直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确；
对()1m ∀∈+∞，
，偶函数()f x 的图象，如下所示：
()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故答案为：①②③
【点睛】
本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）{}|36x x -<≤；（2）[][)1,24,-+∞
【解析】
（1）将3m =代入可得集合B ，解对数不等式可得集合A ，由并集运算即可得解.
（2）由A B B =可知B 为A 的子集，即B A ⊆；当B =∅符合题意，当B 不为空集时，由不等式关系即可求得m 的取值范围.
【详解】
（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，
依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤，
故{}|36A B x x =-<≤；
（2）因为A
B B =，故B A ⊆； 若213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意；
若213m m -<+，即4m <时，21335m m -≥-⎧⎨
+≤⎩， 解得12m -≤≤；
综上所述，实数m 的取值范围为[]
[)1,24,-+∞. 【点睛】
本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.
18、（1）证明见解析；（2）
5 【解析】
（1）根据余弦定理，可得AB BD ⊥，利用AB //CD ，可得CD //平面ABMN ，然后利用线面平行的性质定理，CD //MN ，最后可得结果.
（2）根据二面角M AB D --平面角大小为30，可知N 为PD 的中点，然后利用建系，计算PC 以及平面BMN 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）不妨设2AB =，则4=AD ，
在ABD ∆中,
2222cos BD AB AD AB AD A =++⋅⋅，
则23BD =，
因为22241216AB BD AD +=+==，
所以AB BD ⊥，因为AB //CD ，
且A 、B 、M 、N 四点共面，所以CD //平面ABMN .
又平面ABMN 平面PCD MN =，所以CD //MN .
而CD BD ⊥，MN BD ⊥.
（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，
所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥，
因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，
因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30，
所以30DBN ∠=︒，在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点，
如图，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()002P ,
,，()2,23,0C ， ()3,1N ，()
3,1M ， ()1,0,0NM =，()0,3,1BN =，()
2,23,2PC =-，
设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =，
则由0000x n NM n BN z =⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩， 令1y =
，得(0,1,n =-.
设PC 与平面BMN 所成角为θ， 则()15sin cos 905
n PC
n PC θθ⋅=︒-==⋅. 【点睛】
本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
19、（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
（2）[]2,0-
【解析】
（1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集.
（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足
()max
|21|f x a +即可.
【详解】 解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩
由()1f x -，得12
x . 故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. （2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，
所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题， 所以()max |21|f x a +.
因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，
所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+，
即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.
20、（1）见解析；（2 【解析】
（1）设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，首先通过条件得出CB AB ⊥，加DN AB ⊥，可得//DN BC ，进而可得//DN 平面PBC ，再加上//MN 平面PBC ，可得平面//DMN 平面PBC ，则//DM 平面PBC ；
（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO ，可得PO ⊥平面ABCD ，加上BD ⊥平面PCO ，则可如图建立直角坐标系O xyz -，求出平面PAB 的法向量和平面PAC 的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，
ABD 为等边三角形，
DN AB ∴⊥，
DC CB =，120DCB ∠=︒，
30CBD ∴∠=︒，
603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥，
DN AB ⊥，
//DN BC ∴，
BC ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC ，
//DN ∴平面PBC ，
MN 为PAB △的中位线，
//MN PB ∴，
PB ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，
//MN ∴平面PBC ，
MN 、DN 为平面DMN 内二相交直线，
∴平面//DMN 平面PBC ，
DM ⊂平面DMN ，
//DM ∴平面PBC ；
（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO
ABD 为等边三角形，BCD 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒
AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，
A ∴、C 、O 共线，
PC BD ⊥，BD CO ⊥，PC CO C =，PC ，CO ⊂平面PCO
BD ∴⊥平面PCO .
PO ⊂平面PCO
BD PO ∴⊥
平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBD
PO ∴⊥平面ABCD .
设2AB =，则3AO =
在BCD 中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠
又BC CD =，
222222cos120BC BC ∴=-⋅︒， 233CB CD ∴==，33
CO =， PD PB ⊥，O 为BD 中点，
112
PO BD ∴==， 建立直角坐标系O xyz -（如图），则
3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，)
3,0,0A
，()0,1,0B .
()3,1,0BA ∴=-，()
3,0,1PA =-， 设平面PAB 的法向量为(),,n x y
z =，则，
0000y n BA n PA z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩，
取1x =，则y z ==
(1,3,n ∴=，
平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =， 21cos ,7n OB
n OB n OB ⋅==⋅，
二面角C PA B --为锐角，
∴二面角C PA B --的余弦值大小为7
. 【点睛】
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题. 21
、 (1) ()2
224x y -+=
.y x =
(2) 【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；
（2）设,A B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.
【详解】
（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=， 又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，可得224x y x +=，即()2224x y -+=， 所以曲线C
的普通方程为()2
224x y -+=. 由直线l 的参数方程为112x
y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数可得13y x =-，即
直线l
的方程为1)y x =-
，即y x =. （2）设,A B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l
的参数方程112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线22:40
C x y x +-=
中，可得2
2114104t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
化简得：230t -=
，则12t t +=
所以1212||||||||||||MA MB t t t t -=-=+=【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22、（Ⅰ）22143x y +=
（Ⅱ）,44⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】 （Ⅰ）由题意可得2
23b a
=，c e a =，222a b c =+，解得即可求出椭圆的C 的方程； （Ⅱ）由已知设直线l 的方程为y =k (x -2) ，(k ≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF ⊥HF ,解得 H y .由方程组消去y ，解得M x ，由MOA MAO ∠≤∠,得到1M x ≥,转化为关于k 的不等式，求得k 的范围.
【详解】
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3， 所以2
23b a
=， 因为椭圆离心率e 为
12，所以12c a =， 又222a b c =+，
解得2a =，1c =
，b =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=； （Ⅱ）设直线l 的斜率为()0k k ≠，则()2y k x =-，设(),B B B x y ， 由()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
得()2222431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643
B k x k -=+， 从而21243
B k y k -=+， 由（Ⅰ）知，()1,0F ，设()0,H H y ，
所以()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭
， 因为BF HF ⊥，所以0BF HF ⋅=， 所以222124904343H ky k k k -+=++，解得2
94 12H k y k
-=， 所以直线MH 的方程为2
19412k y x k k
-=-+， 设(),M M M x y ，由()2219412y k x k y x k k ⎧=-⎪⎨-=-+⎪⎩
消去y ，解得()22209121M k x k +=+， 在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔<， 即()2
2222M M M M x y x y -+≤+， 所以1M x ≥，即()
222091121k k +≥+，
解得k ≤
，或k ≥. 所以直线l
的斜率的取值范围为,44⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，
属于难题.。