2021-2022学年辽宁省锦州市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年辽宁省锦州市高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知等差数列{}n a 的通项公式53n a n =-+，则它的公差为（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5-
【答案】D
【分析】由21a a -求得公差.
【详解】依题意，等差数列{}n a 的通项公式53n a n =-+， 122,7a a =-=-，
所以公差为215a a -=-. 故选：D
2．已知随机变量X 服从正态分布()2
,N μσ，若()()241P X P X >-+≥=，则μ=（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】由于随机变量X 服从正态分布()2
,N μσ，且()()241P X P X >-+≥=，
而()()221P X P X >-+≤-=， 所以()()42P X P X ≥=≤-， 所以()
4212
μ+-=
=. 故选：B
3．函数()y f x =的图象如图所示，则(1)f ' 与(3)f '的大小关系是（ ）
A ．(1)(3)f f ''<
B ．(1)=(3)''f f
C ．(1)(3)f f ''>
D ．(1)(3)0f f ''+> 【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，函数在点()00,x y 处的导数值，即函数在这一点的切线的斜率，结合图象即可得解；
【详解】解：由图可知(1)0f '<，(3)0f '<且(1)(3)f f ''<； 故选：A
4．某铁球在0℃时，半径为1dm ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t ℃时铁球的半径为()1dm at +，其中a 为常数，则在
0=t 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）（参考公式：3
4
π3
V R =球）
A ．0
B ．4π
C ．4πa
D ．4π3
a
【答案】C
【分析】先求得铁球体积关于温度t 的表达式，再对其求导，进而即可求得在0=t 时，铁球体积对温度的瞬时变化率. 【详解】3344
ππ(1+)33
V R at =
=球， 则'
224
π3(1+)4π(1+)3
V at a a at =
⨯⨯=球 则20
4π(1+0)4πt V a a a '==⨯=球
，
即在0=t 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为4πa 故选：C
5．针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗．已知甲、乙两个
机构各自研制成功的概率分别为1
3和14
，而且两个机构互不影响，则恰有一个机构研制
成功的概率为（ ） A ．
9
20
B ．
512
C ．
720
D ．
112
【答案】B
【分析】根据相互独立事件概率计算方法，计算出正确答案.
【详解】依题意，有一个机构研制成功的概率为11115
11343412
⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故选：B
6．随机变量X 的分布列是
若()212E X +=，则()D X =（ ）A ．1 B ．4 C ．
11
7 D ．74
【答案】D
【分析】根据()212E X +=以及1
13a b ++=求得(),,a b E X ，进而求得()D X .
【详解】依题意12
1,33
a b a b ++=+=①，
()()227,2121222333E X a b E X a b a b ⎛
⎫=-+++=-+++=-++= ⎪⎝
⎭，整理得16a b -=②，
由①②解得51,124a b =
=，且()512112432
E X =-++=. 所以()2
2
2
151111711221224234D X ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
故选：D
7．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()
()
1n n n n f x x x f x +=-
'，则称数列{}n x 为牛顿数列，如果()22f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设1
ln
2
n n n x a x +=-且11a =，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S =（ ）
A ．2022
2
1- B ．2022
2
2-
C ．2022
1122
⎛⎫- ⎪
⎝⎭
D ．2022
122⎛⎫- ⎪
⎝⎭
【答案】A
【分析】先求得n a ，然后等比数列的前n 项和公式求得n S ，进而求得正确答案. 【详解】依题意11a =，2n x >，
()22f x x x =--，()'12f x x =-，
依题意()
()
1n n n n f x x x f x +=-
'， 即212
21
n n n n n x x x x x +--=--，
则()2
2
12
1211121
n
n n n n n n x x x x x x x +--=-+=-+-+，
()2
2
12
2221221
n n n n n n n x x x x x x x +--=--=----（由于2n x >，所以1
2n x +≠）， 则()()12
2
11122n n n n x x x x ++++=--，
两边取对数得12
1111ln ln 2ln
222n n n n n n x x x x x x ++⎛⎫+++== ⎪---⎝⎭
，即12n n a a +=， 所以数列{}n a 是首项为11a =，公比为2的等比数列，所以12n n a .
所以122112
n n n S -=
=--，所以2022
202221S =-. 故选：A
8．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，且()()0f x f x <'<，则（ ） A ．()()e 21f f >，()()2e 1f f > B ．()()e 21f f >，()()2e 1f f < C ．()()e 21f f <，()()2e 1f f < D ．()()e 21f f <，()()2e 1f f >
【答案】D
【分析】根据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】构造函数()()()
()()e e x x
f x f x f x
g x g x '-'=
⇒=，因为()()f x f x '<，
所以()0g x '>，因此函数()g x 是增函数， 于是有2(2)(1)(2)(1)(2)e (1)e e
f f
g g f f >⇒
>⇒>， 构造函数()()e ()e [()()]x x h x f x h x f x f x ''=⋅⇒=+，因为()()0f x f x <'<， 所以()0h x '<，因此()h x 是单调递减函数， 于是有2(2)(1)e (2)e (1)e (2)(1)h h f f f f <⇒<⇒<， 故选：D
【点睛】关键点睛：根据不等式的形式构造新函数，再利用导数的性质是解题的关键.
二、多选题
9．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()21f f ->-
B ．1x =是()f x 的极小值点
C ．函数()f x 在()1,1-上有极大值
D ．3x =-是()f x 的极大值点
【答案】AD
【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可. 【详解】由()y f x '=的图象可知：当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，所以函数()f x 单调递增；
当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，因此有()()21f f ->-，3x =-是()f x 的极大值点，所以选项A 、D 正确；
当(1,1)x ∈-，或(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在
()1,1-上没有极大值，且1x =不是()f x 的极小值点，所以选项B 、C 不正确，
故选：AD
10．有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件B =“任取一个零件为次品”，事件=i A “零件为第i 台车床加工”（1i =，2，3），则（ ）
A ．()10.06P
B A = B ．()20.015P A B =
C ．()0.0525P B =
D ．()13
7
P A B =
【答案】ABC
【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.
【详解】解：根据题意()6%25%5%30%5%45%0.0525P B =⨯+⨯+⨯=，故C 正确；
()()120.25,0.3P A P A ==，
则()16%0.25
0.060.25
P B A ⨯=
=，故A 正确；
()20.35%0.015P A B =⨯=，故B 正确；
()16%0.253
6%4
P A B ⨯=
=，故D 错误. 故选：ABC.
11．已知在数列{}n a 中，11a =，()10n
n n a a b b ++=>，其前n 项和为n S ，则（ ）
A ．当1b =时，9951S =
B ．当1b >时，数列{}n a 是递增数列
C ．30a >
D ．对任意0b >，存在R λ∈，使得数列{}n
n a b λ-成等比数列
【答案】CD
【分析】通过计算判断AC 选项的正确性，利用特殊值判断B 选项错误，根据等比数列的知识判断D 选项的正确性.
【详解】A 选项，当1b =时，11n n a a ++=， 由于11a =，所以213210,11a a a a =-==-=，……，
以此类推，可知此时数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为0，9950S =，所以A 选项错误.
C 选项，11a =，()10n
n n a a b b ++=>，212,1a a b a b +==-，
2
2
2
2
323213,1024a a b a b a b b b ⎛
⎫+==-=-+=-+> ⎪⎝
⎭，所以C 选项正确.
B 选项，不妨设2b =，根据
C 选项的分析可知121,11a a b ==-=， 此时数列{}n a 不是递增数列，所以B 选项错误.
D 选项，当0b >时，由1n n n a a b ++=得1n
n n a a b +=-+，
()1111n n n
n n n n b b a b b b a a λλλ+++⎡⎤-+-=---⋅-⎣=⎦
， 要使数列{}n
n a b λ-成等比数列，则()1
1,11,1b b b
λλλλ=-+==
+， 即任意0b >，存在11b λ=
+，使数列{}n
n a b λ-成首项为11110111b a b b b b
-
⋅=-=>+++， 公比为1-的等比数列，所以D 选项正确.
故选：CD
12．对于函数()ln x
f x x
=
，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增 B ．当1201x x 时，1221ln ln x x x x ⋅>⋅ C ．若函数()y f x k =-有两个零点，则0k <
D ．设()2
g x x a =+，若对1x ∀∈R ，()21,x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则e a ≥
【答案】BD
【分析】利用函数的定义域判断A 选项的正确性；利用()f x 的单调性来判断B 选项的正确性；结合()y f x =的图象来判断C 选项的正确性；通过求()f x 和()g x 在给定区间上的取值范围来判断D 选项的正确性. 【详解】对于A 选项，()ln x
f x x
=
的定义域为()()0,11,+∞，所以A 选项错误.
对于B 选项，()()
'
2
ln 1
ln x f x x -=
，当01x <<时，()'
0f x <，()f x 递减.
由于1201x x ，所以()()121212
,
ln ln x x
f x f x x x >>， 由于()()1212ln 0,ln 0,ln ln 0x x x x <<⋅>，
所以由12
12
ln ln x x x x >两边乘以()()12ln ln x x ⋅得 1221ln ln x x x x ⋅>⋅，所以B 选项正确. 对于C 选项，令()()0,y f x k f x k =-==，
由于()()
'
2
ln 1
ln x f x x -=
，所以在区间()()()()'
0,1,1,e ,0,f x f x <递减；
在区间()()()'
e,,0,f x f x +∞>递增.
当01x <<时，()0ln x f x x =
<；当1x >时，()0ln x f x x
=>；()e e f =. 函数()y f x =是定义域为()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞的偶函数. 由此画出()y f x =的图象如下图所示，
由图可知，直线e y =与()y f x =的图象有两个交点，即当e =k 时， 函数()y f x k =-有两个零点，所以C 选项错误.
对于D 选项，由上述分析可知，()21,x ∈+∞，则()[)2e,g x ∈+∞，
1R x ∈，()1g x a ≥，要使“对1x ∀∈R ，()21,x ∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立”，
则需e a ≥，所以D 选项正确. 故选：BD
【点睛】利用导数研究函数的单调性，首先要求函数的定义域，单调性必须在定义域这个大前提下进行求解.求解恒成立、存在性问题，可转化为求最值或取值范围来进行求解.
三、填空题
13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3e ln f x xf x '=+，则()e f '=______． 【答案】1
2e
-
【分析】运用导数的运算公式，结合代入法进行求解即可. 【详解】由()()()()()()113e ln 3e e 3e e
f x xf x f x f f f x '''''=+⇒=+⇒=+， 解得()1e 2e
f '=-， 故答案为：1
2e
-
14．如图，抛物线y x =x 轴上的点构成等边三角形11OPQ ，122O
P Q ，1n n n Q P Q -⋯，
⋯其中点n
P 在抛物线上，点n Q 的坐标为(n x ，0)，猜测数列{}n x 的通项公式为________．
【答案】(1)
3
n n n x +=
【分析】求出1133P ⎛ ⎝⎭，， 24233P ⎛ ⎝⎭
，，(33P ，12||3OQ =，124||3Q Q =，236||3Q Q =，可猜测12||3
n n n
Q Q -=
，利用累加法，即可求解 【详解】1OP 的方程为3y x =，代入抛物线y x =1133P ⎛ ⎝
⎭
，，12||3
OQ =．
同理可得24233P ⎛ ⎝⎭
，，(33P ，124||3Q Q =，236
||3Q Q =， 可猜测12||3
n n n
Q Q -=
， 证明：记三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ， 由题意可知，当2n ≥时，121132n n n n P a a a a -⎛
⎫
++
++
⎪ ⎪⎝⎭
在抛物线y x =
可得212131
42
n n n a a a a a -=++
++，
当3n ≥时，2
112213
1
4
2n n n a a a a a ---=++
++，
两式相减得：22
113
31144
2
2
n n n n a a a a ---=
+ 化简得：123
n n a a --=
， 则数列{}n a 是等差数列，()12213
3
n n a a n =+-⨯=
， 12||3
n n n Q Q -=
， 123
n n n x x -∴-=， 1462333
n n x x ∴-=
++⋯+， 2(1)
(12)33
n n n x n +∴=++⋯+=．
故答案为：(1)
3
n n n x +=
．
15．若实数a ，b ，c ，d 满足2ln b a a =-，2d c =-，则()()22
a c
b d -+-的最小值是______． 【答案】2
【分析】利用两点间距离公式，将()()2
2
a c
b d -+-转化为函数2()ln f x x x =-上任意一点P 与函数()2h x x =-上任意一点Q 间距离的最小值的平方，再利用导数的几何意义去求解PQ 最小值即可解决.
【详解】设点(),P a b 为函数2()ln f x x x =-上任意一点， 点(),Q c d 为函数()2h x x =-上任意一点， 则()()2
2
2
=a b Q c d P -+-
由2()ln f x x x =-，可得1()2f x x x
'=-
设与直线()2h x x =-平行的直线与函数2()ln f x x x =-相切于()00,M x y ，()00x > 则00121x x -
=，解之得01x =或012
x =-（舍）则切点()1,1M 又切点()1,1M 到直线()2h x x =-
的距离d =
=则PQ
，()()22
a c
b d -+-的最小值为2 故答案为：2
四、双空题
16．某产品的研发投入费用x （单位：万元）与销售量y （单位：万件）之间的对应数据如表所示：
根据表中的数据可得回归直线方程 2.27y x a =-，则a =______；该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高______万件． 【答案】 1.33 6.81
【分析】根据样本中心点求得a ，利用回归直线方程进行估计.
【详解】 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9
45
x ++++==，
3.8 5.47.010.3512.2
7.755
y ++++=
=，
所以7.75 2.274a =⨯-，解得 1.33a =. 所以为回归直线方程 2.27 1.33y x =-.
所以该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高2.273 6.81⨯=万件. 故答案为：1.33；6.81
五、解答题
17．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且3720a a +=，526a a -=． (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2)记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若97
100n T >，求n 的最小值．
【答案】(1)2n a n = (2)33
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a . （2）利用裂项求和法求得n T ，由此化简不等式97
100
n T >并求得n 的最小值. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ， 依题意3720a a +=，526a a -=，
则1282036a d d +=⎧⎨=⎩
，解得12a d ==，所以2n a n =.
(2)()122122
n n a a n S n n n n ++=
⋅=⋅=+，1111n S n n =-+，
所以111
11111223
11
n T n n n =-+-+
+
-=-++， 由97
100
n T >，得197131,,33100,39711001100n n n n -
><+>>++， 971
3233
n >
=+，由于*N n ∈，所以n 的最小值为33. 18．某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一
级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格：
(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；
(2)该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X 的概率分布列和数学期望． 附：
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】(1)有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关 (2)分布列见解析，()9
10
E X =
【分析】（1）根据已知表格中的数据，由2K 的计算公式求出2K ，再结合临界值表即可求解；
（2）由分层抽样可得一级果6个，二级果3个，三级果1个，从而根据离散型随机变量分布列的求解步骤及期望公式即可求解.
【详解】(1)解：由于()2
2100106015154 3.84125757525
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； (2)解：对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个，则一级果6个，二级果3个，三级果1个.
由题意，二级果的个数X 的可能值为0，1，2，3，
则()()312
737
331010C C C 7210,1C 24C 40
P X P X ======，
()()213373331010C C C 71
2,3C 40C 120
P X P X ======．
所以X 的分布列为：
所以X 的数学期望()721719
012324404012010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 19．已知函数()32
4f x x ax =-+-，其中a 为实常数．
(1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性；
(3)若存在()00,x ∈+∞，使得不等式()00f x >成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)35y x =- (2)答案详见解析 (3)()3,+∞
【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.
（2）求得()'
f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.
（3）结合（2），对a 进行分类讨论，结合()f x 的单调区间、最值，求得a 的取值范围.
【详解】(1)()()32'2
34,36f x x x f x x x =-+-=-+，
所以()()'
12,13f f =-=，
所以切线方程为()()231,35y x y x --=-=-.
(2)()f x 的定义域为R ,()'2
23233f x x ax x x a ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝
⎭，
当0a <时，()f x 在区间()()()'
2,,0,,0,3a f x f x ⎛⎫-∞+∞< ⎪⎝
⎭递减；
在区间()()'
2,0,0,3a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
递增.
当0a =时，()'
0f x ≤，()f x 在R 上递减.
当0a >时，()f x 在区间()()()'
2,0,,,0,3a f x f x ⎛⎫-∞+∞< ⎪⎝⎭
递减；
在区间()()'
20,,0,3a f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
递增.
(3)由（2）知：
当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上递减，()()040f x f <=-<，不符合题意. 当0a >时，在区间()0,∞+上，()3
max 244327
a f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，
依题意可知3
44027
a ->，解得3a >.
综上所述，a 的取值范围是()3,+∞.
20．已知数列{}n a 是首项为1，公差不为0的等差数列，且248,,a a a 成等比数列.数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且满足()()*1
12
n n S b n N =
-∈. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
【答案】(1)n a n =，13n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(2)3314243n
n n T ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
【分析】（1）设数列{}n a 公差为()d d ≠0，由248,,a a a 成等比数列求得d ，可得n a . 利用2n 1n n n S S b --=求得n b ； （2）利用错位相减求和n T 即可.
【详解】(1)设数列{}n a 公差为()d d ≠0，由248,,a a a 成等比数列有：
()()2117(13)d d d ++=+，解得：1d =，
所以()111n a n n =+-⨯=， 数列{}()()
*1
:12
n n n b S b n N =
-∈，
当1n =即，()111
12
b b =
-，解得：113b =，
当2n 时，有()11112n n S b --=
-，所以()()1111
1122
n n n n S S b b ---=---， 得：13n n b b -=.又11110,
33
n n b b b -=≠=， 所以数列{}n b 为以113
b =为首项，公比为1
3的等比数列，
所以数列{}n b 的通项公式为：13n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭.
(2)1122n n n T a b a b a b =+++，
2
11112333n
n T n ⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2
31
111123333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
得2
1
2111133333n
n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，
1
211113233n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 化简得：3314243n
n n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
21．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有1
2的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0==p p ．
①试证明14n p ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭为等比数列；
②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小． 【答案】(1)分布列见解析，1
()2
E X = (2)①证明见解析；②1010p q <
【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
（2）递推求解，记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n -次传
球之前球在甲脚下的概率为1n p -，满足()111111
01333n n n n p p p p ---=⋅+-⋅=-+.
【详解】(1)解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为1111
33326p =⨯⨯⨯=，
门将在前三次扑出点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，
0303
15125(0)66216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12
131525(1)6672
P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123155(2)6672P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30
33151(3)66216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，X 的分布列为：
期望12525511()012321672722162
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． （1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为1111
33326
p =⨯⨯⨯=，门将在前三次扑出
点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知13,6X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，3315()66k k k
P X k C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
0,1,2,3k =．X 的分布列为：
期望11
()362
E X =⨯=．
(2)解析：递推求解
①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n -次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，
第1n -次传球之前球不在甲脚下的概率为11n p --，则
()111111
01333
n n n n p p p p ---=⋅+-⋅=-+，
从而1111434n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11344p -=，∴14n p ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项．公比为13-的等
比数列．
②由①可知1
311
434n n p -⎛⎫
=-+ ⎪
⎝⎭
，9
1031114344
p ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，()101011134q p =->，
故1010p q <． 22．已知函数()e 1x
f x x =-，()()ln
g x a x x =+．
(1)若2a =，证明：()42g x x ≤-；
(2)若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；
(3)证明：()2e 2ln 2sin x
x x x x >++．
【答案】(1)证明详见解析 (2)1a = (3)证明详见解析
【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.
（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.
【详解】(1)2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，
设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x
'
-=
-=>， 所以()t x 在区间()()()'
0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.
所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤， 所以2a =时，()42g x x ≤-.
(2)依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥， 令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈， 所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.
设()()()'e 10,e t t
h t at a h t a =-->=-，
所以函数()h t 在区间()()()'
,ln ,0,a h t h t -∞<递减；
在区间()()()'
ln ,,0,a h t h t +∞>递增.
所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--， 所以ln 10--≥a a a ，111
ln
1,ln 1a a a a a
+≥≥-， 由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11
ln 1a a
≤-， 所以11ln
1a a =-，当且仅当1
1a
=，即1a =时成立. (3)由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立. 所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，当且仅当1x =时等号成立.
则()22
e ln 0x x x x x x x ≥++>，
要证明()()2e 2ln 2sin 0x
x x x x x >++>，
只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>， 即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>， 由（1）知()ln 10x x x ≤->，
所以只需证()2
2(1)2sin 0x x x x x +>-+>，
即证()2
22sin 0x x x x -+>>，
①当1x >时，()2
21222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.
②当01x <≤时，221772()244
x x x -+=-+
≥， π7
2sin 2sin12sin
34
x ≤<=<，不等式成立.
所以()2
22sin 0x x x x -+>>成立，
所以()()2e 2ln 2sin 0x
x x x x x >++>成立.
【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。