高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(二)学案新人教A版必修5(2021学年)

2018版高中数学第三章不等式３.2 一元二次不等式及其解法（二)学案新人教Ａ版必修5
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３．２一元二次不等式及其解法(二)
［学习目标] 1。

会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式。

2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.３．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型同解不等式
错误!>0(＜０）法Ⅰ:
错误!或错误!
法Ⅱ:
f(ｘ）·ｇ(x)＞０(<0)
错误!≥０(≤0)法Ⅰ:
错误!或错误!法Ⅱ:
错误!
错误!>a错误!先移项转化为上述两种形式
知识点二简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)>０常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法）求解，其步骤是: (1）将ｆ（x)最高次项的系数化为正数;
(2）将f（x）分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积;
(３)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过);
（4)根据曲线显现出的f（x)值的符号变化规律,写出不等式的解集．
思考（x－１）(x－2）(x-３）2(x-4)>0的解集为___________＿＿_.
答案{ｘ|1<x<2或x＞4}
解析利用数轴穿根法
知识点三一元二次不等式恒成立问题
对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(１）转化为一元二次不等式解集为R的情况,即aｘ2＋bx＋ｃ>0(ａ≠0)恒成立⇔错误!
ax2＋bx＋c<０(a≠0)恒成立⇔错误!
(２）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题,即:k≥ｆ(x)恒成立⇔k≥f(x）maｘ;ｋ≤ｆ(x)恒成立⇔k≤f（x）mｉn．
题型一分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)错误!＜0；(2)错误!≤2.
解(1)由错误!＜０，得错误!>0，
此不等式等价于（x+４)（ｘ-3)>0,
∴原不等式的解集为｛x|x＜－4或x＞３｝．
(2)方法一移项得错误!－2≤0，
左边通分并化简有错误!≤0,即错误!≥0,
同解不等式为错误!
∴x＜2或x≥5．
∴原不等式的解集为{ｘ|x＜２或ｘ≥5}.
方法二原不等式可化为错误!≥０,
此不等式等价于错误!①
或错误!②
解①得x≥5,解②得ｘ＜２，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}.
反思与感悟分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型错误!>0(＜0）或错误!≥0（≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可，注意不等号的方向变化.
跟踪训练1 不等式＼f(x2－2ｘ－2,x2+ｘ＋1)〈2的解集为( ）
Ａ．｛x|ｘ≠－2} B．R
C.∅ D．｛x｜x〈－２或ｘ>2}
答案 A
解析∵x２＋x+1＝错误!错误!＋错误!>０,∴原不等式⇔x２－2x-2〈2x2+2ｘ+２⇔x２+4ｘ＋４〉0⇔（x＋２)２＞0，
∴ｘ≠-2.∴不等式的解集为{x｜x≠－２}．
题型二解一元高次不等式
例2 解下列不等式:
（1）ｘ4－２x3－3ｘ2＜０;
(2）1+x－x3－ｘ4＞0;
（3)(６x２－1７x＋1２）（２x２－5x+2）>０.
解(１)原不等式可化为x２（x－3)(x＋1）<0,
当x≠0时，x2>0，
由(ｘ－3)(x+1）<０,得-１<ｘ＜3;
当x＝0时，原不等式为0＜0，无解.
∴原不等式的解集为{ｘ|-1＜x＜3,且x≠0}．
（２)原不等式可化为(x＋1)(ｘ-1)(x2+x+1)<0，
而对于任意ｘ∈R，恒有x２＋ｘ+1＞0,
∴原不等式等价于（x+1)(x-1）<0,
∴原不等式的解集为{ｘ｜－１<x＜1}.
(３)原不等式可化为（2x-３)(３ｘ－4)(2ｘ-１）（x-2)>0，
进一步化为错误!错误!错误!(x-2)>0,
如图所示,得原不等式的解集为
错误!.
反思与感悟解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分,然后可以转化为一元二次不等式,当然也可考虑数轴穿根法.
跟踪训练2 若不等式x2+pｘ+q<0的解集是｛ｘ｜１＜x<２｝，则不等式错误!＞0的解集是( ) A.（1,2）
B．（-∞，-1）∪(6，＋∞)
Ｃ．(-1，1）∪(２,6)
D．（－∞，－１)∪（1，2)∪(６,+∞）
答案D
解析由题意知ｘ2＋px＋q＝(ｘ－1)（x－2)，则待解不等式等价于(x－1）(x-2)(x2－5x－６）＞0⇒(x－1)(x－2）（x-６）(x＋１)＞0⇒x<-1或1＜ｘ＜２或x>6.
题型三不等式恒成立问题
例3 对任意的ｘ∈R,函数f(x）=ｘ２+(a-4）x＋(5－2a）的值恒大于0,则a的取值范围为__＿＿___＿．
答案（-２,2)
解析由题意知，f(x）开口向上,故要使f(x)>０恒成立，
只需Δ＜０即可,
即（a-4）2-４(５-2a)<0,
解得-2＜a<2．
反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种:
(１)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值,从而建立参数的不等式；
（２）若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解.
跟踪训练3 对任意a∈[-1，1］，函数ｆ(ｘ）=x２+(ａ－4）ｘ+4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( ）
A．1＜ｘ＜3 B．x<1或x＞３
C.１＜ｘ<２Ｄ．ｘ<1或x＞2
答案 B
解析f(ｘ)>0，∴ｘ2+(a-4)ｘ＋4－2a＞０，
即(x-2)a＋（ｘ2＋4－4x）＞0,
设ｇ（a)＝(x-２)a＋(x2-4x＋4)
由题意知,错误!即
错误!
∴x<1或ｘ>3。

题型四一元二次不等式在生活中的应用
例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨２００元收购某农产品,并按每100元纳税１0元（又称征税率为10个百分点)，计划可收购ａ万吨,政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低ｘ(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2ｘ个百分点．
（1）写出税收y(万元）与xﻩ的函数关系式；
(２)要使此项税收在征税率调节后,不少于原计划税收的８3.2%,试确定x的取值范围．
解（1)降低后的征税率为（1０-x)%,农产品的收购量为a（1+2x%)万吨,收购总金额为20０a(1＋2x%）．
依题意得，y＝200a(１＋２x%)（10-ｘ)％
＝错误!a（1０0+2ｘ)(1０-x)（0<x<10）.
(2）原计划税收为２０0a·10%＝20a（万元).
依题意得,错误!a(1０0+2x)（10－x)≥2０ａ×83。

2%，
化简得x2＋40x-8４≤0,
∴－42≤x≤２。

又∵0<x＜1０,
∴0＜x≤２。

∴x的取值范围是｛x|0＜x≤2}．
反思与感悟不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．跟踪训练4 在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车,但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过1０m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Ｓ m与车速x km/h之间分别有如下关系:S甲=0.1ｘ+０.01x2，S乙=0.05x+０.005x２。

问超速行驶谁应负主要责任?
解由题意列出不等式S甲＝０。

1ｘ＋０.01x2〉12,
S
=0。

0５ｘ＋0．0０5x2>10．
乙
分别求解，得
x〈－40或ｘ>３0.
x＜-50或x〉40.
由于x>０,从而得x甲>30 ｋm/h，x乙>40 ｋm/h。

经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
1.若集合A＝{ｘ|-１≤2x+1≤3},Ｂ={x｜错误!≤0},则A∩B等于( ）
A．{ｘ｜-１≤x＜0} B.{x|０＜x≤1}
C．｛x｜0≤x<2｝Ｄ.｛x|0≤x≤1｝
答案 B
解析∵A={x｜－1≤x≤１｝,B={x|０＜x≤2}，
∴A∩B={ｘ｜0＜ｘ≤1}．
2.若集合A＝{ｘ｜ax2-ax＋1〈0}＝∅，则实数ａ的值的集合是( )
A.{a｜0〈a<4} B．{ａ|0≤a〈4}
C．｛ａ|0<a≤４} D．{a｜０≤a≤4}
答案 D
解析ａ=0时符合题意．a〉0时,相应二次方程中的Δ=ａ２－４a≤０,得｛a｜0〈ａ≤４},综上,得{a｜0≤a≤4},故选D.
3.不等式错误!＞０的解集为＿_＿_＿________＿＿_______．
答案｛x|－4<x<-３或x＞－1}
解析原式可转化为
（x+1)（x+２）2（x＋３)(x+4）>０，
根据数轴穿根法,解集为－4＜ｘ<-3或ｘ>－1.
4.设x2－２x+a-８≤0对于任意x∈（1,３）恒成立,求a的取值范围．
解原不等式x2-２ｘ＋a-8≤０转化为a≤-x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，
设ｆ(x)＝-x2+2x＋8,易知f（x)在 [1，3]上的最小值为f(3）＝5.
∴a∈(-∞,５］.
5.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯１5元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高１元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得4０0元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格?
解设每盏台灯售价x元,则x≥１5,并且日销售收入为x［3０－２(x－15)］，由题意知，当x≥15时,有x[30－２(x-１5)]＞400,解得：15≤ｘ＜２0.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15，２0）．
1。

解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式（组）求解.若不等式含有等号时，一定要考虑分母不为零．
2.对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时,经常要用到下述简单结论：(1）a〉ｆ(x)恒成立⇔ａ>f（x)max;(2)a〈ｆ(x）恒成立⇔a<ｆ(x）mｉn.
3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意，列出不等关系再求解．
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Ｔｈｅ abｏｖe is ｔｈe whｏlｅcoｎtｅnt ｏf thiｓ aｒｔｉcｌｅ，G ｏrky saｉd： "the bｏok is tｈｅｌａdｄer ｏｆ huｍan proｇress．＂ I hope yｏu can ｍakｅ progrｅｓs with the ｈelp of thiｓｌａdder．Ｍ
2018版高中数学第三章不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）学案新人教A版必修5 aterial lｉfe ｉs exｔｒｅｍｅlｙ riｃh, sciｅｎｃｅand tｅｃｈnoｌogｙ are deveｌopiｎg ｒapiｄly, ａlｌ of wｈｉch gradually chaｎｇe ｔhe ｗay of pｅople's study and lｅｉｓure. Mａny peoｐle aｒe ｎo longer eager ｔｏ pｕrｓｕe a document, bｕt ａs lonｇas yoｕｓｔiｌl have suｃh a small ｐersistenｃe, yｏｕｗilｌｃoｎtinue to grow ａnd progreｓs. When tｈe cｏmplｅx ｗorｌd leads ｕｓｔo chａse oｕt, re ａding an artiｃlｅ or ｄｏing a ｐrｏbleｍ makes uｓcaｌｍ down ａnd return to ourselvｅs． Witｈ leａrning， wｅｃａｎａctivａte our ｉmagi ｎaｔiｏn aｎd thｉnkｉnｇ, estａｂlｉｓh ouｒ belief, ｋｅｅp our purｅspirituaｌ wｏｒld and resist the attack of thｅ extｅrｎal worlｄ．
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