★试卷3套汇总★安徽省滁州市2020年高一数学下学期期末调研试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ） A ．243a
B ．233a
C ．23a
D ．223a
2．在计算机BASIC 语言中，函数mod(),a b 表示整数a 被整数b 除所得的余数，如mod 6,(4)2=.用下面的程序框图，如果输入的1365a =，147b =，那么输出的结果是（ ）
A ．7
B ．21
C ．35
D ．49
3．若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41
m n
+的最小值是（ ） A ．9
B ．4
C ．
12
D ．
14
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（ ） A ．11 B ．16
C ．20
D ．28
5．已知259a =°，sin15cos15b =+°°，2231cos31c =°°，则实数a 、b 、c 的大小关系
是（）
A ．a c b <<a c b <<
B ．a b c <<
C ．a c b ≥≥
D ．a b c ≥≥
6．已知|1,|2a b ==，a 与b 的夹角=120θ，则a 在b 方向上的投影是（ ）
7．若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（ ） A ．2- B ．1-
C ．0
D ．1
8．函数1
lg
y x
=的大致图像是下列哪个选项（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()22
2 2516:C x y -+-= ，则圆1
C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
10．已知单位向量OA ，OB ，满足0OA OB ⋅=.若点C 在AOB ∠内，且60AOC ∠=︒，
(,)OC mOA nOB m n =+∈R ，则下列式子一定成立的是（ ）
A ．1m n +=
B ．1mn =
C ．221+=m n
D ．
3
3
m n =
11．已知向量(2,tan )a θ=，(1,1)b =-.且a b ，则tan 4πθ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ） A ．2
B ．3-
C ．3-
D ．1
3
-
12．若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π
个单位后，所得图象对应的函数为（ ）
A ．2sin 2y x =
B ．2sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．2cos2y x
=
D ．2sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
二、填空题：本题共4小题
13．已知向量()4,2a =，(),1b λ=，若2a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______． 14．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-
，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π
sin 3α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭______.
15．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos αα+的值为__________．
16．12
32e 2
(){log (1)2
x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列
的前项和为
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和
.
18．已知函数(
)
2
()33x
f x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；
(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．
19．（6分）如图，矩形ABCD 所在平面与以BC 为直径的圆所在平面垂直，O 为BC 中点，M 是圆周上一点，且30CBM ∠=，1AB =，2BC =．
（1）求异面直线AO 与CM 所成角的余弦值；
（1）令11n n n b a a +--=，求证数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项；
（3）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列？
若存在，试求出λ，若不存在，则说明理由.
21．（6分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，
222)ac a b c =--.
（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.
22．（8分）设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =. （1）若()//a tb c +，求实数t 的值； （2）求c 在a 方向上的投影.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题. 【详解】
由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a ，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即
2
244
a ⨯
=， 所以C 选项是正确的. 【点睛】
本题考查棱锥的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题.
【分析】
模拟执行循环体，即可得到输出值. 【详解】
1365a =，147b =，42r =
147,42a b ==，0r ≠，继续执行得21r = 42,21a b ==，0r ≠，继续执行得0r = 21,0a b ==，0r =，结束循环，
输出21a =. 故选：B. 【点睛】
本题考查循环体的执行，属程序框图基础题. 3．A 【解析】 【分析】
圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41
m n
+的最小值． 【详解】
圆标准方程为2
2
(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径为2r
，
直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222m n --=-，1m n +=， 又0,0m n >>，
∴
41414()()5n m m n m n m n m n +=++=++59≥+=，当且仅当4n m m n =，即21,33m n ==时等号成立． ∴
41
m n
+的最小值是1． 故选：A ． 【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n 的关系1m n +=，然后用“1”的代换法把41
m n
+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值． 4．C
可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决． 【详解】
{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，
2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，
又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题． 5．B 【解析】 【分析】
将bc 化简为最简形式，再利用单调性比较大小。

【详解】
59a =°
sin15cos 6501b =+︒°°
31cos3162c =︒°°
因为sin y x = 在[0,90]︒︒ 单调递增 所以a b c << 【点睛】
本题考查利用sin y x =的单调性判断大小，属于基础题。

6．A 【解析】 【分析】
根据向量投影公式计算即可 【详解】
a 在
b 方向上的投影是：11
cos 122a ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝
⎭
θ
故选：A
【分析】
通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案. 【详解】
由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →
=-，点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线，则//BC AB →
→
，即2a -=，
所以2a =-，故选A. 【点睛】
本题主要考查三点共线的条件，难度较小. 8．B 【解析】 【分析】 化简1
lg
x
，然后作图，值域小于0部分翻折关于x 轴对称即可. 【详解】
1
lg
lg x x
=-， 1
lg y x ∴=的图象与lg y x =-关于x 轴对称，
将0y <部分向上翻折，图象变化过程如下：
x 轴上方部分图形即为所求图象.
故选：B.
1(2,2)C -，11r =， 2(2,5)C ，24r =，
12125C C r r ===+，
即两圆外切，故选C ．
点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定 10．D 【解析】 【分析】
设OC r =，132OC rOA rOB =+对比得到答案. 【详解】
设OC r = ，则131(,),22OC rOA rOB mOA nOB m n m r n =
+=+∈⇒==R
3
m n =
故答案为D 【点睛】
本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力. 11．B 【解析】 【分析】
通过a b 得到tan 2θ=-，再利用和差公式得到答案. 【详解】
向量(2,tan )a θ=，(1,1)b =-.且tan 2a b θ⇒=-
tan
tan π
θ-
故答案为B 【点睛】
本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力. 12．B 【解析】 【分析】
根据正弦型函数的图象平移规律计算即可. 【详解】
2sin 22sin 22sin 26666y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
故选：B. 【点睛】
本题考查三角函数图象的平移变化，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．()(12,111+
【解析】 【分析】
先求出2a b +与a b -的坐标，再根据2a b +与a b -夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，． 【详解】
向量(4,2)a =，(,1)b λ=，∴2(42,4)a b λ+=+，(4,1)a b λ-=-， 若2a b +与a b -的夹角是锐角，则2a b +与a b -不共线，且它们乘积为正值， 即
424
41
λλ+≠-，且()()
2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-220420λλ=+->，
求得11λ<<2λ≠． 【点睛】
本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键． 14．33
65
-
【解析】
先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】
由题意，可知0,πα
β
，则()sin 1213
αβ+===，
又π31sin ,3522β⎛⎛
⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β
为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
成立，所以
π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.
故
()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭5333
1124565
1533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=
⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭. 故答案为：33
65
-. 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 15．1
5
- 【解析】
按三角函数的定义，有431sin cos 555
αα-+=+=-. 16．1 【解析】 【分析】
先求f （1），再根据f （1）值所在区间求f （f （1））. 【详解】
由题意，f （1）=log 3（11–1）=1，故f （f （1））=f （1）=1×e 1–1=1，故答案为：1．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1） ；（2）
【解析】 【分析】 （1）利用
可求
的通项公式.
（2）利用错位相减法可求.
【详解】 （1）因为
，所以，
整理得到，所以.
（2）因为，
所以
,
,
所以，整理得到
【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18．（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1
{|2}2
x x -<<- 【解析】 【分析】
(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案. (2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案. (3)利用函数的单调性得到答案. 【详解】
解：（1）∵函数(
)
2
()33x
f x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠， ∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =； （2）由（1）得()22x
x
F x -=-，
∴()22x x F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数； （3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增， 即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1
{|2}2
x x -<<-． 【点睛】
本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.
19．（1）4
；（2）1 【解析】 【分析】
（1）取AD 中点N ，连接CN ，即NCM ∠为所求角。

在MCN ∆中，易得MC ，NC 的长，MN 可在直角三角形MON ∆中求得。

再用余弦定理易求得夹角。

（2）连接,PB PD ，连接BD 和AC 交于点Q ，连接PQ ，易得//CM PQ ，所以PQ 为AMC ∆的中位线，所以P 为AM 中点，所以λ的值为1。

【详解】
（1）取AD 中点N ，连接,,,CN MN OM ON
因为ABCD 为矩形，,O N 分别为,BC AD 中点，所以//AO CN 所以异面直线AO 与CM 所成角就是CN 与CM 所成的锐角或直角 因为平面ABCD ⊥平面BCM ，平面ABCD
平面BCM BC =
矩形ABCD 中，NO BC ⊥，NO ⊂平面ABCD 所以NO ⊥平面BCM
又OM ⊂平面BCM ，所以NO OM ⊥
MON ∆中，90,1MON OM NO ∠===，所以MN =又M 是圆周上点，且30CBM ∠=，所以1CM =
MCN ∆中，CN =cos
MCN ∠=
=
所以异面直线AO 与CM 所成角的余弦值为
4
（2）连接,PB PD ，连接BD 和AC 交于点Q ，连接PQ 因为直线//CM 平面BPD ，直线CM ⊂平面ACM ，平面BPD
平面ACM PQ =
所以//CM PQ
矩形ABCD 的对角线交点Q 为AC 中点 所以PQ 为AMC ∆的中位线，所以P 为AM 中点 又AP PM λ=，所以λ的值为1 【点睛】
（1）异面直线所成夹角一般是要平移到一个平面。

（2）通过几何关系确定未知点的位置，再求解线段长即可。

20．（1）证明过程见详解；（2）322=-+n
n n a ；（3）存在实数2λ=，使得数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列. 【解析】 【分析】
（1）先由题意得到12+-=n n a a n ，再由11n n n b a a +--=，得到12111
2
11++++-=--=-n n n n n n b a a b a a ，即可证明结论成立；
（2）先由（1）求得1
132+⎛⎫-⋅ ⎪
⎝⎭
=n n b ，推出11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，利用累加法，即可求出数列{}n a 的
通项；
（3）把数列a n }、{b n }通项公式代入a n +2b n ，进而得到S n +2T 的表达式代入T n ，进而推断当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． 【详解】
（1）因为点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，所以12+-=n n a a n ，因此2121++-=+n n n a a
由11n n n b a a +--=得112111(1)1
12112
++++++--==-+++-----n n n n n n n n n n a a b a a b a a a n n
a 1111(1)21
2112
21++++===-++--------n n n n n n n n a a a a a a n a n a
所以数列{}n b 是以1
2
为公比的等比数列； （2）因为112a =
，由2121=-a a 得234
a =，故211314--=-=
b a a ，
由（1）得1
1
1
1131132422--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎭
⎭
=⎝⎝n n n n b b ，
所以11
1132++⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，即11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，
所以2
211132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，3
321132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，…，11132-⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n
a a ， 以上各式相加得：()12311113222⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-n
n n a a
2
1111223313112212
-⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--⨯
=--+-n n
n n
所以322=-+
n
n n a ； （3）存在λ＝2，使数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，a n +2b n ＝n ﹣2
∴()()
12213222222n n
n n n n n
n n n T T n n S T n S T n T n n n
λλλ+--+++--+=-==+ 又1231
131
42
112212
n n n n
T b b b ⎛⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭=++
+=
=--
⎪⎝⎭
-=13322n +-+， ∴
13233222n n n S T n n n λλ++--⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
， ∴当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列． 【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型. 21
．（Ⅰ）
-（Ⅱ） 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，
进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函
数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及
sin sin a b
A B
=，得2a b =.
由)222
ac a b c
=--
，及余弦定理，得2
22
5cos 2b
c a
A bc
ac +-==
=. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）
，可得sin A =
sin 4sin a A b B =
，得sin sin 4a A B b ==
. 由（Ⅰ）知，A
为钝角，所以cos B ==
于是4sin22sin cos 5B B B ==，
23
cos212sin 5
B B =-=
，故 (
)43sin 2sin2cos cos2sin 55555B A B A B A ⎛⎫-=-=⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 22．（1）8
9
t =-；（2
）. 【解析】 【分析】
（1）计算出a tb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数t 的值； （2）求出a c ⋅和a ，从而可得出c 在a 方向上的投影为a c a
⋅.
【详解】 （1）
()1,1a =-，()3,2b =，()31,21a tb t t ∴+=+-，
()//a tb c +，()3,5c =，()()321531t t ∴⨯-=⨯+，解得89t =-； （2）
()13152a c ⋅=⨯+-⨯=-，
(21a =+
=，
c ∴在a 方向上的投影
2
a c a
⋅=
=【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点
的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线2320x y +-=的斜率是（ ） A ．23
-
B ．
23
C ．32
-
D ．
32
2．下列选项正确的是（ ）
A ．若,?
c>d a b >,则a c b d ->- B ．若0a b >>,则
22
11
a b <
C ．若>则a b >
D ．若0,0a b c >>≠,则ac bc >
3．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60
B ．75
C ．90
D ．105
4．《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，其中PA ⊥平面ABC ，3PA AB BC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则该球的体积是（ ）
A B C ．
272
π
D ．
274
π
5．设向量a b ，满足||1,||2a b ==，且()a a b ⊥+，则向量a 在向量b 方向上的投影为
A ．1
B 13
C ．-1
D ．12
-
6．已知ππ042βα<<
<<，且sin cos αα-=，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，则()sin αβ+=（ ）
A B ． C D ．10
-
7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()2
2
2
22cos a c a c b
abc c -+-=.则B =
（ ） A ．60B =︒
B ．60B =︒或120B =︒
C ．30B =︒
D ．90︒
8．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ） A ．57.08斜
B ．171.24斛
C ．61.73斛
D ．185.19斛
9．如图，是上一点，分别以为直径作半圆，从作，与半圆相交于，，
，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数()2
3sin cos 0,42f x x x x π⎛⎫
⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最大值为( ) A ．3
4
-
B ．14-
C ．
14
D ．
12
11．若0,0a b c d >>>>，则一定有（ ） A ．
a b c d
> B ．
a b c d
< C ．a b d c
> D ．
a b d c
< 12．函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的最大值为（ ） A ．
72
B ．72
-
C ．
1
22
-D ．
1
22
+二、填空题：本题共4小题
13．在ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若CG BG ⊥，则cos A 的取值范围为______.
14．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个表面积为S 的球，若1,6,8,3AB BC AB BC AA ⊥===，则S 的最大值是_______.
15．函数arccos y x =在1[1,]2
x ∈-的值域是______________.
16．数列{}n a 中，其前n 项和2
31n S n n =--,则{}n a 的通项公式为______________..
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知ABC ，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且7a =，3b =，5
sin sin 7
C A =，求ABC 角A 的大小．
18．已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*1n n n b a a n N +=∈，且{}n b 是以q 为公
比的等比数列．
（1）求证：2
2n n a a q +=；
（2）若2-122n n n c
a a =+，试判断{}n c 是否为等比数列，并说明理由． （3）求和：21234
21
2111111n n n
S a a a a a a -=
+++++
+
． 19．（6分）已知函数()()2213
3sin cos 42f x x x x R π+⎛⎫=+--∈
⎪⎝⎭
. （1）求函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()1
2
f A f B ==，求BC AB 的值.
20．（6分）如图，已知ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2EA AB ==，1DC =，F 是BE 的中点，
求证：（1）FD ∥平面ABC ； （2）AF ⊥平面EDB.
（3）求几何体ED BAC -的体积.
21．（6分）已知点(0,2)A ，1
(0,)2
B ，点P 为曲线
C 上任意一点且满足2PA PB = （1）求曲线C 的方程；
（2）设曲线C 与y 轴交于,M N 两点，点R 是曲线C 上异于,M N 的任意一点，直线,MR NR 分别交直线l ：3y =于点,F G ，试问y 轴上是否存在一个定点S ，使得0SF SG ⋅=？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（8分）已知函数2
()14f x x a -+=，2
()4g x x ax a =-+-，（a R ∈,a 为常数）.
（1）若方程()0g x =有两个异号实数解，求实数a 的取值范围；
（2）若()()()F x f x g x =+的图像与x 轴有3个交点，求实数a 的取值范围；
（3）记()()
x
h x g x =
，若()h x 在(]0,1上单调递增，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
一般式直线方程0Ax By C ++=的斜率为A k B
=-． 【详解】
直线2320x y +-=的斜率为2233
k ==--. 故选A 【点睛】
此题考察一般直线方程的斜率A
k B
=-，属于较易基础题目 2．B 【解析】 【分析】
通过逐一判断ABCD 选项，得到答案. 【详解】
对于A 选项，若2,1,2,1a b c d ====，代入0a c -=，0b d -=，故A 错误；
对于C >||||a b >，故C 错误；对于D 选项，若0c <，则ac bc <，故D 错误，所以答案选B. 【点睛】
本题主要考查不等式的相关性质，难度不大. 3．B 【解析】 【分析】
由条件，利用等差数列下标和性质可得525
3
a =，进而得到结果. 【详解】
3482585325a a a a a a a ++=++==，即5253a =
，而19959()25
997523
a a S a +=
==⨯=，故选B.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题. 4．A 【解析】 【分析】
根据三棱锥的结构特征和线面位置关系，得到PC 中点为三棱锥P ABC -的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】
由题意，如图所示，
因为3AB BC ==，且ABC ∆为直角三角形，所以AB BC ⊥，
又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，则BC ⊥平面PAB ，得BC PB ⊥. 又由PA AC ⊥，所以PC 中点为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 则外接球的半径2221133
33322R PC =
=++=
. 所以该球的体积是3
4
33273322ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选A.
【点睛】
本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径. 5．D 【解析】 【分析】
先由题中条件，求出向量的数量积，再由向量数量积的几何意义，即可求出投影. 【详解】
因为||1,||2a b ==，()a a b ⊥+，所以()10a a b a b ⋅+=+⋅=， 所以1a b ⋅=-，
故向量a 在向量b 方向上的投影为11
22||
⋅-==-a b b . 故选D 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型. 6．C 【解析】 【分析】
根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得. 【详解】
解：因为sin cos 5
αα-=
，
sin cos 22αα⨯-⨯=⎭
4πα⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭
πsin 4α⎛
⎫∴-=
⎪⎝⎭
因为
ππ
42α<<，4
ππ04α∴<-<
所以πcos 4α⎛⎫-
== ⎪⎝
⎭ 因为π04β<<
，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以π3cos 45β⎛
⎫+= ⎪⎝⎭．
所以()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=-
++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
ππππsin cos cos sin 4444αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3455=
+=
故选：C 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题. 7．A
【解析】 【分析】
利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，求得cos B 的值，即而求得B 的大小. 【详解】
由于()()2
2
2
22cos a c a c b abc c -+-=，所以222cos 22a c b b C
ac a c
+-=
-，由余弦定理和正弦定理得sin cos cos 2sin sin B C
B A C
=
-，即2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+()sin sin B C A =+=，由于A 是三
角形的内角，所以sin A 为正数，所以1
2cos 1,cos 2B B ==，B 为三角形的内角，所以60B =.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查正弦定理和余弦定理边角互化，考查三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数． 【详解】
设圆锥形稻谷堆的底面半径为r 尺， 则底面周长为230l r π==尺，解得15
r π
=尺，
又高为4h =尺，
所以圆锥的体积为221115900
()4100333V r h ππππ===≈（立方尺）；
又
100
61.731.62
≈（斛)， 所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛)． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了椎体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，是基础题． 9．C 【解析】 【分析】
求得阴影部分的面积和最大的半圆的面积，再根据面积型几何概型的概率计算公式求解. 【详解】
连接，
可知是直角三角形，又
，所以，设
，则有
，得
，所以，由此可得图中阴影部分的面
积等于
，故概率
．故选C
【点睛】
本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，当试验结果所构成的区域可用面积表示，用面积比计算概率.涉及了初中学习的射影定理，也可通过证明相似，求解各线段的长. 10．D 【解析】 【分析】
函数可以化为()2
1cos cos 4f x x x =-++
，设cos t α=，由0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则cos [0,1]t α=∈，即转化为求二次函数2
1
4
y t t =-++在[0,1]上的最大值. 【详解】
由()2
231sin cos cos cos 44
f x x x x x =+-
=-++ 设cos t x =，由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则cos [0,1]t x =∈. 即求二次函数2
1
4
y t t =-++
在[0,1]上的最大值 2
2111
422
y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭
所以当12
t =，即3x π=时，函数()f x 取得最大值12.
故选：D 【点睛】
本题考查cos x 的二次型函数的最值，属于中档题. 11．C
【解析】 【分析】 由题,可得10cd >,且ac bc bd >>,即11ac bd cd cd
⋅>⋅,整理后即可得到作出判断 【详解】
由题可得0cd >,则
1
0cd
>, 因为a b >,0c d >>则ac bc >,bc bd >,则有ac bd >, 所以11ac bd cd cd
⋅>⋅,即a b d c >
故选C 【点睛】
本题考查不等式的性质的应用,属于基础题 12．D 【解析】 【分析】
令sin cos x x t +=，根据正弦型函数的性质可得)4t x π
=+，那么21
sin cos 2
t x x -=，可将问题
转化为二次函数在定区间上的最值问题． 【详解】
由题意，令sin cos x x t +=，可得)4
t x π
=
+，[t ∈，
∴21
sin cos 2
t x x -=，
∴原函数的值域与函数22111
(1)1222y t t t =
+-=+-的值域相同． ∵函数图象的对称轴为1t =-，
t ∴=
y 取得最大值为
1
2
+ 故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数中的恒等变换、函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的使用，将问题转化为二次函数的值域问题. 二、填空题：本题共4小题
13．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
在ABC ∆中，延长AG 交BC 于D ，由重心的性质，找到GD 、AD 和BC 的关系，在ADC ∆和ADB ∆中利用余弦定理分别表示出2AC 和2AD ，求出22AC AB +，再利用余弦定理表示出cos A ，利用基本不等式和A 的范围求解即可. 【详解】
画出ABC ∆，连接AG ，并延长交BC 于D ， 因为G 是ABC ∆的重心，所以D 为BC 中点，
因为CG BG ⊥，所以11
22GD BC a ==， 由重心的性质，3
32
AD GD a ==，
在ADC ∆中，由余弦定理得，
2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，
在ADB ∆中，由余弦定理得
2222cos AB AD DB AD DB ADB =+-⋅⋅∠，
因为ADB ADC π∠+∠=，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠， 又DB DC =，
所以22222225AC AB AD DC a +=+=， 在ABC ∆中，由余弦定理和基本不等式，
222222222
244
cos 255
AC AB BC AC AB BC a A AB AC AC AB a +-+-=≥==⋅+， 又()0,A π∈，所以cos 1A <，
故4cos ,15A ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.
故答案为：4,15⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题主要考查三角形重心的性质、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查学生的分析转化能力，属于中档题.
【解析】 【分析】
根据已知可得直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为3
2
，代入球的表面积公式，即可求解. 【详解】
由题意，因为,6,8AB BC AB BC ⊥==，所以10AC =, 可得ABC ∆的内切圆的半径为68
26810
⨯=
=++r ，
又由13AA =，故直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为32
R =， 所以此时S 的最大值为2
2
344()92
S R πππ==⋅=. 故答案为：9π. 【点睛】
本题主要考查了直三棱柱的几何结构特征，以及组合体的性质和球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题. 15．[,]3
π
π
【解析】 【分析】
利用1
cos 1,cos 3
2
π
π=-=
，即可得出． 【详解】
解：由已知11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 1
cos 1,cos
32
π
π∴=-=， 又[0,]y π∈
3
y π
π∴
≤≤，
故答案为：[,]3
π
π．
【点睛】
本题考查了反三角函数的求值、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．3
1242
n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩
【解析】
利用递推关系，当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可求出n a . 【详解】
由题知：当1n =时，111313a S ==--=-.
当2n ≥时，22
131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-.
检验当1n =时，123a =-≠-，
所以3
1242n n a n n -=⎧=⎨
-≥⎩
. 故答案为：3
1242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩
【点睛】
本题主要考查根据数列{}n a 的前n 项和求数列的通项公式，体现了分类讨论的思想，属于简单题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．
23
π
【解析】 【分析】 由正弦定理得5
7
c a =，即得5c =，再利用余弦定理求解. 【详解】
因为在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b c
A B C ==得57
c a =． 又因为7a =，所以得5c =，
由余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=得1cos 2A =-．
又三角形内角在(0,)π． 故角A 为23
π
． 【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．（1）证明见解析（2）{}n c 是等比数列，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】
（1
）由
1
n n b q b +===即可证明； （2）证明22
21212221221221222=22n n n n n n n n n n
c a a a q a q q c a a a a +++---+⋅+⋅==++即可 （3）由（1）可知，
2462111
1n a a a a 、、、、是以21
q
为公比的等比数列， 135
21111
1n a a a a -、、、、也是以21q
为公比的等比数列，讨论1q =和1q ≠分组求和即可 【详解】
（1）因为n b ={}n b 是以q 为公比的等比数列，
所以，
1
n n b q b +=== 则22
n n
a q a +=，所以22n n a a q +=. （2）{}n c 是等比数列 因为2-122n n n c a a =+；
所以22
21212221221221222=22n n n n n n n n n n
c a a a q a q q c a a a a +++---+⋅+⋅==++，又11225c a a =+= 所以{}n c 是以5为首项，2
q 为公比的等比数列．
（3）由（1）可知，2462111
1n a a a a 、、、
、是以21
q
为公比的等比数列， 135
211111n a a a a -、、、、也是以21
q
为公比的等比数列， 所以当1q =时，213122
n n
S n n =⨯+
⨯=， 当1q ≠时()()222222222111111123112111n n n n n q q q q S q q q q
⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎡⎤-⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+=-⎢⎥--⎣⎦
. 【点睛】
本题考查等比数列的证明，分组求和，考查推理计算及分类讨论思想，是中档题 19．（1）1
；（2. 【解析】
（1）先将函数化简整理，得到()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，根据0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，根据正弦函数的性质，即可得出结果； （2）令()1sin 232f x x π⎛
⎫
=-
= ⎪⎝
⎭，得到2236πππ-=+x k 或522,36
πππ-=+∈x k k Z ，根据()()12
f A f B ==
，0A B π<<<，得出4A π=，712B π=，求出6C π=，根据正定理，即可得出结
果. 【详解】
（1）(
)22
222cos 12sin 14cos 422ππ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+-=+
⎪⎝⎭x x f x x x
cos 212cos 2sin 2cos 2sin 222223ππ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-=- ⎪
⎝
⎭x x x x x 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，因此sin 232π⎡⎤⎛
⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
x ； 故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值1；
（2）因为()()12f A f B ==，由（1），令()1sin 232f x x π⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭，
所以223
6
π
π
π-
=
+x k 或522,3
6
π
π
π-
=
+∈x k k Z ， 解得：4x k π
π=
+或7,12
π
π=
+∈x k k Z ，
因为0A B π<<<，所以4A π
=，712B π=，
因此71246
πππππ=--=-
-=C B A ，
由正弦定理可得：sin 21sin 2
===BC A
AB C
【点睛】
本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型.
20．（1）见解析（2）见解析（3
【分析】
（1）如图：证明FD MC ∥得到答案. （2）证明,AF BE AF FD ⊥⊥得到答案.
（3）几何体ED BAC -转化为B ACDE V -，利用体积公式得到答案. 【详解】
（1）∵F 分别是BE 的中点，取BA 的中点M ， ∴FM ∥EA ，FM 1
2
=
EA ＝1 ∵EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴CD ∥EA ， ∴CD ∥FM ，又CD ＝FM
∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD ∥MC ， FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ∴FD ∥平面ABC ．
（2）因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB 又 EA 垂直于平面ABC ∴CM ⊥AE ，
又 AE∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB ∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ， 因F 是BE 的中点，EA ＝AB 所以AF ⊥EB ．
EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB ． （3）几何体ED BAC -的体积等于B ACDE V -
N 为AC 中点，连接BN
,NB AC BN AE BN ⊥⊥⇒⊥平面ACDE
11(12)233332
B ACDE ACDE V S BN -+⨯=⨯=⨯=【点睛】
本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21．（1）22
1x y +=；（2）存在点S 使得0SF SG ⋅=成立. ()0,S m
【解析】 【分析】
（1）设P （x ，y ），由|PA|=2|PB|
C 的方程．
（2）由题意得M(0，1)，N(0，-1)，设点R(x 0，y 0)，（x 0≠0），由点R 在曲线C 上，得22
00x y +=1，直线RM
的方程0011y y x x --=
，从而直线RM 与直线y=3的交点为002,31x F y ⎛⎫
⎪-⎝⎭
，直线RN 的方程为00
11y y x x ++=
，从而直线RN 与直线y=3的交点为004,31x G y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，假设存在点S(0，m)，使得0SF SG ⋅=成立，则
200
0024(3)011x x m y y ⋅+-=-+，由此能求出存在点S ，使得0SF SG ⋅=成立，且S
点的坐标为(0,3±.
【详解】
（1）设(),P x y ，由||2||PA PB =，
= 整理得22
1x y +=.
所以曲线C 的方程为22
1x y +=. （2）由题意得，(0,1)M ，(0,1)N -.
设点()()0000R x y x ⋅=，由点R 在曲线C 上，
所以22
001x y +=.
直线RM 的方程为00
1
1y y x x --=
， 所以直线RM 与直线3y =的交点为002,31x F y ⎛⎫
⎪-⎝⎭
.
直线RN 的方程为00
1
1y y x x ++=
所以直线RN 与直线3y =的交点为004,31x G y ⎛⎫
⎪+⎝⎭
.
假设存在点()0,S m ，使得0SF SG ⋅=成立， 则002,31x SF m y ⎛⎫=-
⎪-⎝⎭
，004,31x SG m y ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭.
即
200
0024(3)011
x x m y y ⋅+-=-+， 整理得220
2
08(3)01x m y +-=-. 因为22
001x y +=，
所以2
8(3)0m -+-=， 解得3m =±.
所以存在点S 使得0SF SG ⋅=成立，且点S 的坐标为(0,3±. 【点睛】
本题考查曲线方程的求法，考查是否存在满足向量积为0的点的判断与求法，考查圆、直线方程、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22． (1)0a < (2) (1,0)(0,1)a ∈-⋃ (3)13a <-或14
a ≥ 【解析】 【分析】
（1）由题意，可知只要(0)0g >，即可使得方程()0g x =有两个异号的实数解，得到答案；
（2）由题意，得2
1,11()21,11
ax x x F x x ax x -><-⎧=⎨-++-≤≤⎩或，则(1)1,(1)1F a F a =--=--，再由()F x 的图象与x 轴由3个交点，列出相应的条件，即可求解.
（3）由题意得
1
(),(0,1]4h x x a x a
x
=
∈+-，分类讨论确定函数的单调性，即可得到答案. 【详解】
()()1g 004a 0a 0>∴->∴<由题知只要即可 ()
()()()2
1,112F x F 1a 1,F 1a 12x 1,11ax x x ax x -><-⎧=∴=--=--⎨-++-≤≤⎩
或 由题可得，
()()1y ax 1,x ,11,∞∞=-∈--⋃+，与x 轴有一个交点；
[]22y 2x ax 1,x 1,1=-++∈-与x 有两个交点 10100a a a -<⎧⎪
∴--<⎨⎪≠⎩
()()a 1,00,1∴∈-⋃
()()(]1
3h x ,x 0,14a x a
x
=
∈+- ()(]1
a 0h x ,x 0,1x
==
∈当时，单调递减，不合题意 ()(](]4a
a 0,h x 0,1x a 0x 0,1x
<+-<∈当时在上单调递增，则对任意恒成立
4a 11a 0a 13
∴+-<∴<-
()(
](]4a
a 0,h x 0,11x a 0x 0,1x
>≥+->∈当时在上单调递减，则且对任意恒成立
4a 111a 0a a 144
∴+->≥∴≥且
综上可得: 实数a 的取值范围1a 3<-或1
a 4≥
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及分段函数的性质的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论及利用函数的基本性质求解是解答的关键，试题综合性强，属于难题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想和转化思想的应用.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）
A ．5.6
B ．3.56
C ．1.4
D ．0.35
2．已知直线1: 10l x m y ++=，2:10l x y --=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2
B ．1-
C ．±1
D ．1
3．已知集合{}{
}2
28023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则A
B =( ).
A ．()23，
B ．[
)23， C ．[]42-，
D ．()43-，
4．右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重（单位：kg ）.记甲组数据的众数与中位数分别为11,x y ，乙组数据的众数与中位数分别为22,x y ，则（ ）
A ．1212,x x y y >>
B ．1212,x x y y ><
C ．1212,x x y y <>
D ．1212,x x y y <<
5．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）
A ．
254
π B ．
2516
π
C ．
11254
π
D ．
112516
π。