一次函数概念及习题

一次函数
一、1.1.定义定义定义 （（1）在变化过程中有两个变量；）在变化过程中有两个变量；
（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；
（3）自变量的每一个确定值，函数有且只有一个（唯一）值与之对应，即单值对应。

）自变量的每一个确定值，函数有且只有一个（唯一）值与之对应，即单值对应。

二、一次函数（——正比例函数）
1.定义1）函数为一次函数Û其解析式可化为y kx b =+（,k b 为常数，0k ¹）的形式。

）的形式。

（2）一次函数y kx b =+结构特征：0k ¹；自变量x 次数为1；常数b 可为任意实数。

可为任意实数。

（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。

）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。

（4）若0k =，则y b =（b 为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数；，这样的函数叫做常函数，它不是一次函数； 若0b =，则y=kx （k 为常数），这样的函数叫做正比例函数。

，这样的函数叫做正比例函数。

2.图像：一次函数的图像是一条直线，确定两点，便能确定其图像。

图像：一次函数的图像是一条直线，确定两点，便能确定其图像。

3.性质（1）增减性：0k >时，y 随着x 的增大而增大；0k <时，y 随着x 的增大而减小。

的增大而减小。

（2）图像位置：直线y kx b =+过两个象限或三个象限，由,k b 的符号共同决定。

的符号共同决定。

【问题1】已知函数(12)1y k x k =--+．
（1） 当k 取何值时，这个函数是正比例函数；取何值时，这个函数是正比例函数； （2） 当k 取何值时，这个函数是一次函数．取何值时，这个函数是一次函数．
注：理解正比例函数和一次函数的概念（整理成一般形式）注：理解正比例函数和一次函数的概念（整理成一般形式） 练习：（1）已知函数2
3
(2)m
y m x -=-是正比例函数，则m 的值为的值为 ．
（2）下列函数中，是一次函数的有）下列函数中，是一次函数的有 （填序号）（填序号）
① 2c r p =；②；② 2(3)y x =-；③；③ 22n m -=； ④ (50)s x x =-；⑤；⑤ 100
t v
=
． 【问题2】已知y 是x 的一次函数，且当2x =-时，7y =；当3x =时，5y =-．
求当0y = 时，自变量x 的值．的值．
注：利用待定系数法求函数解析式（基本步骤）注：利用待定系数法求函数解析式（基本步骤）
练习：（1）已知100y -与x 成正比例关系，且当10x =时，600y =．
求y 关于x 的函数解析式．的函数解析式．
（2）已知y m +与x n -成正比例（其中m ，n 是常数）．
如果当15y =-时，1x =-；当7x =时，1y =．求y 关于x 的函数解析式．的函数解析式．
1.已知23
(2)3m
y m x
-
=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？的一次函数？
2.2.已知一次函数已知一次函数(2)(1)y m x m =++-，若y 随x 的增大而减小，且该函数图象与x 轴的交点在原点右侧，求
m 的取值范围。

的取值范围。

3.3.若正比例函数若正比例函数y ＝(1(1－－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1<x 2时，时，y y 1>y 2，则求m 的取值范围。

范围。

4.23y x =-+与x 轴交于点A ，直线3y x =-与x 轴交于点B ，且两直线直线的交点为点C,C,求△求△求△ABC ABC 的面积.
5.5.点燃蜡烛，按照与时间成正比例关系变短，长点燃蜡烛，按照与时间成正比例关系变短，长21cm 的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm 3.6cm，设，设蜡烛点燃x 分钟后变短ycm ycm，求：，求：，求：
（1） 用x 表示函数y 的解析式；的解析式； （2） 自变量的取值范围；自变量的取值范围； （3） 此蜡烛几分钟燃烧完？此蜡烛几分钟燃烧完？ （4） 画出此函数的图像。

画出此函数的图像。

练习题
一、选择题：
1. 两个一次函数①1y ax b =+与②2y bx a =+在同一坐标系中的大致图象是（在同一坐标系中的大致图象是（ ）
2. 点1(5,)A y -和2(2,)B y -都在直线32y x =-+上，则1y 与2y 的关系式是（的关系式是（ ） A.12y y £ B.12y y = C.12y y < D.12y y >
3. 已知一次函数(2)(1)y m x m =++-，若y 随x 的增大而减小，且该函数图象与x 轴的交点在原点右侧，则m 的取值范围是（值范围是（ ）
A.2m >-
B.1m <
C.21m -<<
D.2m <- 4. 无论m 为何实数，直线2y x m =+与直线4y x =-+的交点都不可能在（的交点都不可能在（ ） A.第一象限第一象限
B.第二象限第二象限
C.第三象限第三象限
D.第四象限第四象限
x
y
O 
D. 
① ②
x
y O C. ① ②
x
y
O B. ① ②
x
y
O 
A. ①
②
一、填空题：
5. 一条直线过点(2,3)A -和点(3,2)B -，则该直线的解析式为____________________；
6. 直线y kx b =+与直线0.5y x =平行，且与直线32y x =+交于点(0,2)，则该直线的函数关系式是_____________；
把直线2
13
y x =+向上平移2个单位，得到的图象关系式是____________；
7. 直线4y x =+和直线4y x =-+与x 轴所围成的三角形的面积为____________；
8. 若点1(1,3)
,3)A 、(2,0)B -、(2,)C a 在一条直线上，则a =_____________； 9. 已知直线:32L y x =-+，现有4个命题：个命题：
①点3(,0)2P -在直线L 上；②直线L 可以由直线31y x =-+向上平行移动1个单位长度得到；个单位长度得到； ③若点1(,1)3M 、(,)N a b 都在直线L 上，且13
a >，则1
b <；④若点Q 到两坐标轴的距离相等，且点Q 在直线L 上，则点Q 在第一或第四象限。

其中正确的命题是__________________。

三、解答题：10. 已知一次函数(8)(6)y m x n =++-，求：，求： （1）,m n 为何值时，y 随x 的增大而增大？的增大而增大？ （2）,m n 为何值时，函数与y 轴的交点在x 轴上方？轴上方？ （3）,m n 为何值时，图象过原点？为何值时，图象过原点？
（4）若图象经过第一、二、三象限，求,m n 的取值范围。

的取值范围。

（5）分别求出函数与x 轴、y 轴的交点坐标。

轴的交点坐标。

13. “5.12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部的销售利润，已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元。

这三种器材的进价和售价如下表，人员工资1y （万元）和杂项支出2y （万元）分别与总销售量x （台）成一次函数关系（如图所示）。

型号型号 甲 乙 丙 进价（万元/台）台） 0.9 1.2 1.1 售价（万元/台）台）
1.2 
1.6 
1.3 
（1）求1y 与x 的函数关系式；的函数关系式；
（2）求该公司五月份的总销售量；）求该公司五月份的总销售量；
（3）设该公司五月份售出甲种型号器材t 台，五月份总销售利润为W （万元），求W 与t 的函数关系式；（销
售利润=销售额－进价－其他各项支出）销售额－进价－其他各项支出）
（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值。

）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值。

x （台） y （万O 
20 B 1.2 
0.2 
y 1 
0.3 y 2=0.005x +0.3 。