高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算课件理

所以x＋y＋z＝－23－16＋16＝－23.
答案
题型二 共线向量与共面向量定理的应用 1．(2018·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若 a，b，c三向量共面，则λ等于________． 答案 －9
答案
解析 由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一 直是空间立体几何的基础，一般不单独命 题．预测2020年会与多面体相结合进行考 查，题型为解答题，解题时利用空间向量法 解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.
基础知识过关
1．空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式
□ ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
(1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD.
解 (1)记A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝12. |A→C1|2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×12＋12＋21＝6， ∴|A→C1|＝ 6，即AC1的长为 6.
A→E＝12(a＋b)，A→F＝12c， ∴A→E·A→F＝12(a＋b)·12c ＝14(a·c＋b·c) ＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.故选C.
解析
角度2 空间向量数量积的应用 2．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶 点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D ＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向 量：
(1)A→P； (2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
解 (1)∵P是C1D1的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)∵N是BC的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向
量．( × )
(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若
→ OP
＝x
→ OA
＋y
→ OB
＋
zO→C(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．( × )
2．小题热身 (1)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交 点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基 向量表示出来．
1．如图所示，在四面体OABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，D为BC的 中点，E为AD的中点，则O→E＝________(用a，b，c表示)．
答案 12a＋14b＋14c
答案
解析 因为D为BC的中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)＝12(b＋c)， 又因为E为AD的中点，所以O→E＝12(O→A＋O→D)＝12a＋12b＋c＝12a＋14b＋ 14c.
提醒：三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共 面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是 三个非零向量所在直线共面的充要条件．
1．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且
O→P＝
3 4
O→A＋18
→ OB
＋
tO→C，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.
→ A1D1
＋
→ A1B1
)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3
→ A1B1
2，故①正
确；
解析
对于②，A→1C·(A→1B1－A→1A)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确；
对于③，因为
→ AD1
→ ·A1B
＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量
→ AD1
与向量
→ A1B
答案
题型 三 空间向量的数量积及应用
角度1 空间向量数量积的运算
1．(2018·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等
于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则A→E·A→F的值为( )
A．a2
B．12a2
C．14a2 答案 C
D． 43a2
答案
解析 如图，设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c 三个向量两两的夹角为60°.
1．(2018·南充三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题： ①(A→1A＋A→1D1＋A→1B1)2＝3A→1B12； ②A→1C·(A→1B1－A→1A)＝0； ③向量A→D1与向量A→1B的夹角为60°； ④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|A→B·A→A1·A→D|.
，且a∥b，则λ等于
答案 －92
答案
15
解析
因为a∥b，所以32＝－λ3＝
2 5
，所以λ＝－92.
解析
(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________． 答案 －2 5
15
答案
解析 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
解析
经典题型冲关
题型 一 空间向量的线性运算
则|AB|＝ 01 x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为
□ |OP|＝ 02 x2＋y2＋z2
.
(2)中点公式
设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则
x＝x1＋2 x2，
□03 y＝y1＋2 y2，
z＝z1＋2 z2 .
2．空间向量的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 3．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：
1．概念辨析
(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( × )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
解 (1)∵A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C， ∴M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝kC→1A＋A→B＋kB→C ＝k(C→1A＋B→C)＋A→B ＝k(C→1A＋B→1C1)＋A→B ＝kB→1A＋A→B＝A→B－kA→B1
答案
＝A→B－k(A→A1＋A→B)
＝(1－k)A→B－kA→A1，
的
夹角为120°，故③错误；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|
→ AB
||
→ AA1
→ |·| AD
|，但是|
→ AB
→ ·AA1
→ ·AD
[考纲解读] 1.了解空间直角坐标系，会用空 间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的 概念，了解空间向量的基本定理及其意义． 2.能应用空间两点间的距离公式，掌握空间 向量的正交分解及其坐标表示． 3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示， 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能 运用向量的数量积判断向量的共线与垂 直．(重点、难点)
答案
条件探究 c表示E→F.
在举例说明条件下，若 A→E＝12E→C， A→1F＝2F→D ，试用a，b，
解 如图，连接AF，则E→F＝E→A＋A→F.
由已知四边形ABCD是平行四边形， 故A→C＝A→B＋A→D＝b＋c，
答案
A→1D＝A→1A＋A→D＝－a＋c. 又E→A＝－13A→C＝－13(b＋c)， 由已知A→1F＝2F→D， 所以A→F＝A→D＋D→F＝A→D－F→D＝A→D－13A→1D ＝c－13(c－a)＝13(a＋2c)， 所以E→F＝E→A＋A→F＝－13(b＋c)＋13(a＋2c)＝13(a－b＋c)．
答案
用已知向量表示某一向量的注意事项 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解 题的关键． (2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加 法的多边形法则对空间向量仍然成立． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则 在空间仍然成立．
答案
(3)∵M是AA1的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋( a＋c＋12b ) ＝12a＋12b＋c， 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a. ∴M→P＋N→C1＝12a＋21b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.
其中正确命题的序号是( )
A．①②
B．①②③
C．①④
D．①②④
答案 A
答案
解析 设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图．
→ A1A
＝(0,0,1)，A→1D1＝(1,0,0)，
A→1B1＝(0,1,0)，A→1C＝(1,1,1)，A→D1＝(1,0，
－1)，
所以对于①，(
→ A1A
＋
A．－12a＋12b＋c B．12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D．12a－12b＋c 答案 A
答案
解析
由题意，根据向量运算的几何运算法则，
→ BM
＝
→ BB1
＋
→ B1M
＝
→ AA1
＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.故选A.
解析
(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组 向量是( )
A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b 答案 C
答案
解析 A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，a＋b，a －b不共面可以构成基底．
解析
(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝ ________．
3，λ，125
2x－y＝7，

∴x＋2y＝6， －3x＋3y＝λ，
解得λ＝－9.
解析
2．(2018·唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分 别在AC1和BC上，且满足A→M＝kA→C1，B→N＝kB→C(0≤k≤1)．
(1)向量M→N是否与向量A→B，A→A1共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
答案
2．如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，
点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若
→ MN
＝x
→ AB
＋yA→D＋zA→P，则x＋y＋z＝________.
答案 －23
答案
解析 M→N＝P→N－P→M＝12P→D－23P→C＝12(A→D－A→P)－23(P→A＋A→C)＝12A→D－12 A→P＋23A→P－23(A→B＋A→D)＝－23A→B－16A→D＋16A→P，
∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，A→点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，故直
线MN与平面ABB1A1不平行．
当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知
→ MN
与
→ AB
，
→ AA1
共面，
故MN∥平面ABB1A1.
答案
证明三点共线和空间四点共面的方法
答案
(2)证明：∵A→C1＝a＋b＋c，B→D＝b－a， ∴A→C1·B→D＝(a＋b＋c)·(b－a) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ＝b·c－a·c ＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0. ∴A→C1⊥B→D，∴AC1⊥BD.
答案
空间向量数量积的三个应用
答案
1 8
答案
解析 ∵P，A，B，C四点共面，∴34＋18＋t＝1， ∴t＝18.
解析
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C)．
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且MA，MB，MC过同一点M， ∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．